Autor Tema: Construcción de los sistemas numéricos

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

07 Noviembre, 2009, 07:14 am
Respuesta #20

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Principal * N Z Q R C +


Citar
Pero ... ¿a donde nos lleva esto? ¿a definir número natural? ¿cada número natural es representativo de una clase? ¿Y qué elementos pertenecen a cada clase?

Me parece que la construcción que has sugerido no está muy clara.

En efecto se puede definir la clase de todos los conjuntos biyectivos con uno dado...
En particular, esto puede hacerse para los conjuntos finitos.

Ahora bien, primera pregunta: ¿existe realmente la clase de todos los conjuntos de, digamos, 7 elementos?
Podría ser que dicha clase esté vacía.
Para asegurarnos que no es vacía, debieramos demostrar que al menos existe algún objeto en la teoría de conjuntos que tiene exactamente 7 elementos.

Si usamos la construcción típica de \( \{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}, \) etc., podremos lograrlo tras 7 pasos.
Luego, tras obtener este "ejemplo" de conjunto de 7 elementos, la clase del "cardinal" 7 tendría un representante, y entonces la clase es no vacía.

Esto es importante, porque si no, la clase del "cardinal" 7 se pòdría confundir con alguna otra clase, la del 11 quizá, si también fuera vacía.

Pero ¿cómo podemos probar que para cada "n" existe de verdad un conjunto con "n" elementos?
¿Existe realmente?
Esto se podría probar por inducción...
Pero para poder hacer demostraciones por inducción, necesito basarme primero en un conjunto de números naturales...
Pero como estoy construyendo, supuestamente, los cardinales de uno en uno, porque quiero formar N a partir de ellos... ocurre que no tengo aún un principio de inducción que pueda usar.

No tengo nada.

Tengo que demostrar, entonces, que tengo algún conjunto en donde es válido el principio de inducción.
Es ahí donde viene en nuestro auxilio el axioma del infinito, que dice que: Existe un conjunto X tal que el vacío es un elemento de X, y para todo elemento x de X, el conjunto de nivel superior, {x}, también pertenece a X.
Con eso, y usando intersecciones... se puede construir el famoso conjunto que contiene a todos los \( \{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}, \) etc. como sus elementos.




Ahora puedo usar inducción, porque tengo un conjunto inductivo... jeje. Y lo llamo N.
Volvamos a las clases de equivalencia.
Puede definir la clase de equivalencia \( C_n \) que contenga a todos los conjuntos de la teoría de conjuntos, de cardinal \( n \), para \( n\in N \). Esto quiere decir, biyectivos con el conjunto \( {1,...,n} \).

Todas esas clases \( C_n \) son no-conjuntos. O sea, son clases propias, porque se puede definir en ellas una aplicación sobreyectiva cuya imagen sea la clase universal.
Así que hay cosas que no se pueden hacer.

Por ejemplo, si yo quisiera definir un sistema \( M \) de números naturales como un "conjunto" que contiene a todas esas clases \( C_n \) como sus elementos, no se puede, porque justamente una clase propia no puede pertenecer a ninguna otra clase. Si algún objeto pertenece a M, ya es un conjunto, y no una clase propia...

Así que lo que puedo hacer es tomar un representante de cada clase.
Para eso se requiere un proceso de elección...
En este momento no recuerdo si los procesos de elección se pueden aplicar a familias de clases cualesquiera, o si sólo se puede aplicar a conjuntos.

Como sea, supongamos que sí se puede...
Entonces de cada clase \( C_n \) debiera elegir un representante para formarme un conjunto de números naturales.
La forma correcta de hacerlo sería la siguiente:

Elijo un representante de la clase \( C_1 \), que será un conjunto unitario, digamos \( U_1 \). De él extraigo su único elemento \( x_1 \).

Ahora tomo un representante de la clase \( C_2 \), que será un conjunto \( U_2 \) de dos elementos, digamos \( a, b \).
Podría tomar quizá cualquiera de ellos como el elemento extraído \( x_2 \).
Pero no es cierto eso, porque alguno de los dos elementos, ya sea \( a \) ó \( b \), podría coincidir con \( x_1 \). Así que debo tomar un elemento cualquiera de \( U_2 \), que no sea el \( x_1 \) antes obtenido.
En general, para la clase \( C_n \) tomo un conjunto \( U_n \) de \( n \) elementos, y elijo cualquiera de sus elementos, siempre que no esté en las lista de los anteriores pasos del proceso: \( x_1, x_2, ..., x_{n-1} \).

En forma recursiva queda definida una lista numerable de elementos "distintos".
Ahí sí que puedo tener un modelo de números naturales diferente, basado en clases de "cardinales".

No obstante, todo este proceso requiere que uno haga las definiciones por recurrencia con mucho más cuidado, desde un punto de vista formal.



No obstante, he seguido esos "pasos" para hallar \( x_1, x_2, ... \) porque quería reconstruir tu idea de cómo obtener un conjunto N a partir de las clases de cardinales.

Pero no es lo que yo haría, por ejemplo.
Yo me quedaría tranquilo tomando directamente a los conjuntos \( U_1, U_2, U_3 \), etc. como los elementos de ese nuevo conjunto N que deseo formar. Esos serían los "elementos" que tomaría.

07 Noviembre, 2009, 11:07 am
Respuesta #21

Jabato

  • Visitante
Esta claro, he entendido tus argumentos, y la única conclusión que saco de ellos es que "el conjunto de los números naturales" no existe, solo existen ... familias de conjuntos biyectivos que cuando satisfacen ciertas propiedades podemos identificar con algo que llamamos número, pero si el conjunto de los números naturales propiamente dicho no existe tampoco existen sus elementos y toda la matemática se iría al garete, por no decir otro sitio menos digno. Así que los números naturales deberían existir, pero entonces la única posibilidad es que el concepto de número haga referencia a una clase de conjuntos , ¿qué clase? pues existen varias posibilidades de definir número natural como clase, no hay duda, pero aunque te parezca algo empecinado yo lo veo así.

Saludos, Jabato. ;D

07 Noviembre, 2009, 11:22 am
Respuesta #22

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Principal * N Z Q R C +


Matemáticamente los números naturales existen, incluso como conjunto... (junto a operaciones, relaciones, lo de siempre).
Lo que ocurre es que no hay un solo conjunto al que se le pueda dar el mote de "números naturales".
Esa "clase" que contiene a todos los sistemas de números naturales solamente dice que el concepto de número natural es "confiable", en el sentido de que cualquier conjunto que a uno se le ocurra construir con las propiedades de número natural... se va a comportar como cualquier otro. Son todos el "mismo" en esencia.

No entiendo lo último que has dicho.

Lo que saco en limpio del uso de "clases" para definir naturales a partir de "cardinales" es que primero hay que demostrar que dichas clases existen... y luego, que se debe tomar representantes de esas clases, o elementos de esos representantes... como quieras.
Lo importante en todo caso es hacerlo con cuidado.

Pero no se puede tomar a las "clases de cardinales" mismas como elementos de un "conjunto" de números.
Aunque se las puede coordinar tomando representantes de ellas, y en ese sentido dichas clases se corresponderían con números.
Aunque ya a esta altura...
Mejor me voy a ver si entiendo el problema de la escalera.  (se hace referencia a un thread del foro de física)

14 Noviembre, 2009, 07:31 pm
Respuesta #23

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Principal * N Z Q R C +


Al parecer, este asunto me está llevando mucho más tiempo del que imaginé.

He terminado la mayor parte de la teoría de números reales.

Números Reales (parte 1)

Me falta tan sólo agregar un teorema que demuestre que cualquier par de sistemas que satisfagan los 4 axiomas de los números reales, son en realidad isomorfos entre sí, ya sea algebraica como ordinalmente. (Ya está agregado)

La teoría de números reales tiene muchos aspectos interesantes que no quise pasar por alto.
La propiedad del supremo, que es lo que dota a \( R \) la estructura de "continuo", merece ser estudiada desde los muchos puntos de vista que presenta, para poder entender sus implicaciones, y ayudarnos a comprender mejor a los números reales.

Es por eso que he puesto una serie de equivalencias en el Teorema 3 de la teoría de números reales,
todas propiedades equivalentes a la propiedad de tener un supremo...

También hay un Teorema 4 con varios preliminares, que muestra la equivalencia entre tener supremo y tener las propiedades de arquimedianeidad y completitud de Cauchy.

Estos detalles geométricos y topológicos son tan fundamentales e importantes en la comprensión de los números reales que no los quise dejar "en el aire", como he hecho en cambio con muchas otras propiedades y teoremas aritméticos de \( N, Z, Q \) y también \( R \) mismo.

Ha sido un trabajo arduo, porque he preferido, como hasta ahora, hacer un mínimo uso de ciertas propiedades de los números,
y por otra parte pretendo que las demostraciones sean exactas, a la vez que claras para el ojo no muy especializado.

Además falta desarrollar un segundo post de números reales en el que se muestre que existe al menos un modelo de números reales, o sea, la teoría no es vacía.
Este post estará dedicado exclusivamente a los modelos constructivos de dichos números.
Los casos que voy a desarrollar son los siguientes:

  • \( R \) se obtiene a partir de clases de equivalencia en el espacio de sucesiones crecientes de racionales.
  • \( R \) se obtiene a partir de clases de equivalencia por el método de "intervalos encajados" de racionales (casi lo mismo que lo anterior)
  • \( R \) se obtiene dotando al espacio de las "sucesiones de dígitos" de las operaciones y relaciones adecuadas.
  • \( R \) se obtiene a partir de los racionales mediante el método de las cortaduras de Dedekind.
  • \( R \) se obtiene a partir de ciertos axiomas y propiedades de la geometría euclidiana de la "línea recta".
  • Dado cualquier modelo de cuerpo ordenado arquimediano \( C \), se puede construir un modelo de \( R \) agregando los "elementos faltantes" para que se cumpla la completitud de Cauchy.
    En particular, si ya hemos probado que hay un modelo de números racionales \( Q \), entonces completando en el sentido de Cauchy se obtiene un modelo que cumple los axiomas \( R \) de forma trivial.

Es la historia sin fin...  :'(
Pero ya llegaremos.

También planeo agregar varios gráficos para hacer la cosa algo más digerible...  (Ya están agregados... ojalá cumplan su propósito)

Mientras tanto, los interesados tienen bastante material con el cual entretenerse.
De paso pueden marcar errores, sugerir cambios o agregados, comentar, etc.

 ;)

17 Noviembre, 2009, 04:31 am
Respuesta #24

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Principal * N Z Q R C +



Hola gente.

Estuve retocando el post de números reales:
Le agregué unos cuantos dibujos en medio de las definiciones o incluso demostraciones.

No soy Rembrandt dibujando, pero algo es algo.  :-\

Los dibujos están en el interior de los spoilers, así que no se ven a simple vista, y hay que ir abriendo los desplegables para buscarlos. Si no hay ganas de leer largas demostraciones, por lo menos uno puede divertirse "buscando el dibujito":P

Como sea, ya nadie tiene excusa para decir que no se entiende la teoría de números reales.
Aunque voy a tener que hacer algún curso de arte y diseño gráfico  :banghead: ... he abusado demasiado del Paint  :-[ (no le cuenten a nadie que uso ese programejo :-X ).

Cariños a todos  :-*

20 Noviembre, 2009, 04:30 am
Respuesta #25

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Principal * N Z Q R C +


Aviso importante: Estuve revisando "a fondo" el post de números reales, parte 1, y encontré algunos errores en el extenso Teorema 3:
  • Errores pequeños de notación en la parte (c), en una parte donde se usan unos índices "\( r \)".
    El error era de notación en latex, pero al leerlo podia causar confusión, porque era un paso algo intrincado de la demostración.
  • Un pequeño error en la parte (f). En vez de la intersección de los intervalos \( J_m \) había escrito la unión...
    También cambié de lugar el gráfico que figura en la equivalencia con (f), porque el lugar correcto es después de haber discutido acerca de los intervalos que no pueden cubrirse con finitos abiertos.
  • Error gigantesco en la prueba de la parte (d):
    La recíproca de la equivalencia de la parte (d) estaba completamante mal,

    y en realidad la demostración correcta, que es lq que puse ahora, es incluso mucho más fácil de entender y de llevar a cabo.

Creería que ya no hay más errores en la parte de números reales, ya que realicé una lectura paciente y muy minuciosa en busca de errores, y parece que todo está en orden.

Según he visto en google, sé que hay gente que ha estado imprimiendo todo este material... jeje  :D
A tales personas les sugiero que tengan en cuenta estas correcciones, y les agradecería que me indiquen si han detectado algún otro error en las cuentas.  :P

21 Noviembre, 2009, 10:20 pm
Respuesta #26

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Principal * N Z Q R C +


Aviso: Ahora hice una revisión exhaustiva del post de números racionales, y sólo encontré pequeños errores, que han sido corregidos. También está algo más "colorida" la presentación, y algo más retocada toda la parte visual.

¿Son muy molestos los colorinches salpicados por todos lados?
Estoy abusando de los colores porque he notado que le dan más vida al texto, se hace menos monótono, y se realzan los puntos clave de una demostración.

Estoy tratando de ser consecuente con el sistema de colores, pero no es perfecto.
En general el verde significa "ideas filosóficas o discusiones informales".
El marrón indicaría hipótesis o conclusiones intermedias importantes en una demostración, o bien algunas definiciones o recomendaciones.
El azul marino indica hipótesis o conclusiones definitivas o mucho más importantes que las que aparecen en marrón.

Pero no necesariamente he respetado esos parámetros de colores a rajatabla.

22 Noviembre, 2009, 07:24 am
Respuesta #27

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Principal * N Z Q R C +


Aviso: He realizado una verificación exhaustiva de lo escrito en el post de números enteros, y parece estar todo correcto.
También he hecho un retoque estético de todo el post, con más colorido.


15 Octubre, 2011, 11:34 am
Respuesta #28

Jabato

  • Visitante
No quisiera estropear tu hilo con cosas menores, pero voy a incluir aquí una forma muy sencilla (no geométrica) de construir números reales. Si consideras que esto no debiera estar aquí ó simplemente que estropea la estética del hilo lo borras y seguimos tan amigos.

Baste decir que los números reales presentan en su estructura dos partes bien diferenciadas, la mantisa y la parte entera, de manera que podríamos considerar que un número real no es más que un par ordenado de la forma:

\( r=(e,m) \)

  · La parte entera, \( e \), es un número entero, positivo ó negativo, cualquiera.

  · La mantisa, \( m \), es una sucesión indefinida de dígitos, que cuando es cíclica permite identificar el par con un
    número racional y cuando no lo es el par se identifica con un numero irracional.

El conjunto de pares así construidos podemos pues identificarlo con un modelo del conjunto de los números reales. Demostrar que tales construcciones cumplen sus axiomas es algo más peliagudo que solo intentaré si consideras que este mensaje merece sobrevivir aquí, en otro caso lo olvidaré ó si acaso abriría un hilo nuevo para intentarlo sin molestar tu intervención.

NOTA: el concepto de mantisa, visto como una sucesión indefinida de dígitos, es un concepto poco utilizado y menos aún desarrollado en matemática, pero si se molesta uno en analizarlo con detenimiento resulta que presenta unas propiedades muy interesantes y útiles tal y como se muestra aquí mismo, en el que se utiliza dicho concepto para definir los números racionales y los irracionales partiendo tan solo de los números enteros, caso que bien vale como ejemplo de sus interesantes propiedades, entre las que cabe citar la más relevante y es la de que el conjunto de todas las mantisas es un conjunto que presenta cardinalidad continua.
 
Saludos, Jabato. ;D

15 Octubre, 2011, 08:17 pm
Respuesta #29

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,274
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Principal * N Z Q R C +


No quisiera estropear tu hilo con cosas menores, pero voy a incluir aquí una forma muy sencilla (no geométrica) de construir números reales. Si consideras que esto no debiera estar aquí ó simplemente que estropea la estética del hilo lo borras y seguimos tan amigos.


Hola.

Como el hilo está dedicado específicamente a un tipo de construcción: "encaje de intervalos racionales", no correspondería hablar de repente de una construcción distinta.

Se me ocurrió pegar esta pregunta tuya con el hilo "maestro" en donde llevábamos las discusiones referidas a la construcción de los sistemas numéricos.

Si no te gusta que quede ahí, porque se mezcla demasiado con las otras discusiones, puedo poner este hilo aparte, como un tema nuevo. No hay problema.





Las construcciones que conozco incluyen, creo, la que has nombrado (aunque a lo mejor la estás pensando en un modo sutilmente diferente). La lista que conozco es la siguiente:


En cada desplegable llevamos a cabo una construcción de un modelo diferente de sistema números reales, y basta hacer clic para ver los detalles.

En todo lo que sigue, supondremos que tenemos disponible un sistema de números racionales \( (Q,+,\cdot,0,1, \leq) \), y denotaremos con \( N \) y \( Z \) a sus correspondientes subsistemas de numeros naturales y números enteros.

Método de los intervalos encajados de números racionales[/font]

Método de los sucesiones crecientes acotadas de números racionales


[cerrar]

Método de los cortaduras de Dedekind

[cerrar]

Método de la completación métrica en el sentido de Cauchy

[cerrar]

Método de sucesiones formadas con un alfabeto finito de dígitos

[cerrar]

Método de coordenadas en la línea recta euclidiana

[cerrar]



De esa lista sólo he desarrollado la mitad principal de la primera: encajes de intervalos.
Las otras, bueno, llevan tiempo.