Autor Tema: Construcción de los sistemas numéricos

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20 Octubre, 2011, 09:17 pm
Respuesta #80

Jabato

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Y vamos a continuación a intentar desarrollar el producto de mantisas, es decir el producto de la forma:

\( (0,m_1)\times (0,m_2) \)

¿Alguna sugerencia?

Saludos, Jabato. ;D

20 Octubre, 2011, 10:03 pm
Respuesta #81

argentinator

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Yo ya dije cuáles son los pasos a seguir en ese caso.

En cuanto a tu preocupación por casos positivo y negativo, yo diría que eso no tiene importancia.

Basta pensar que todos los números son positivos, y al final de todo considerar qué ocurre con los signos.

20 Octubre, 2011, 10:50 pm
Respuesta #82

Jabato

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Bueno, yo solo trataba de ver si a alguien se le ocurria alguna estrategia que pudiera simplificar algo la cosa, algo así como una "tormenta de ideas", pero ya veo que esto no va a ser fácil. De todas formas gracias por tu aporte. A mi me tira más la idea de convertir el producto de mantisas en una combinación de sumas y productos de mantisas por un entero, dos operaciones que ya sabemos realizar, y es posible que pueda hacerse aunque aún no veo la forma precisa de hacerlo. Le daré algunas vueltas más a ver si lo consigo precisar ó alguien nos aporta un nuevo punto de vista.

Saludos, Jabato. ;D

06 Noviembre, 2012, 09:43 am
Respuesta #83

Marcos Castillo

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Hola, Argentinator. Acabo de descubrir este thread. Estoy interesado en la propiedad arquimediana de los diferentes conjuntos de números, y tu explicación es muy buena, muy gráfica. Pero todavía me quedan dudas. ¿Podrías echarle un vistazo a los mensajes que he colgado en el apartado Matemáticas Generales?.
No sé si he metido la pata diciendo que no veía cuál era la trascendencia de la propiedad arquimediana, y desde luego tenía que haber descubierto tu thread antes, habiendo buscado en el epígrafe que realmente le toca. :'(
No man is an island (John Donne)

06 Noviembre, 2012, 10:12 am
Respuesta #84

argentinator

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No soy partidario de los adjetivos, porque no sirven para resolver problemas ni demostrar teoremas.

La propiedad arquimediana tiene su mayor importancia en R, porque es un conjunto donde dicha propiedad vale de un modo no trivial.

Pero el hecho de que valga ahí es consecuencia de su relación con sus subsistemas N, Z, Q.

En cuanto a tus posts, no he comentado nada porque hacen una alegoría sobre Aquiles y la tortuga, y no soy muy amigo de esas interpretaciones. Me gustan más los cálculos en frío. Si hay algún problema matemático concreto, una demostración con la propiedad arquimediana, entonces me avisás y me fijo.

Saludos

06 Noviembre, 2012, 11:53 am
Respuesta #85

Marcos Castillo

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Es que lo que quiero es desmontar esa paradoja, y creo que la propiedad arquimediana lo consigue; pero no estoy seguro de estar razonando correctamente, porque al fin y al cabo soy un principiante.  ???
No man is an island (John Donne)

08 Febrero, 2013, 01:52 am
Respuesta #86

Lycan

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Saludos

He estado leyendo los post y todos están muy interesantes.

Tengo una duda: el desarrollo de la teoría de cada sistema numérico ha sido acompañado de un grupo de axiomas que nos orientan sobre el conjunto de propiedades que determinan las características que dan forma a cada sistema. Por ejemplo para construir los números naturales se tuvo en cuenta los axiomas de Peano, o para los números enteros los axiomas de cuerpo + los de orden + el de completud. Por otro lado, puntualizando en mi duda, el conjunto de los números complejos suele presentarse como un conjunto de pares ordenados de reales, al cual se dota de una multiplicación y una suma, entonces  ¿existen unos axiomas que determinen las propiedades de los números complejos?

08 Febrero, 2013, 05:46 am
Respuesta #87

argentinator

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Bueno, esto tendría que pensarlo.

Para seguir con el enfoque que estuve desarrollando, tendría que dar un sistema de axiomas para los números complejos.

Como haber un tal sistema, lo hay, no es nada complicado.

Pero el problema es que los sistemas axiomáticos que estuvimos desarrollando son "categóricos",
con lo cual quiero decir que satisfacen una propiedad de unicidad: todos los sistemas que satisfacen la lista de axiomas son isomorfos entre sí.

Así que la pregunta exacta sería: ¿existe un sistema axiomático de los complejos tal que todos los sistemas que cumplen esos axiomas son isomorfos entre sí?

O sea, estamos preguntando cuáles son los axiomas que caracterizan unívocamente a los complejos.

__________

Dado que eso no suele estar en los libros hay que pensarlo.
Hasta ahora no lo he pensado, confiando en que si me pongo a escribirlo me va a salir.
No obstante, es posible que haya algunos obstáculos para lograrlo.

Puedo acá ensayar algo:

Una lista \( (C, +, \cdot, 0, 1,  i, R, <)  \) es un sistema de números complejos si:

* \( C \) es un conjunto no vacío,
* \( (C, +, \cdot, 0 , 1) \) es un cuerpo con neutro 0 para la +, y neutro 1 para \( \cdot \).
* \( R \) es un subconjunto de \( C \) tal que 0 y 1 son elementos de \( R \), y tales que \( (R, +, \cdot, 0, 1, <) \) es un cuerpo ordenado completo (o sea, un sistema de números reales). [Aquí \( +,\cdot \) son las operaciones de \( C \) restringidas a \( R \)].
Nota: La relación < solamente está definida en \( R \), no está definida en el resto de elementos de \( C \). Esta aclaración algo incómoda se puede subsanar dando los axiomas de \( R \) de un modo algo distinto.

* El elemento \( i \) no pertenece a R, y cumple la relación \( i^2= -1 \).

* \( (C, 0, +, \cdot|_{R\times C}) \) es un espacio vectorial definido sobre el cuerpo \( (R, 0, 1, +, \cdot) \), donde 0 es el "vector" 0, y \( \cdot|_{R\times C} \) es el "producto de escalares por vectores", que se toma como el producto de \( C \) restringido a \( R\times C \).

(Recordemos que todo espacio vectorial ha de definirse en relación a un cuerpo de escalares. Aquí especificamos explícitamente que el cuerpo de escalares es el mismo R que antes teníamos como subcuerpo ordenado completo de C).

Hay que prestar atención porque aquí las mismas operaciones de suma y producto de C sirven tanto para las operaciones de suma y producto del subcuerpo R, el cual a su vez es "cuerpo de escalares para C como espacio vectorial", y además el producto de C, debidamente restringido, funciona como "producto por escalar" de C como R-espacio vectorial.

* La dimensión de \( C \) como \( R \)-espacio vectorial es 2: \( dim_R(C) = 2 \). Además, los "vectores" \( 1 \) e \( i \) son linealmente independientes, y constituyen una base del espacio vectorial \( C \).


Creería que esos axiomas son suficientes para garantizar la unicidad (salvo isomorfismos) del sistema de los números complejos (siempre bajo una teoría formal y estándar de conjuntos).

Para verlo, hay que suponer que tenemos dos sistemas de complejos distintos:

\( (C, +, \cdot, 0, 1, i, R, <) \) y \( (C', +', \cdot', 0', 1', i', R', <') \)

y demostrar que:

* Existe una biyección \( h \) entre \( C \) y \( C' \) tal que:
* \( h(0) = 0', h(1) = 1', h(i) = i', h(R) = R' \),
* \( h(w+z) = h(w) + h(z), h(w\cdot z) = h(w)\cdot h(z). \)
* \( w,z\in R, w< z \) implica \( h(w), h(z) \in R' \) y \( h(w) < h(z). \)
* Y análogas propiedades para la función inversa \( h^{-1} \).

No he hecho las comprobaciones, para ver si falta algo en el camino.

Si esos axiomas no caracterizan la unicidad de los sistemas de números complejos,
entonces habrá que agregar algún axioma más,
y para esto hay que elegir alguna propiedad característica de los números complejos,
como por ejemplo que C es un espacio vectorial con producto interno (no creo que esto agregue más información que la que ya hay desde los axiomas),
o que el subconjunto \( S = \{cos\theta + i\sen\theta: 0\leq\theta <2\pi\} \) con el producto de \( C \) restringido a \( S \), forma un grupo conmutativo, isomorfo al grupo de matrices ortonormales reales de 2x2, con determinante 1.
Pero esto también seguramente es consecuencia de los axiomas.

O quizá el teorema de que todo polinomio de coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.

Otro día me pondré a hacer bien los cálculos, y los agregaré a la teoría de los sistemas numéricos.

Un saludo.

08 Febrero, 2013, 08:18 pm
Respuesta #88

Lycan

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Hola Argentinator.

Gracias por la respuesta. Estoy viendo sistemas numéricos (también álgebra lineal) y la información de aquí me ha servido bastante para estudiar.

¿Estos axiomas determinan los complejos?

*\( C \) es un cuerpo.

*\( C \) tiene un subconjunto propio de números reales, con la misma suma, multiplicación, cero y uno que \( C \).

*Existe un número imaginario (un complejo no real) \( i \), tal que \( i^2=-1 \).

*Todo número complejo es de la forma \( a+bi \) para únicos \( a,\,b \) reales.

Si no lo son, corrígeme.





08 Febrero, 2013, 10:02 pm
Respuesta #89

Carlos Ivorra

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Me temo que he cruzado este hilo con este otro:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=65635.msg263930#msg263930

y ahora han quedado demasiado enredados para deshacer la maraña. Traigo aquí algo planteado allí:

Hago aquí un comentario sobre un asunto que argentinator está tratando en este otro hilo:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=24564.msg263877#msg263877

Como voy a hacer referencia a lo dicho en este hilo, creo que será más fácil de seguir aquí.

En resumen: Todo conjunto con una suma y un producto que cumpla los axiomas de cuerpo, que tenga característica 0, que sea algebraicamente cerrado y que tenga cardinal \( 2^{\aleph_0} \) es isomorfo al cuerpo \( \mathbb C \) de los números complejos. Esto, como digo, es una posible respuesta (no la única, por supuesto) a la pregunta planteada en el hilo que he citado.

Recordaba que el hecho de ser algebraicamente cerrado era importante.
Pero me quedó la duda de si los otros axiomas que puse en "ese" hilo acaso serían suficientes, y ser algebraicamente cerrado sería ya un Teorema deducible de todo lo demás que supuse.
Creo que con probar la unicidad allí, y comprobando luego que la construcción básica de C como pares ordenados de reales cumple los requisitos allí exigidos, ya se podrían usar todos los teoremas conocidos de variable compleja, y en particular que C es algebraicamente cerrado.

Estimo que las cuentas son fáciles, pero no las he hecho.

Sí, es cierto, si garantizamos axiomáticamente que el cuerpo \( C \) contiene una copia de \( \mathbb{R} \) (sea explícitamente, como hace Lycan, o indirectamente, a través de una caracterización axiomática de \( \mathbb R \), como hace argentinator), las propiedades exigidas ya garantizan que \( C\cong \mathbb C \) (es decir, que la respuesta a la última pregunta de Lycan es afirmativa) y en particular que C es algebraicamente cerrado.

De hecho (y no sé si esto es simplificar o complicar las cosas) se puede omitir toda referencia a \( i \) en los axiomas y suponer únicamente que \( C \) es un espacio vectorial de dimensión finita (mayor que 1) sobre \( \mathbb R \).