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22 Septiembre, 2009, 04:41 pm
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cin.a

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HOLA!! NECESITO UNA AYUDITA EN ESTO. GRACIAS  ;)



1) Definida   \( f(x)=\left \{ \begin{matrix} e^{-1/x^2} &\mbox{ si }& x\neq{0}\\
\\ 0 &\mbox{ si }& x=0\end{matrix}\right. \)

Demostrar que \( f \) tiene derivadas de todos los órdenes en x = 0, y que \( f^{(n)}(0)=0, \) para n=1,2,3,...



2) Demostrar las siguientes expresiones sobre límites:

a) \( \displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{b^x - 1}{x}}=\log b \quad (b>0). \)

b) \( \displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{\log (1 + x)}{x}}=1. \)

c) \( \displaystyle\lim_{x \to 0}{(1 + x)^{1/x}}=e. \)

d) \( \displaystyle\lim_{x \to 0}{ \left({1+\frac{x}{n}}\right)^{n}}=e^x. \)



3) Suponer \( f(x)f(y)=f(x + y) \) para todo x e y reales.

a) Admitiendo que \( f \) es diferenciable y no nula, probar que

                                \( f(x)=e^{cx} \)
siendo c una constante.

b) Demostrar lo mismo, suponiendo solamente que \( f \) es continua.



23 Septiembre, 2009, 09:48 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 1) Prueba por inducción que la derivada de \( f(x)=e^{-x^{-2}} \) fuera del cero es siempre de la forma:

\(  f^{n)}(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^{3n}{}a_{in}e^{-x^{-2}}x^{-i} \)  (i)

 Luego calcula la derivada en cero por definición. Basta calcular el límite:

\(  \displaystyle\lim_{x \to 0}{}\dfrac{f^{n)}(x)-0}{x-0} \)

 Teniendo en cuenta la expresión (i) es fácil ver que tal límite es cero.

 2) Habría que saber que puedes usar: ¿L'Hopital, Infinitésimos equivalentes, Taylor, Límites notables, la definición de límite,...?.

 3) No es exactamente lo que te piden, pero después de leer y entender esto no deberías de tener problema en resolver el ejercicio:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=9571.0

Saludos.