Autor Tema: Construcción de los sistemas numéricos

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15 Octubre, 2011, 08:33 pm
Respuesta #30

Jabato

  • Visitante
Está bien así, no te preocupes.

El modelo expuesto por mí es una ocurrencia más de Jabato (de las muchas que pululan por mi mente), es decir que no lo he sacado de ninguna otra parte que no sea de mi cabeza, aunque es probable que solo haga que reproducir, en los aspectos más generales, otros modelos que ya hayan sido ideados con anterioridad. En cualquier caso intentaré, a medida que vaya teniendo tiempo, demostrar que este modelo cumple los axiomas de los reales, y tendré que hacerlo claro improvisando las pruebas, ya que todo lo que exponga aquí deberá ser original mío, porque el modelo también lo es, aunque no parece que vaya a ser muy complicado hacerlo si se definen la suma y el producto en la forma adecuada.

Saludos, Jabato. ;D

15 Octubre, 2011, 08:37 pm
Respuesta #31

argentinator

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Fijate que hay una de las construcciones que se hace en base a "dígitos".
Esa sería muy similar a lo que estás proponiendo.

Después de todo, ¿cómo describirías la parte fraccionaria del número real?
O bien, se puede construir la parte fraccionaria siguiendo métodos cualesquiera.
No has especificado el método que estás usando para construir esa parte.

Lo que decís está bien como idea, pero al desarrollar la idea verás que lleva mucho trabajo.
Creo que sugeriste que sería más rápido, pero no es así.

El problema estriba en que se supone que uno no tiene a la mano ningún conjunto de números reales, sólo tiene racionales, y entonces tiene que inventarse algo que "funcione" como los números reales.

Así que:

* Primero hay que definir con mayor precisión a qué le llamás "parte decimal o fraccionaria". Así como está, pareciera que te referís a una sucesión de dígitos.

* A continuación está el problema de la unicidad de los objetos. Si se usan dígitos, hay objetos con dos representaciones, y hay que tomar algún tipo de decisión de qué hacer con eso.

* Pero definir el conjunto que va a funcionar como R no es suficiente, hace falta definir también las operaciones aritméticas de suma y producto, y también la relación de orden <.

* También hay que indicar qué objetos harán las veces de elementos 0 y 1, pero eso en general es fácil.

* El siguiente paso es comprobar que tu construcción (R, +, ., < , 0, 1) satisface todos los axiomas de un "sistema de números reales", porque los números reales son un "sistema" que ha de cumplir leyes, y no es un simple conjunto. Si bastara con construir un conjunto sin nada más que hacer, entonces sólo habría que tomar \( R=\mathcal P(N) \), que es un conjunto con el cardinal del "continuo", y ya está. Pero necesitamos que R esté acompañado de una "estructura algebraico-analítica", y entonces hay que trabajar más.

Una vez establecido el punto anterior, ya podríamos andar más o menos tranquilos, porque lo que nos hacía falta era que nuestro sistema recién construido verifique los postulados especificados.
Pero por una cuestión de seriedad matemática, hace falta verificar algo más:

* Que nuestro sistema (R, +, ., < , 0, 1) tiene en forma natural un "subsistema isomorfo a los números racionales". En tal caso, hay que indicar un subconjunto Q de "nuestro sistema construido R", especificar una biyección con el "sistema de partida \( \mathbb Q \)" de racionales que usamos para "apoyar la construcción", y finalmente demostrar que la biyección en cuestión conserva la suma, el producto, y la relación de orden <, además de las identidades 0 y 1.

Todo este trabajo no puede ser evitado, y debe acompañar a toda construcción.

Quizá tengas razón en que al menos el primer paso de la construcción sea más breve.
Eso sí.
Pero es de sospechar que lo que uno se ahorra en ese paso, se complica luego en pasos subsiguientes, porque uno tiene que hacer todo a mano: la suma, el producto y el orden, y tiene que estar seguro de que todo está correcto, que no hay errores.





Hay un modo de saltearse todos esos pasos, pero es tramposo.

Veamos. Supongamos que ya tenemos alguna otra construcción alternativa de R, como la de encaje de intervalos.
En ese caso, bastaría establecer una biyección entre esa construcción y la nuestra, y así "contagiar" las operaciones y el orden <.

Se podría "contagiar" la estructura, y cruzar los dedos.

Si uno no se convence de eso, puede construir algunos pasos más, como por ejemplo fabricar la suma, el producto y el orden <, y luego usar la biyección anterior para demostrar simplemente que se conservan dichas operaciones y el orden.

Eso sería indudablemente correcto, y estaría demostrando automáticamente que se cumplen todos los axiomas de los reales, sin necesidad de comprobarlos uno por uno.

Pero el problema con este enfoque es que necesitamos previamente tener una construcción que alguien "ya" nos haya dado de R, una distinta, que funcione.
O sea que el "trabajo a mano" alguna vez hay que hacerlo.

Y como ninguna construcción es preferible a otra, mi idea es construir todo a mano, para todas las construcciones posibles, y después cada cual elige la que más le gusta como su "construcción inicial de referencia", si así le place.

Además, la subsección 4.9 del thread Teoría Números Reales
establece un teorema de unicidad: no importa cuáles construcciones hagamos de los reales, son todas equivalentes entre sí, son isomorfas.

Esto es importante, porque no queremos una noción ambigua de número real.

Sin embargo, no nos ayuda mucho ese teorema en ahorrarnos trabajo, porque para aplicarlo necesitamos previamente haber demostrado que un par de construcciones dadas de R satisfacen (a mano) cada uno de los Axiomas listados al principio del citado thread.

Saludos

15 Octubre, 2011, 08:47 pm
Respuesta #32

argentinator

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Baste decir que los números reales presentan en su estructura dos partes bien diferenciadas, la mantisa y la parte entera, de manera que podríamos considerar que un número real no es más que un par ordenado de la forma:

\( r=(e,m) \)

  · La parte entera, \( e \), es un número entero, positivo ó negativo, cualquiera.

  · La mantisa, \( m \), es una sucesión indefinida de dígitos, que cuando es cíclica permite identificar el par con un
    número racional y cuando no lo es el par se identifica con un numero irracional.

El conjunto de pares así construidos podemos pues identificarlo con un modelo del conjunto de los números reales. Demostrar que tales construcciones cumplen sus axiomas es algo más peliagudo que solo intentaré si consideras que este mensaje merece sobrevivir aquí, en otro caso lo olvidaré ó si acaso abriría un hilo nuevo para intentarlo sin molestar tu intervención.

NOTA: el concepto de mantisa, visto como una sucesión indefinida de dígitos, es un concepto poco utilizado y menos aún desarrollado en matemática, pero si se molesta uno en analizarlo con detenimiento resulta que presenta unas propiedades muy interesantes y útiles tal y como se muestra aquí mismo, en el que se utiliza dicho concepto para definir los números racionales y los irracionales partiendo tan solo de los números enteros, caso que bien vale como ejemplo de sus interesantes propiedades, entre las que cabe citar la más relevante y es la de que el conjunto de todas las mantisas es un conjunto que presenta cardinalidad continua.


Tal cual, es cierto. Esta construcción sería muy similar a la de las sucesiones de dígitos (que no he expuesto).
Es tal el parecido que uno duda en si hacer la construcción usando sólo sucesiones de dígitos desde un índice positivo k hasta "menos infinito", o bien hacer las cosas tal como vos decís: una parte entera y los demás dígitos.

Y es cierto eso que decís que sólo se usan números enteros y nada de racionales.
Es verdad que es el aspecto interesante de dicha construcción.

Te diría que la construcción no es "original".
Tampoco puedo citarla, porque no sé dónde anda.

En realidad las demuestro por mi propia cuenta porque me sale más rápido hacerlo por mi propia cuenta que buscando en algún libro como se hace.
Pero no me preocupa decir que las demostraciones o construcciones son originales mías porque estoy seguro que no lo son.

Por eso también me animo a hacer demostraciones confiadamente, porque sé que es terreno trillado, y que las cuentas dan. Es cuestión de ponerse a hacerlas.

Creo que ponerte a hacer la construcción completa será un ejercicio muy interesante.
Los pasos que hay que dar los dí en mi post anterior.
Son muchos, pero no es para desanimarte, sino que son los pasos que hay que dar.

En todo caso, podés ir dejando las "ideas" de qué harías en cada paso, como he venido haciendo con los encajes de intervalos.
Yo me canso de sólo imaginarlo, jeje.

Creo que el método más laborioso es el de Cortaduras de Dedekind.

Saludos

15 Octubre, 2011, 09:09 pm
Respuesta #33

argentinator

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Te puedo ir ayudando con los detalles en los sucesivos pasos, porque me voy dando cuenta de lejos dónde estarán las dificultades...

Y así entre los dos vamos completando esta construcción, que tiene muchos detalles interesantes, y es distinta a las demás.


15 Octubre, 2011, 09:12 pm
Respuesta #34

Jabato

  • Visitante
Bueno, lo que voy a hacer es intentarlo y sin trampas, es decir demostrar que esta construcción satisface todas y cada una de las propiedades que debe satisfacer. Si lo consigo pues eso que me llevo pal cuerpo y si fracaso pues también ya que al menos aprenderé algo nuevo. Sí resulta muy interesante la cuestión de que al mismo tiempo que se construyen los reales se construyen los racionales y que el punto de partida es \( \mathbb Z \), lo cual es ciertamente novedoso, al menos para mi.

Saludos y gracias por tu apoyo. Jabato. ;D

15 Octubre, 2011, 09:16 pm
Respuesta #35

Carlos Ivorra

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Creo que ponerte a hacer la construcción completa será un ejercicio muy interesante.
Los pasos que hay que dar los dí en mi post anterior.
Son muchos, pero no es para desanimarte, sino que son los pasos que hay que dar.

Tal cual está enunciado, el proyecto no puede funcionar. Al menos debe ser retocado para tener en cuenta que el par \( (0,1299999\ldots) \) tiene que definir el mismo número real que el par \( (0,13000\ldots) \). O bien se eliminan las mantisas que acaban en nueves, o bien hay que hacer una identificación entre ellas.

15 Octubre, 2011, 09:26 pm
Respuesta #36

argentinator

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Creo que ponerte a hacer la construcción completa será un ejercicio muy interesante.
Los pasos que hay que dar los dí en mi post anterior.
Son muchos, pero no es para desanimarte, sino que son los pasos que hay que dar.

Tal cual está enunciado, el proyecto no puede funcionar. Al menos debe ser retocado para tener en cuenta que el par \( (0,1299999\ldots) \) tiene que definir el mismo número real que el par \( (0,13000\ldots) \). O bien se eliminan las mantisas que acaban en nueves, o bien hay que hacer una identificación entre ellas.

Jaja, Donald, es cierto, pero no es cuestión de decir que no va a funcionar. La dificultad es menor, y supongo que se resolverá cuando se presente.

De las soluciones que mencionaste, la preferible es la segunda, porque la primera sólo va a traer problemas al definir la suma por ejemplo.

Además, estas cosas son conocidas. No entiendo por qué decís que no va a funcionar.

O sea, me parece muy natural la construcción de los reales a partir de los dígitos.
Si decís que no está en ningún libro, entonces Jabato tiene razón, y se trata de una idea original suya.

Yo he tenido dificultades para encontrar las construcciones completas en los libros. A lo sumo aparece la de Dedekind bien desarrollada en todos lados, porque a todo el mundo le fascina Dedekind.

Pero hay muchas maneras de construir R, y todas enseñan algo importante, además de que son tan distintas que dejan una gran lección que aprender acerca de la riqueza o propiedades de los números reales.

La construcción por medio de dígitos nos obliga a trabajar por ejemplo con el orden lexicográfico, y a intentar definir la suma y el producto en forma de "algoritmo", con las dificultades que conlleva dicho algoritmo al trabajar con infinitos dígitos.

El caso del producto es a simple vista el más complicado.

Pero que va a funcionar, no tengo duda alguna.

15 Octubre, 2011, 09:37 pm
Respuesta #37

argentinator

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De hecho, una vez construidos los reales con algún otro método, se le asigna a cada número real su desarrollo decimal, que es parte entera más su parte decimal.

Esto muestra que el conjunto de objetos que describe Jabato (con la pequeña corrección que apunta Donald) tiene asociadas operaciones de suma, producto, y un orden, que funcionan, pues en este caso simplemente les son "contagiados" desde la "otra" construcción de números reales que ya teníamos (por ejemplo, como puntos en la recta euclidiana, digamos).

Este "contagio" se evita todo el problema de definir a mano las operaciones, pero el problema es, como dije antes, que uno tiene que contar ya con una construcción previa.

Otra cosa interesante es que el tema de los dígitos surge naturalmente directo a partir de los postulados de los números reales.

Por esa razón dudé en poner esta construcción primera en la lista, y me puse a hacer otras.

Justamente por lo que arriba mencioné, si uno ya tiene o sabe que tiene un sistema que cumple las propiedades de los reales, puede hacerle una asignación de su representación con dígitos.

Este tipo de cosas hacen interesante esta construcción específica.

¿Qué pasa si uno intenta hacer la construcción desde la nada, sin asumir que hay un sistema de reales, sino sólo racionales, o enteros?

Hay que escalar la montaña.

15 Octubre, 2011, 09:40 pm
Respuesta #38

argentinator

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En realidad, la única objeción que yo le veo a esta construcción es lo que va a ocurrir cuando se intente definir la multiplicación de estos objetos mixtos "parte entera + parte fraccionaria".

El problema es que ahí ambas partes tienen que empezar a interactuar fuertemente, y se dificulta el trabajo.
Por ejemplo, ¿qué pasaría si multiplicamos un número por 511?
Un trozo de la parte fraccionaria tendrá que pasar a ser parte entera, y hay que tener cuidado en esos detalles para que no se vuelva confuso.

Si no se discriminara entre parte entera y decimal, y sólo se usan sucesiones de dígitos, este problema no aparecería, ya que el tratamiento sería uniforme.


15 Octubre, 2011, 09:54 pm
Respuesta #39

Jabato

  • Visitante
Yo estoy de acuerdo con argentinator, es posible que escalar la montaña conlleve algunas dificultades y también es posible que alguna de ellas no podamos resolverla aquí, pero que la construcción es un modelo para los reales de eso no albergo ninguna duda.

La duda que planteas es simplemente tonta porque si yo establezco que cualquier secuencia infinita de dígitos que tenga al menos una cola que esté formada exclusivamente por nueves no es una mantisa, entonces resuelvo el problema. Considera que cola de una secuencia infinita de dígitos es cualquier secuencia infinita formada por todos los dígitos que siguen a uno dado.

Más peliaguda parece la dificultad que propone argentinator, la de definir el producto en este modelo que parece que va a tener su aquel, aunque creo que es posible hacerlo modificando en cierta medida los algoritmos de suma y producto de números naturales para adaptarlos a la suma y producto de mantisas. Evidentemente trabajar con secuencias infinitas tiene su dificultad pero solo la reconoceré si alguien aquí me dice cual es el valor exacto del producto \( e\times{}\pi \)

Saludos, Jabato. ;D