Pusiste un anzuelo... y piqué.
Ahí voy.
El
Postulado 1 sería un Axioma propiamente dicho según el sentido moderno.
Los
puntos y las
rectas serían
elementos primitivos de la teoría, así como la relación "
pasa por", que es lo mismo que la relación recíproca de la
relación de pertenencia: \( r \) "
pasa por" \( P \)
si y sólo si \( P \) "
pertenece" a \( r \).
Para el
Postulado 2 hace falta que previamente se defina la noción de
segmento.
Euclides lo hace, pero de un modo "lingüístico", que no aclara mucho las cosas.
En el sentido moderno de la
geometría plana es necesario postular antes que nada que
toda recta tiene un orden total sobre ella.
Luego se puede definir
segmento con extremos \( A, B \) (
puntos), como el conjunto de puntos \( X \) de la única recta \( r \) determinada por \( A, B \) (que existe por
Postulado 1), que satisfacen \( A \leq X \leq B \), donde \( \leq \) es el orden de la recta \( r \).
Ahora el
Postulado 2 dice que un segmento siempre puede ser "alargado".
El sentido de esto es que la recta \( r \) siempre tiene más puntos que los de cualquier segmento AB de ella, que son menores que A y mayores que B.
Está diciendo que una recta no tiene puntos que sean mínimos o máximos absolutos en ella (en el orden que ella determina para sus puntos).
El
Postulado 3 encierra muchas sutilezas. Necesita primero la definición de
circunferencia.
La definición que da
Euclides dice que es un conjunto en el plano con la propiedad de que
hay un punto interior a ella, el centro, tal que todos los segmentos que parten del centro y tocan algún punto de la circunferencia, son iguales.
La noción de
igualdad para
Euclides me parece que es sólo intuitiva, y se refiere a que uno puede usar un
movimiento rígido para llevar un objeto hacia el otro y observar que coinciden (congruencia geométrica).
A la longitud común a todos los segmentos iguales desde el centro al borde sería el
radio...
Pero si mis sospechas no son erradas, para Euclides el
radio no es un número, sino la
clase de equivalencia de todos los segmentos
congruentes a un segmento dado \( AB \).
De hecho, se puede definir así la noción de medida de un segmento, y todo marcharía bien...
Con esa definición uno puede preguntarse: si tengo un
punto \( O \) y un
segmento \( OP \), ¿existe alguna
circunferencia con \( O \) como
centro y con \( OP \) como
radio? El postulado afirma que efectivamente hay una tal
circunferencia, y que es
única.
Está bien la aclaración de unicidad por la manera rebuscada de definir circunferencia.
Si se hubiera definida como el conjunto de puntos equidistantes de un centro, habría posibilidad para un solo tal conjunto.
Pero según la definición de Euclides, que lo hace a partir del "comportamiento" de una circunferencia, bien podría en principio haber más de una con el mismo "comportamiento".
Pero por decreto... no es así.
Para el
Postulado 4 hace falta la definición de
ángulo recto, que da
Euclides como sigue:
Un
ángulo es la
inclinación mutua de dos rectas... quién sabe lo que eso signifique. Es lo mismo que decir que la inclinación es el ángulo entre dos rectas. No vamos para ningún lado.
A partir de esa definición inútil, Euclides declara que
si una recta \( r \) corta a otra recta \( s \) de manera que a "ambos lados" del corte determina ángulos iguales, entonces estos ángulos se llaman rectos, y las rectas se dicen perpendiculares.
Acá hay demasiadas cosas sin definir como se debe. Por ejemplo, asume que cada recta tiene dos lados, o sea, separa el plano en dos mitades "iguales" (congruentes).
Si bien define perpendicularidad, no significa que existan los ángulos rectos ni las rectas perpendiculares.
Supongamos que tenemos otro par de rectas \( r' \) y \( s' \) que se cortan de forma que los ángulos que determinan a cada lado son "iguales".
¿Son estos ángulos iguales a los que obtuvimos en el corte de las rectas \( r \) y \( s \) de más arriba?
El
Postulado 4 decreta que sí.
El
Postulado 5 lo expliqué ya en el thread del libro de Penrose. Me autocito acá:
El 5to Postulado de Euclides es de importancia crucial en la teoría de las rectas paralelas, que luego repercute en otros hechos, como que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre la suma de dos rectos, etc. Dicho 5to Postulado se puede probar que es lógicamente equivalente a tomar la Proposición 30 como Postulado, o sea, suponer que sólo hay una paralela a una recta dada por un punto dado. Esto se conoce como Postulado de las Paralelas, y durante siglos los geómetras pensaban que debía ser una Proposición, o sea, algo demostrable, y no un hecho tomado a priori, sin demostración alguna, como Euclides había hecho con su equivalente, el 5to Postulado.
Este
Postulado es la fuente de todas las controversias de los contemporáneos de Gauss en torno a las geometrías no euclidianas.
Su negación abre la puerta las geometrías
no planas.
