[murciano007]

Hola a todos, ¿qué tal?

Me gustaría que alguien me ayudase con este problema  para saber que formula emplear

Tenemos tres contenedores (un irá a Valencia, otro a Madrid, y el último a Sevilla) que se han de llenar con cajas de pelotas. Tenemos 24000 pelotas
iguales, y cada caja contiene exactamente 50 pelotas. De cuantas maneras diferentes
se puede hacer la distribución de las pelotas si cada contenedor ha de caber entre 100 y 200 cajas, excepto el de Valencia que ha de llevar un mínimo de 150 y un
máximo de 300?

Bye.

[Luis Fuentes]

Hola

 En primer lugar, trabajemos con cajas en lugar de con pelotas (sin que esto sume ni reste ímpetu a la resolución del problema).

 Tenemos:

 \( \dfrac{24000}{50}=480 \) cajas

 Como los mínimos son \( 100,100 \) y \( 150 \) respectivamente para Madrid, Sevilla y Valencia, nos quedan:

\(  480-100-100-150=130 \)

 cajas para distribuir. Los máximos son ahora \( 200-100=100,200-100=100 \) y \( 300-150=150 \) para Madrid, Sevilla y Valencia respectivamente.

 El de Valencia es intrascendent, porque sólo quedan \( 130 \) cajas por colocar; además observamos que no nos podemos pasar simultáneamente los límites de Madrid y Sevilla.

 Teniendo en cuenta todo esto contaremos:

 1) Formas de distribuir \( 130 \) objetos en tres grupos.

 2) Formas de distribuir \( 130-101=29 \) objetos en tres grupos.

 El número de distribuciones posibles se obtiene restando (1) (distribuciones sin restricciones) de dos veces por (2) (distribuciones en las que hemos pasado bien el límite de Madrid o el de Sevilla).

 Finalmente ten en cuenta que las formas de distribuir \( p \) elementos en \( n \) grupos son (combinaciones con repetición):

\(  CR_{n,p}=\displaystyle\binom{p+n-1}{p} \)

Saludos.

[murciano007]

Hola el_manco,

a ver tengo claro lo de los mínimos y como calcular    "1) Formas de distribuir \( 130 \) objetos en tres grupos." Sería así?

\(  CR_{n,p}=\displaystyle\binom{130+3-1}{130} \)


Mi duda es como sacas los máximos, y como sacas el 29 del apartado
 "2) Formas de distribuir \( 130-101=29 \) objetos en tres grupos."

O en vez de la resta de 130-101 sería 130-100? No entiendo muy bien.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Ten en cuenta que tengo que restar aquellos casos en los que al menos en el contendedor de Madrid (o luego Sevilla) fueron \( 101 \) cajas. Por eso resto \( 130-101 \).

Saludos.

[murciano007]

Hola,

Ya lo tengo claro, como sacas el 29. 130 cajas  nos sobran, como el máximo es 200, restas las que nos sobran por las que nos hacen falta para llegar al máximo y ese es el resto 29.

Etonces el resultado sería, como dices la resta  de " 1) Formas de distribuir [130]  objetos en tres grupos." por dos veces " 2) Formas de distribuir [130-101=29]  objetos en tres grupos." es decir:

\(  \displaystyle\binom{130+3-1}{130} \) - \(  \displaystyle\binom{29+3-1}{29} \) *\(  \displaystyle\binom{29+3-1}{29} \)

Dime si me equivoco en algo?

Muchas gracias el_manco

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Cuidado sería así:

\( \displaystyle\binom{130+3-1}{130}-2\cdot \displaystyle\binom{29+3-1}{29} \)

 Ese "por dos" aparece porque descontamos los casos en los que pasamos el límite de los de Madrid y también cuando pasamos el límite de Sevilla. Como las condiciones son iguales para ambos el número que hay que descontar es el mismo.

Saludos.

[murciano007]

Que burro soy, jeje quería poner

\( 2\cdot \displaystyle\binom{29+3-1}{29} \)

y voy y lo poge dos veces igual. De todas maneras muchas gracias por tu ayuda.

Saludos y que tengas un buen día.