Autor Tema: Demostración de que una relación de equivalencia establece una partición

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11 Octubre, 2009, 08:45 pm
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evoj2

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Hola.

No comprendo por qué una relación de equivalencia establece una partición.

En los libros que he consultado siempre me indican que una relación de equivalencia establece una partición, pero no demuestran esto.

Por favor, ¿alguien podría explicármelo?

Muchísimas gracias.

Un saludo.

11 Octubre, 2009, 09:06 pm
Respuesta #1

Jabato

  • Visitante
Una relación de equivalencia definida en un conjunto, \( A \), no es más que una clasificación de sus elementos de forma tal que cada elemento del conjunto pertenece a una y solo una clase de equivalencia. Entonces:

1ª Cada una de las clases se identifica con algúno de los subconjuntos de \( A \):

\( \forall{i}\quad C_i\subseteq{A} \)

2ª Dos clases son disjuntas puesto que un mismo elemento no puede pertenecer a dos clases distintas:

\( \forall{i\neq{}j}\quad C_i\bigcap{}C_j=\emptyset \)

3ª La unión de todas las clases debe contener a todos los elemenos del conjunto \( A \) y por lo tanto se identifica con él:

\( \bigcup C_i=A \)

Pero esas son precisamente tres propiedades que debe satisfacer toda partición de \( A \) por definición, por lo tanto la familia de clases \( \{C_i\} \) es necesariamente una de sus particiones.

Saludos, Jabato. ;D

11 Octubre, 2009, 09:42 pm
Respuesta #2

evoj2

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Hola.

Muchas gracias por la respuesta.

He entendido más o menos lo que comentas, Jabato.

Con un ejemplo numérico...

Sea un conjunto \( A=\{1,2,3,4,5\} \) en el que se define la relación \( R = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,5),(5,4),(4,4),(5,5)\} \)

Se tienen las siguientes clases de equivalencia dadas por la relación:
\( [1] = \{1,2,3\} \)
\( [2] = \{3,1,2\} \)
\( [3] = \{3,1,2\} \)
\( [4] = \{4,5\} \)
\( [5] = \{4,5\} \)

Pero \( [1] \cap{[2]} \neq{\emptyset}  \)  . ¿Por qué se forma una partición, pues?

Un saludo y muchas gracias.

11 Octubre, 2009, 09:55 pm
Respuesta #3

argentinator

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Sea \( x\in A \).
Definir la clase de equivalencia asociada a \( x \) como el conjunto

\( [x] = \{y\in A:y\sim x\} \)

Usando que la equivalencia es reflexiva, se demuestra trivialmente que \( x\in [x]. \)
En particular, cada \( [x] \) es no vacía.

Una propiedad interesenta es que, si \( y\in [x] \), entonces \( x\in [y] \).
Esto se deduce obviamente de la propiedad simétrica de la relación de equivalencia.

Ahora bien.
Supongamos que \( y \in [x] \).
Sea \( z \in [y] \). Resulta que \( x\sim y, y\sim z \). Por transitividad, nos queda que x\sim z, luego \( z\in[x] \).
Esto prueba que \( [y]\subset [x] \).

De modo análogo se prueba que \( [x]\subset [y] \).

Por lo tanto \( [x]=[y] \).

Por último, sean C, D dos clases de equivalencia cualesquiera.
Sabemos que son no vacías, como dijimos al principio.
Puede ocurrir que tengan intersección vacía o no.
En caso de que \( C\cap D\neq \emptyset \), se deduce que hay un elemento \( x \) común a C y D.

A su vez, sean \( c\in C, d\in D \) tales que \( C= [c], D= [d] \) (que existen por como hemos definido las clases de equivalencia).
Tenemos que \( C=[c]=[x]=[d]= D \).

Así que, dos clases de equivalencia son disjuntas, o bien son iguales.

A su vez, cada elemento \( x \) de \( A \) pertenece al menos a una clase de equivalencia, por ejemplo, \( [x] \).

Así que, si definimos \( \mathcal F \) a la familia de clases de equivalencia, tenemos que \( \mathcal F \) es una familia disjunta que además cumple:
\( A = \bigcup_{x\in A}\{x\}\subset  \bigcup_{C\in \cal F}\subset A. \)

Esto muestra que la unión de la familia \( \mathcal F \) cubre todo el conjunto \( A \).




18 Octubre, 2009, 06:20 pm
Respuesta #4

evoj2

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Hola.

Muchas gracias por las respuestas.

Espero que no me surjan más dudas con el tema  :D.

Enhorabuena por mantener vivo este foro.

Un saludo.