Hola
¿En virtud a qué podemos decir que \( I \) está contenido en una cantidad finita de ideales maximales?
¿Por qué podemos encontrar \( f_1, f_2, \ldots, f_s \in{I} \) tal que \( m_1, \ldots, m_r \) son los únicos ideales maximales que los contienen?
Te contesto a ambas cosas conjuntamente. Dado \( f_1\in I \) no nulo, por hipótesis \( f_1 \) está contenido en un número finito de maximales:
\( f_1\subset m_1\cap m_2\cap \ldots\cap m_{k_1} \)
Ahora cualquier ideal que contenta a \( I \) contiene a \( f_1 \) por tanto los ideales maximales que contienen a \( I \) son un subconjunto de los ideales maximales que contienen a \( f_1 \) y así un número finito.
En particular, si entre los ideales que contienen a \( f_1 \) hay alguno que no contiene a todo \( I \), existe \( f_2\in I \) no contenido en todos los ideales que contenían a \( f_1 \). Retiramos aquellos en que no está (podemos suponer que son los últimos) y tenemos:
\( f_1,f_2\subset m_1\cap m_2\cap \ldots\cap m_{k_2} \) con \( k_2<k_1 \)
de manera que \( f_1,f_2 \) no están contenidos ambos a la vez en más ideales maximales. Si esa colección de ideales contiene a \( I \) hemos terminado. En otro caso existe un \( f_3 \) que no está en alguno de esos maximales, y bla..bla...bla. Repitiendo el proceso se consiguen:
\( f_1,f_2,\ldots,f_s\subset m_1\cap m_2\cap \ldots\cap m_r \)
siendo estos los maximales que contienen a \( I \) y los únicos que contienen simultáneamente a \( f_1,f_2\ldots,f_s. \)
Por otro lado, entiendo que \( IR_{m_{i}}=\{\displaystyle\frac{a}{s}:a\in{I},s\not\in{m_i}\} \), pero no entiendo por qué \( (f_{s+1},\ldots, f_n)R_m\subset{(f_{1},\ldots, f_n)R_m} \)
Pero esa inclusión es inmediata. Fíjate que en \( (f_{1},\ldots, f_n) \) tienes todos los elementos que tenías aquí \( (f_{s+1},\ldots, f_n) \) y algunos más.
Por último, no entiendo qué anillo es \( k(x_j)[x_{m_i+1},\ldots,x_{m_{i+1}}]_{(x_{m_i+1},\ldots,x_{m_{i+1}})} \) en la página de mathexchange
Es el anillo de polinomios con coeficiente en \( [x_{m_i+1},\ldots,x_{m_{i+1}}] \) sobre el cuerpo de fracciones del anillo de polinomios con coeficientes en \( \{x_j|j\not\in \{m_i+1,m_i+2,\ldots,m_{i+1}\} \), localizado en el ideal primo \( (x_{m_i+1},\ldots,x_{m_{i+1}}) \).
Saludos.