Autor Tema: desigualdad con valor absoluto

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02 Octubre, 2009, 09:10 am
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Jorge klan

  • Lathi
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Hola

Se me ha presentado el siguiente problema. Demostrar que para todo \( x\in \mathbb{R}^{+} \)

\( |\sqrt{x}-1|\leq |x-1| \)

si lo vemos gráficamente esto es cierto. Intento hacerlo directamente resolviendo la inecuación, pero el problema se pone muy lioso. Principalmente el problema está cuando \( 0<x<1 \), pues para los otros valores basta notar que \( \sqrt{x}\leq x \). ¿Existe algún método rápido de probar esto?

Intenté lo siguiente: Sea \( x=1/n \) donde \( n\in \mathbb{R}^{+}-]0,1[ \), luego

\( \begin{array}{ccc}
&&1-\sqrt{n}\geq1-n\\[3mm]
&\Rightarrow{}&-\left(\frac{1-n}{n}\right)\geq\frac{1-\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\geq\frac{1-n}{\sqrt{n}}\geq\frac{1-n}{n}\\[3mm]
&\Rightarrow{}&\left|\frac{1-\sqrt{n}}{\sqrt{n}}\right|\leq -\left(\frac{1-n}{n}\right)\leq\left|-\left(\frac{1-n}{n}\right)\right|= \left|\left(\frac{1-n}{n}\right)\right|
\end{array} \)

¿Está bien?

Se agradece de antemano sus sugerencias

Saludos





02 Octubre, 2009, 09:53 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 ¿Pero no te estás liando?.

 Si \( 0<x<1 \) la desigualdad queda:

\(  1-\sqrt{x}\leq 1-x \)

 equivalentemente:

\(  x\leq \sqrt{x} \)

 que (trivialmente) es cierto para \( 0<x<1 \).

 Otra forma directa si quieres:

\(  |x-1|=|\sqrt{x}-1||\sqrt{x}+1|\geq |\sqrt{x}-1| \)

Saludos.

02 Octubre, 2009, 10:35 am
Respuesta #2

Jorge klan

  • Lathi
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Hola el_manco

Claro que me estoy liando!!!  :banghead:

Gracias por tu respuesta!!!

Saludos