Autor Tema: Derivada por definición

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27 Octubre, 2009, 08:44 am
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Jorge klan

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Hola amigos

He estado un buen rato sacando la derivada por definición de las siguientes funciones

\( \displaystyle f(x)=\frac{1}{e^x+1} \)

\( f(x)=2^{x^2} \)

pero los límites me quedan bastante engorrosos y me lio mucho...

Podrían guiarme por favor

Saludos


27 Octubre, 2009, 08:50 am
Respuesta #1

Jorge klan

  • Lathi
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Creo que la clave en el primero es mostrar que

\( \lim_{h\rightarrow{}0}\frac{1-e^h}{h}=-1 \)

y creo que este es un resultado clásico... creo que tengo el resultado!!!

Aún asi me falta el segundo, los que tengo es que

\( \lim_{h\rightarrow{}0}\frac{2^{(x+h)^2}-2^{x^{2}}}{h}=\lim_{h\rightarrow{}0}\frac{2^x(2^{2xh+h^2}-1)}{h} \)

si no estoy mal, la derivada de \( 2^{x^{2}} \) es \( 2^{x^{2}}(\underbrace{2xln(2)}_{(x^{2}ln(2))^{\prime}}) \), luego lo basta probar es que

\( \lim_{h\rightarrow{}0}\frac{2^{2xh+h^2}-1}{h}=2xln(2)  \)

¿es así o no?

Saludos

27 Octubre, 2009, 09:21 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

 ¿Pero por qué haces eso hombre? ¿Con las propiedades que uno se molesta en probar sobre diferenciación, y luego andas demostrando derivadas por definición?...  ;)

 En fin. Para el segundo te puede ayudar que:

\(  2^{x^2}=e^{x^2Ln(2)} \)

 Al final la clave vuelve a estar (como en el primero) en la definición de la exponencial y las propiedades sobre la misma que de ellas se derivan.

Saludos.

27 Octubre, 2009, 09:44 am
Respuesta #3

Jorge klan

  • Lathi
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Hola el_manco

Gracias por tu consejo, la verdad es que hago estos ejercicios para un curso inferior, donde aún no conocen los grandiosos métodos que vienen por delante (lamentablemente cuando se enseña, se parte por lo más poco útil y engorroso, pero eso es lo hermoso de la matemática, "arreglarla", "arreglarla"... hasta que nos quede una hermosa fórmula, limpia y fácil de utilizar [es mi opinión] )

Intenté eso que me dice y me queda algo como esto

\( \displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{e^{2x\ln(2)h}e^{h^{2}\ln(2)} -1}{h} \)
(separé de esta manera para que se parezca algo a lo que quiero concluir)

Me imagino que debo hacer un cambio de variable o algo por el estilo...
No sé si a ustedes, pero a veces me cansan estos ejericicios así, yo prefiero algebra abstracta ;D

Se agradecería cualquier consejo

Saludos

27 Octubre, 2009, 10:02 am
Respuesta #4

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Algo así:

\(  \dfrac{e^{2xln(2)h+h^2ln(2)}-1}{h}= \dfrac{e^{2xhln(2)h+h^2ln(2)}-1}{h}\dfrac{2xh(ln(2))+h^2ln(2)}{2xh(ln(2))+h^2ln(2)} \)  (1)

 Por un lado hacemos este copiando la idea del primero:

\( \dfrac{e^{2xhln(2)h+h^2ln(2)}-1}{2xh(ln(2))+h^2ln(2)} \)

 Por otro lado este otro que es fácil:

\( \dfrac{2xh(ln(2))+h^2ln(2)}{h} \)

Saludos.

P.D. Lo que hago en (1) es "copiar" la demostración de la regla de la cadena, que es lo que uno usaría si derivase "como Dios manda".

27 Octubre, 2009, 02:54 pm
Respuesta #5

Jorge klan

  • Lathi
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Muhas gracias el_manco, que tremenda ayuda!!!

Saludos