Autor Tema: Problema Marzo 2004

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12 Marzo, 2004, 12:01
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teeteto

  • Lathi
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Hola a todos.
Es bastante facil este problema:

Si (yn) esta contenida en Imf defino (xn) con f(xi)=yi para todo indice i.
(xn) esta contenida en [a,b] que es compacto por lo que posee una subsucesion convergente (xnk).
sea x0=limkxnk entonces como f es continua
f(x0)=f(limkxnk)=limkf(xnk)=limkynk=y0
Con lo que y0 esta en Imf
Debemos saber...sabremos (David Hilbert)

12 Marzo, 2004, 16:00
Respuesta #1

MagnusBarfod

  • Visitante
Queda como ejercicio adicional pensar una funcion continua que no cumpla lo que dice el enunciado.

Es decir que exista yn en la imagen tal que exista el lim yn = y0, pero que y0 no este en la imagen (¿como tiene que ser el dominio de dicha funcion?).

16 Marzo, 2004, 17:12
Respuesta #2

elgato

  • Visitante
Solución:
Dado que f es una función continua definida en un dominio compacto, Im f es compacto. Como Im f es un conjunto cerrado, ya que es compacto, y {yn} es una sucesion en Im f que converge, su límite y0 debe estar en Im f. QED