Hola
Se me ha presentado el siguiente problema. Demostrar que para todo \( x\in \mathbb{R}^{+} \)
\( |\sqrt{x}-1|\leq |x-1| \)
si lo vemos gráficamente esto es cierto. Intento hacerlo directamente resolviendo la inecuación, pero el problema se pone muy lioso. Principalmente el problema está cuando \( 0<x<1 \), pues para los otros valores basta notar que \( \sqrt{x}\leq x \). ¿Existe algún método rápido de probar esto?
Intenté lo siguiente: Sea \( x=1/n \) donde \( n\in \mathbb{R}^{+}-]0,1[ \), luego
\( \begin{array}{ccc}
&&1-\sqrt{n}\geq1-n\\[3mm]
&\Rightarrow{}&-\left(\frac{1-n}{n}\right)\geq\frac{1-\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\geq\frac{1-n}{\sqrt{n}}\geq\frac{1-n}{n}\\[3mm]
&\Rightarrow{}&\left|\frac{1-\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\right|\leq -\left(\frac{1-n}{n}\right)\leq\left|-\left(\frac{1-n}{n}\right)\right|= \left|\left(\frac{1-n}{n}\right)\right|
\end{array} \)
¿Está bien?
Se agradece de antemano sus sugerencias
Saludos
