Autor Tema: Demostración de inecuaciones

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15 Octubre, 2009, 18:17
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Murii

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Hola, seria genial si me pudieran ayudar lo antes posible  :D

1.- Si a, b, c son números reales, demostrar a²+b²+c² ≥ ab+bc+ac

2.- Si a, b, c y d son número reales, a²+b²=1 y c²+d²=1, demostrar ac+bd ≤ 1

3.- Si a y b son números reales positivos, demostrar a³+b³ ≥ a²b+ab²

4.- Si x e y son números reales, x<1<y, demostrar 1+xy < x+y

eso es, de antemano gracias

16 Octubre, 2009, 01:34
Respuesta #1

Jorge klan

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Hola

Para el 1 debes notar que

\[ (a-b)^2^\geq 0 \]
\[ (a-c)^2^\geq 0 \]
\[ (b-c)^2^\geq 0 \]

es decir

\[ a^2+b^2^\geq 2ab \]
\[ a^2+c^2^\geq 2ac \]
\[ b^2+c^2^\geq 2bc \]

suma y concluye

Para el 2. nota que

\[ a^2+c^2^\geq 2ac \]
\[ b^2+d^2 \geq 2bd \]

suma, utiliza la hipótesis y concluye...

Para el 3. nota que

\[ \begin{array}{rcl}(a-b)^2(a+b)&\geq& 0\\
(a-b)(a-b)(a+b)&\geq& 0\\
(a-b)(a^2-b^2)&\geq& 0\\
a^2(a-b)-b^2(a-b)&\geq& 0\\
a^3-a^2b-ab^2+b^3&\geq& 0\end{array} \]

Solo falta finiquitarlo...

Para el 4. Como \[ 1<y \] entonces \[ y-1>0 \], luego

\[ x<1\quad /\cdot (y-1) \]
\[ x(y-1)<y-1 \]

Ahora solo falta concluir...

Espero esté a tiempo

Saludos