Autor Tema: Uno de similitudes.

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30 Marzo, 2006, 11:53 pm
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incógnita_j

  • $$\pi \pi \pi \pi \pi$$
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  • Uno más en la infinidad
Sean \( A_0 \) y \( B_0 \) dos puntos fijos del plano tales que \( A_0B_0=8 \)
S es la similitud de centro \( A_0 \), razón 0.5 y ángulo \( 3\pi/4 \)
Para todo entero n, \( B_{n+1}=S(B_n) \)

1/Demostrar que los triángulos \( A_0B_nB_{n+1} \) y \( A_0B_{n+1}B_{n+2}  \) son semejantes.

2/Se define \( (l_n) \) por \( l_n=B_nB_{n+1} \)
Calcular el límite de la serie \( \displaystyle\sum_{i=1}^n{l_i} \)

3/Sea \( \Delta  \) la recta perpendicular a \( (A_0B_0) \) en \( A_0 \)
¿Para qué valores de n, \( B_n  \) pertenece a \( \Delta \) ?

Ala gentecilla, a pensar, tiene su miga...
Un ejercicio (he quitado algunas preguntas menos interesantes) que he tenido en mi examen de matemáticas de hoy y que me ha hecho sufrir bastante. Pero es bonito, que lo disfruten.
Siempre nos quedará hablar con los números y descubrir algún nuevo secreto.

31 Marzo, 2006, 08:35 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Voy a probar el Spoiler.

 1)

Spoiler
  - El ángulo entre los segmentos \( A_0B_n \) y \( A_0B_{n+1} \)  siempre es \( 3\pi/4 \).
  - La distancia \( A_0B_n=A_0B_0*0.5^n \).
  - Por tanto dos de los lados del triángulo \( A_0B_nB_n+1 \) miden el doble de los de \( A_0B_{n+1}B_{n+2} \) y el ángulo comprendido es el mismo: son semejantes.
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 2)
Spoiler
  - Por el teorema del coseno. Sea \( a_n=A_0B_n \)

\(     l_n^2=a_0^2+0.5^2a_0^2-a_0^2cos(e\pi/4) \)

  - Ahora sólo hay que sumar una progresión geométrica.
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 3)

Spoiler
   - \( 3n\pi/4=\pi/2+k\pi  \) .... \( k\in Z \)  y simplificar
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Saludos.

01 Abril, 2006, 07:55 pm
Respuesta #2

sebasuy

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Hola incognita_j, ¿cómo te fue en el examen?
Este problemita tiene apariencia complicada, pero es realmente sencillo o le estoy errando feo: no es necesario hacer figuras...

1)
Spoiler
\( S(A_0B_nB_{n+1})=S(A_0)S(B_n)S(B_{n+1})=A_0B_{n+1}B_{n+2} \)
[cerrar]

2)
Spoiler
Por la parte anterior: \( \dfrac{l_{n+1}}{l_n}=\textrm{razon de } S=\frac{1}{2}  \) y entonces tenemos una prog. geométrica.
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PD: a las "similitudes" yo le digo "semejanzas"...

Saludos,

SebasUy
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Poisson, Siméo