Autor Tema: Dimensión de Hausdorff del Dragón fractal

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18 Septiembre, 2009, 23:46
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enloalto

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Hola amigos, quisiera que me ayuden a demostrar que la dimensión de Hausdorff del dragón fractal es 2, he visto en el foro una demostración, pero necesito por medio de cubrimiento, en particular aplicando la condición de conjunto abierto que se indica en el capítulo 9 del libro Fractal Geometry, Mathematics Foundations and Applications del profesor Falconer.
Ya tengo el SIF=\[ \left\{{f_i,f_2}\right\} \], pero me falta el abierto acotado V tal que \[ V\supseteq{f_1(V)\cup{f_2(V)}} \]. Muchas gracias
Llovizna queriendo ser lluvia de verano

19 Septiembre, 2009, 08:38
Respuesta #1

Jabato

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Si tienes en cuenta el proceso de consrucción del fractal y consideras como recubrimiento en cada etapa la propia curva generada solo tienes que hallar el valor \[ s \] tal que la expresión de su medida Hausdorff satisface la condición de ser un valor constante (no nulo y finito).

La longitud de cada tramo de la curva vale \[ l_n = \displaystyle\frac{l_0}{\sqrt[ ]{2^{n}}} \]

El número de tramos de la curva es \[ 2^n \]

y por lo tanto la medida Hausdorff vale \[ \mu = \displaystyle\frac{2^n}{\sqrt[ ]{2^{ns}}}\ l_0^s \]

A simple vista se ve que \[ s = 2 \], ya que para este valor la medida del conjunto es constante y vale \[ l_0^2 \]

La demostración de que dicho valor es el minimo de todos los recubrimientos posibes pasa por considerar las siguientes cuestiones:

1ª la dimensión de la curva es necesariamente mayor que 1, cualquiera que sea el recubrimiento considerado, ya que su longitud es infinita.

2ª Al suponer como recubrimiento la propia curva resulta que la medida debe ser menor ó igual que cualquier otro recubrimiento que no sea una partición de la curva.

3ª Al considerar otras particiones de la curva dividiendo cada uno de sus lados en, por ejemplo, un número m de tramos iguales, el número total de tramos se multiplica por m pero la longitud de cada uno de ellos se divide también por m, resultando que la medida entonces queda dividida por \[ m^{s-1}>1 \]. Ocurre algo similar si consideramos dividido cada lado de la curva en tramos de distinto tamaño. Puede concluirse que la medida mínima es la que se calculó la primera vez y la dimensión de la curva es por lo tanto 2, luego la curva recubre completamente el plano donde está ubicada.

NOTA: Ya sé que los últimos tres pasos necesitan una demostración más rigurosa que la expuesta, pero aunque no se muestra aquí es posible hacerla.   

Saludos, Jabato. ;D

21 Septiembre, 2009, 12:51
Respuesta #2

enloalto

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Muchas gracias Jabato por tu ayuda,
Llovizna queriendo ser lluvia de verano