Autor Tema: EjercicioUAQ

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08 Octubre, 2009, 08:35 pm
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victorguevara21

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Hola alumnos de la Maestría en Docencia. Aquí les dejo unos ejercicios para que los resulevan por este medio!!

1.- Considerar el siguiente sistema de ecuaciones:

\(  ax + by = 0  \)
\(  cx + dy = 0  \)

a) Demostrar que si \(  x = x_0  \), \(  y = y_0  \) es cualquier solución del sistema y \(  k   \) es cualquier constante, entonces, \(  x = kx_0  \), \(  y = ky_0  \) también es una solución.

b) Demostrar que si \(  x = x_0  \), \(  y = y_0  \), \(  x = x_1  \), \(  y = y_1  \) son dos soluciones cualesquiera, entonces, \(  x = x_0 + x_1  \), \(  y = y_0 + y_1  \) también es una solución.

2.- Considerar el siguiente sistema de ecuaciones:

(I) \(  ax + by = k  \)     (II)  \(  ax + by = 0  \)
     \(  cx + dy = l  \)             \(  cx + dy = 0  \)

a) Demostrar que si \(  x = x_1  \), \(  y = y_1  \) y \(  x = x_2  \), \(  y = y_2  \) son soluciones de (I), entonces, \(  x = x_1 - x_2  \), \(  y = y_1 - y_2  \) es solución de (II).

b) Demostrar que si \(  x = x_1  \), \(  y = y_1  \), es una solución de (I) y \(  x = x_0  \), \(  y = y_0  \) es una solución de (II), entonces, \(  x = x_1 + x_0  \), \(  y = y_1 + y_0  \) es una solución de (I).

Suerte.  ;)
déjà vu es lo que se experimenta en la banda de Moebius

08 Octubre, 2009, 11:32 pm
Respuesta #1

aladan

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Hola  victorguevara21

Bienvenido al foro.

Conviene que leas las reglas, el titulo que has puesto no indica nada del tema que tratan los ejercicios.

1.a.- Que \( (x_0,y_0) \) sea solución del sistema, implica:

\( ax_0+by_0=0 \)

\( cx_0+dy_0=0 \)

si multiplicas miembro amiembro las ecuaciones anteriores por \( k \):

\( a(kx_0)+b(ky_0)=0 \)

\( c(kx_0)+d(ky_0)=0 \)

con lo que vemos que \( (kx_0,ky_0) \) tambien es solución del sistema

1.b.- Para este genera las ecuaciones que implican las soluciones que te dan suma primera y tercera y podrás demostrar lo que se pide.

2.a.- En el I

\( ax_1+by_1=k \) (1)

\( cx_1+d_1=l \) (2)

\( ax_2+by_2=k \) (3)

\( cx_2+d_2=l \) (4)

Resta las ecuaciones (1)-(3)    y (2)-(4) y dime que conclusiones obtienes

Aplica este método para 2.c

Saludos
Siempre a vuestra disposición

09 Octubre, 2009, 08:25 pm
Respuesta #2

victorguevara21

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Muchas gracias Aladan por la aportación!!!

Creo que ya con esas ideas sale el ejercicio.

Saludos.. Te estaré escribiendo por si algo más sucede.
déjà vu es lo que se experimenta en la banda de Moebius

12 Octubre, 2009, 04:43 pm
Respuesta #3

elpeso56

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Hola Victor, anoto mi aportación sobre las demostraciones para la clase de Algebra Lineal de la Maestrìa en Didáctica.

1. Sea el sistema de ecuaciones \( \left\{
\begin{array}{c}
ax+by=0 \\
cx+dy=0%
\end{array}%
\right \)

a) Demostrar que si \( x=x_{0} \), \( y=y_{0} \) es cualquier solución y \( k\in R \) entonces \( x=kx_{0} \) y \( y=ky_{0} \), también lo es.


Como \( ( x,y) =( x_{0},y_{0}) \) es una solución del sistema, entonces lo satisface,

es decir  \( \left\{
\begin{array}{c}
ax_{0}+by_{0}=0 \\
cx_{0}+dy_{0}=0%
\end{array}%
\right \)

Por demostrar que el par ordenado \( \left( x,y\right) =\left(kx_{0},ky_{0}\right) \) también es solución.

\( \Rightarrow \) al sustituir \( \left( x,y\right) =\left(kx_{0},ky_{0}\right) \) tenemos que \( \left\{
\begin{array}{c}
a\left( kx_{0}\right) +b\left( ky_{0}\right) =0 \\
c\left( kx_{0}\right) +d\left( ky_{0}\right) =0%
\end{array} \)    \( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
k\left( ax_{0}+by_{0}\right) =0 \\
k\left( cx_{0}+dy_{0}\right) =0%
\end{array} \)     \( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
k\left( 0\right) =0 \\
k\left( 0\right) =0%
\end{array}%
\right \)

Luego, también se satisface el sistema de ecuaciones,
por lo tanto, \( x=kx_{0} \), \( y=ky_{0} \), también es solución.



b) Demostrar que si \( (x_{0},y_{0}) \) y \( (x_{1},y_{1}) \) son soluciones cualesquiera, entonces \( x=x_{0}+x_{1} \) y \( y=y_{0}+y_{1} \) también lo es.

Ya que \( ( x_{0},y_{0}) \) es solución \( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
ax_{0}+by_{0}=0 \\
cx_{0}+dy_{0}=0%
\end{array}%
\right \) se satisface.

De igual manera ocurre con \( ( x_{1},y_{1}) \)  \( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
ax_{1}+by_{1}=0 \\
cx_{1}+dy_{1}=0%
\end{array}%
\right \) se satisface.

\( \Rightarrow \left\{
\begin{array}{c}
\underset{0}{\underbrace{\left( ax_{0}+by_{0}\right) }}+\underset{0}{%
\underbrace{\left( ax_{1}+by_{1}\right) }}=0 \\
\underset{0}{\underbrace{\left( cx_{0}+dy_{0}\right) }}+\underset{0}{%
\underbrace{\left( cx_{1}+dy_{1}\right) }}=0%
\end{array}%
\right. \Rightarrow  \left\{
\begin{array}{c}
a\left( x_{0}+x_{1}\right) +b\left( y_{0}+y_{1}\right) =0 \\
c\left( cx_{0}+x_{1}\right) +d\left( y_{0}+y_{1}\right) =0%
\end{array}%
\right \)

Luego, \( x=x_{0}+x_{1} \) y \( y=y_{0}+y_{1} \) también es solución del sistema.

2. Considerar los sistemas de ecuaciones \( (I)\left\{
\begin{array}{c}
ax+by=k \\
cx+dy=l%
\end{array}%
\right \) y \( (II) \left\{
\begin{array}{c}
ax+by=0 \\
cx+dy=0%
\end{array}%
\right \)

a) Demostrar que si \( x=x_{1} \), \( y=\allowbreak y_{1} \) y \( x=x_{2} \), \( y=y_{2}
 \) son soluciones de \( \left( I\right) \), entonces \( x=x_{1}-x_{2} \), \( y=y_{1}-y_{2} \) es una solución de \( (II) \).

Como \( (x,y)=( x_{1},y_{1}) \) y \( (x,y)=( x_{2},y_{2}) \) son soluciones del sistema \( (I) \), entonces satisfacen a las ecuaciones, es decir,


\( \begin{array}{c}
ax_{1}+by_{1}=k \\
cx_{1}+dy_{1}=l%
\end{array}%
 \)  y \( \begin{array}{c}
ax_{2}+by_{2}=k \\
cx_{2}+dy_{2}=l%
\end{array}%
\Rightarrow
\begin{array}{c}
\underset{k}{\underbrace{\left( ax_{1}+by_{1}\right) }}-\underset{k}{%
\underbrace{\left( ax_{2}+by_{2}\right) }}=k-k \\
\underset{l}{\underbrace{\left( cx_{1}+dy_{1}\right) }}-\underset{l}{%
\underbrace{\left( cx_{2}+dy_{2}\right) }}=l-l%
\end{array}%
 \)

\( \Rightarrow
\begin{array}{c}
a\left( x_{1}-x_{2}\right) +b\left( y_{1}-y_{2}\right) =0 \\
c\left( x_{1}+x_{2}\right) -d\left( y_{1}-y_{2}\right) =0%
\end{array}%
 \)

Por lo tanto, \( x=x_{1}-x_{2} \) y  \( y=y_{1}-y_{2} \) es solución de la ecuación \( (II) \).

b) Demostrar que si \( x=x_{1} \), \( y=y_{1} \) es una solución de \( (I) \) y \( x=x_{0} \), \( y=y_{0} \) es una solución de \( (II) \), entonces \( x=x_{1}+x_{0} \),  \( y=y_{1}+y_{0} \) es una solución de \( (I) \).

Como \( x=x_{1} \), \( y=y_{1} \) es solución de \( (I) \)  \( \Rightarrow \begin{array}{c}
ax_{1}+by_{1}=k \\
cx_{1}+dy_{1}=l%
\end{array}%
 \),

igualmente ocurre con \( x=x_{0} \), \( y=y_{0} \) y \( (II) \) \( \Rightarrow \begin{array}{c}
ax_{0}+by_{0}=0 \\
cx_{0}+dy_{0}=0%
\end{array}%
 \).

\( \Rightarrow \begin{array}{c}
\underset{k}{\underbrace{\left( ax_{1}+by_{1}\right) }}+\underset{0}{%
\underbrace{\left( ax_{0}+by_{0}\right) }}=k+0 \\
\underset{l}{\underbrace{\left( cx_{1}+dy_{1}\right) }}+\underset{0}{%
\underbrace{\left( cx_{0}+dy_{0}\right) }}=l+0%
\end{array}%
\Rightarrow
\begin{array}{c}
a\left( x_{1}+x_{0}\right) +b\left( y_{1}+y_{0}\right) =k \\
c\left( x_{1}+x_{0}\right) +d\left( y_{1}+y_{0}\right) =l%
\end{array}%
 \)

Luego, \( x=x_{1}+x_{0} \), \( y=y_{1}+y_{0} \) es solución de \( (I) \) .

Aportación de Ellis Peñaloza

13 Octubre, 2009, 02:43 am
Respuesta #4

Hedi

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Hola Ellis

Pues ya resolviste los ejercicios yo apenas entre hoy al foro

13 Octubre, 2009, 03:25 pm
Respuesta #5

victorguevara21

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Muy buena la aportación Elis... Y como dice Hedi, ya los resolviste. Ahora los que no participaron tienen la tarea de aportar para el próximo ejercicio. SALUDOS A TODOS. ;)
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