Autor Tema: El Camino a "El Camino a la Realidad", de Roger Penrose

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08 Agosto, 2009, 05:20 am
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argentinator

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El libro "El Camino a la Realidad", de Roger Penrose, intenta explicarnos el Universo a través de las matemáticas.

Yo intentaré de a poco intentar comentar y entender el libro.
Por supuesto que es muy extenso (más de 1000 páginas de matemáticas duras).
Pero con intentar no se pierde nada.
Iré poniendo aquí las cosas que vaya reflexionando, o quizá abriendo nuevos temas de discusión a partir de lo que vaya surgiendo.
Cualquier comentario o delirio será bienvenido.
Los detalles de las herramientas matemáticas... considero que será mejor tratarlos en temas aparte, a los cuales se enlace desde aquí.



Anexado:

Una aclaración importante.

Me he puesto a escribir resúmenes y comentarios sobre el libro de Penrose, tal como se ve en los posts a continuación.
El plan es entrar de manera exhaustiva en el libro de Penrose.
Lo idóneo sería que yo escribe un libro ante tamaña tarea,
o bien que vaya soltando artículos para una revista,
o bien que escriba un blog,
o bien que ponga todo en un archivo grande y lo cuelgue en la página principal del foro.

Pero no quiero hacer nada de eso, sino que deseo ponerlo como parte de un thread en el foro.
La consecuencia es que cualquier persona tiene el derecho a opinar y entonces todo lo que vaya escribiendo corre el peligro de quedar algo desprolijo.
Pero aún así prefiero eso, porque espero que desde aquí se lancen discusiones sobre los temas que vayan surgiendo.

Aún así, la desprolijidad o el desorden en los temas no será tal.
Me las he ingeniado para llevar a cabo un sistema de "indexación interno", de manera que aquellos que quieran ir al comentario de una sección o capítulo específico sobre el libro de Penrose, podrán hacerlo desde el índice principal, o bien desde los enlaces que iré poniendo sistemáticamente en el encabezado de cada post.

Más aún, aunque varios foristas puedan intercalar comentarios entre los míos propios, lo cual deseo que ocurra, y mucho,
aún así considero que para que haya cierto orden, sería bueno que por lo menos el contenido de todas las secciones de un determinado capítulo según el orden que lleva el libro de Penrose, se mantenga en un mismo bloque.
De eso me encargaré yo, que tengo algunos "truquillos" para lograrlo, los cuales espero no les resulten de mal gusto a los que ingresan, y sepan comprender que busco poner tan sólo un poco de orden en este thread, que de por sí será muy pero muy extenso.
[cerrar]



Es muy posible que la participación general aumente al hablar temas de geometría diferencial, y cuestiones de física.
Pero estaría bueno que haya más participación en todos los temas tratados.
La invitación está hecha para todo el mundo.
Hay algunos threads abiertos en relación a los temas ya comentados, pero pueden abrirse otros más si alguien quiere.



Anexado:

Viene bien poner un índice a los capítulos y secciones comentados del libro, para más rápido acceso.




Índice general del libro (en inglés)

Preface xv
Acknowledgements xxiii
Notation xxvi
Prologue 1
1 The roots of science 7
1.1 The quest for the forces that shape the world 7
1.2 Mathematical truth 9
1.3 Is Plato’s mathematical world ‘real’? 12
1.4 Three worlds and three deep mysteries 17
1.5 The Good, the True, and the Beautiful 22
2 An ancient theorem and a modern question 25
2.1 The Pythagorean theorem 25
2.2 Euclid’s postulates 28
2.3 Similar-areas proof of the Pythagorean theorem 31
2.4 Hyperbolic geometry: conformal picture 33
2.5 Other representations of hyperbolic geometry 37
2.6 Historical aspects of hyperbolic geometry 42
2.7 Relation to physical space 46
3 Kinds of number in the physical world 51
3.1 A Pythagorean catastrophe? 51
3.2 The real-number system 54
3.3 Real numbers in the physical world 59
3.4 Do natural numbers need the physical world? 63
3.5 Discrete numbers in the physical world 65
4 Magical complex numbers 71
4.1 The magic number ‘i’ 71
4.2 Solving equations with complex numbers 74
4.3 Convergence of power series 76
4.4 Caspar Wessel’s complex plane 81
4.5 How to construct the Mandelbrot set 83
5 Geometry of logarithms, powers, and roots 86
5.1 Geometry of complex algebra 86
5.2 The idea of the complex logarithm 90
5.3 Multiple valuedness, natural logarithms 92
5.4 Complex powers 96
5.5 Some relations to modern particle physics 100
6 Real-number calculus 103
6.1 What makes an honest function? 103
6.2 Slopes of functions 105
6.3 Higher derivatives; C1-smooth functions 107
6.4 The ‘Eulerian’ notion of a function? 112
6.5 The rules of diVerentiation 114
6.6 Integration 116
7 Complex-number calculus 122
7.1 Complex smoothness; holomorphic functions 122
7.2 Contour integration 123
7.3 Power series from complex smoothness 127
7.4 Analytic continuation 129
8 Riemann surfaces and complex mappings 135
8.1 The idea of a Riemann surface 135
8.2 Conformal mappings 138
8.3 The Riemann sphere 142
8.4 The genus of a compact Riemann surface 145
8.5 The Riemann mapping theorem 148
9 Fourier decomposition and hyperfunctions 153
9.1 Fourier series 153
9.2 Functions on a circle 157
9.3 Frequency splitting on the Riemann sphere 161
9.4 The Fourier transform 164
9.5 Frequency splitting from the Fourier transform 166
9.6 What kind of function is appropriate? 168
9.7 Hyperfunctions 172
10 Surfaces 179
10.1 Complex dimensions and real dimensions 179
10.2 Smoothness, partial derivatives 181
10.3 Vector Welds and 1-forms 185
10.4 Components, scalar products 190
10.5 The Cauchy–Riemann equations 193
11 Hypercomplex numbers 198
11.1 The algebra of quaternions 198
11.2 The physical role of quaternions? 200
11.3 Geometry of quaternions 203
11.4 How to compose rotations 206
11.5 CliVord algebras 208
11.6 Grassmann algebras 211
12 Manifolds of n dimensions 217
12.1 Why study higher-dimensional manifolds? 217
12.2 Manifolds and coordinate patches 221
12.3 Scalars, vectors, and covectors 223
12.4 Grassmann products 227
12.5 Integrals of forms 229
12.6 Exterior derivative 231
12.7 Volume element; summation convention 237
12.8 Tensors; abstract-index and diagrammatic notation 239
12.9 Complex manifolds 243
13 Symmetry groups 247
13.1 Groups of transformations 247
13.2 Subgroups and simple groups 250
13.3 Linear transformations and matrices 254
13.4 Determinants and traces 260
13.5 Eigenvalues and eigenvectors 263
13.6 Representation theory and Lie algebras 266
13.7 Tensor representation spaces; reducibility 270
13.8 Orthogonal groups 275
13.9 Unitary groups 281
13.10 Symplectic groups 286
14 Calculus on manifolds 292
14.1 DiVerentiation on a manifold? 292
14.2 Parallel transport 294
14.3 Covariant derivative 298
14.4 Curvature and torsion 301
14.5 Geodesics, parallelograms, and curvature 303
14.6 Lie derivative 309
14.7 What a metric can do for you 317
14.8 Symplectic manifolds 321
15 Fibre bundles and gauge connections 325
15.1 Some physical motivations for Wbre bundles 325
15.2 The mathematical idea of a bundle 328
15.3 Cross-sections of bundles 331
15.4 The CliVord bundle 334
15.5 Complex vector bundles, (co)tangent bundles 338
15.6 Projective spaces 341
15.7 Non-triviality in a bundle connection 345
15.8 Bundle curvature 349
16 The ladder of inWnity 357
16.1 Finite Welds 357
16.2 A Wnite or inWnite geometry for physics? 359
16.3 DiVerent sizes of inWnity 364
16.4 Cantor’s diagonal slash 367
16.5 Puzzles in the foundations of mathematics 371
16.6 Turing machines and Go¨ del’s theorem 374
16.7 Sizes of inWnity in physics 378
17 Spacetime 383
17.1 The spacetime of Aristotelian physics 383
17.2 Spacetime for Galilean relativity 385
17.3 Newtonian dynamics in spacetime terms 388
17.4 The principle of equivalence 390
17.5 Cartan’s ‘Newtonian spacetime’ 394
17.6 The Wxed Wnite speed of light 399
17.7 Light cones 401
17.8 The abandonment of absolute time 404
17.9 The spacetime for Einstein’s general relativity 408
18 Minkowskian geometry 412
18.1 Euclidean and Minkowskian 4-space 412
18.2 The symmetry groups of Minkowski space 415
18.3 Lorentzian orthogonality; the ‘clock paradox’ 417
18.4 Hyperbolic geometry in Minkowski space 422
18.5 The celestial sphere as a Riemann sphere 428
18.6 Newtonian energy and (angular) momentum 431
18.7 Relativistic energy and (angular) momentum 434
19 The classical Welds of Maxwell and Einstein 440
19.1 Evolution away from Newtonian dynamics 440
19.2 Maxwell’s electromagnetic theory 442
19.3 Conservation and Xux laws in Maxwell theory 446
19.4 The Maxwell Weld as gauge curvature 449
19.5 The energy–momentum tensor 455
19.6 Einstein’s Weld equation 458
19.7 Further issues: cosmological constant; Weyl tensor 462
19.8 Gravitational Weld energy 464
20 Lagrangians and Hamiltonians 471
20.1 The magical Lagrangian formalism 471
20.2 The more symmetrical Hamiltonian picture 475
20.3 Small oscillations 478
20.4 Hamiltonian dynamics as symplectic geometry 483
20.5 Lagrangian treatment of Welds 486
20.6 How Lagrangians drive modern theory 489
21 The quantum particle 493
21.1 Non-commuting variables 493
21.2 Quantum Hamiltonians 496
21.3 Schro¨dinger’s equation 498
21.4 Quantum theory’s experimental background 500
21.5 Understanding wave–particle duality 505
21.6 What is quantum ‘reality’? 507
21.7 The ‘holistic’ nature of a wavefunction 511
21.8 The mysterious ‘quantum jumps’ 516
21.9 Probability distribution in a wavefunction 517
21.10 Position states 520
21.11 Momentum-space description 521
22 Quantum algebra, geometry, and spin 527
22.1 The quantum procedures U and R 527
22.2 The linearity of U and its problems for R 530
22.3 Unitary structure, Hilbert space, Dirac notation 533
22.4 Unitary evolution: Schro¨dinger and Heisenberg 535
22.5 Quantum ‘observables’ 538
22.6 yes/no measurements; projectors 542
22.7 Null measurements; helicity 544
22.8 Spin and spinors 549
22.9 The Riemann sphere of two-state systems 553
22.10 Higher spin: Majorana picture 559
22.11 Spherical harmonics 562
22.12 Relativistic quantum angular momentum 566
22.13 The general isolated quantum object 570
23 The entangled quantum world 578
23.1 Quantum mechanics of many-particle systems 578
23.2 Hugeness of many-particle state space 580
23.3 Quantum entanglement; Bell inequalities 582
23.4 Bohm-type EPR experiments 585
23.5 Hardy’s EPR example: almost probability-free 589
23.6 Two mysteries of quantum entanglement 591
23.7 Bosons and fermions 594
23.8 The quantum states of bosons and fermions 596
23.9 Quantum teleportation 598
23.10 Quanglement 603
24 Dirac’s electron and antiparticles 609
24.1 Tension between quantum theory and relativity 609
24.2 Why do antiparticles imply quantum Welds? 610
24.3 Energy positivity in quantum mechanics 612
24.4 DiYculties with the relativistic energy formula 614
24.5 The non-invariance of ]=]t 616
24.6 CliVord–Dirac square root of wave operator 618
24.7 The Dirac equation 620
24.8 Dirac’s route to the positron 622
25 The standard model of particle physics 627
25.1 The origins of modern particle physics 627
25.2 The zigzag picture of the electron 628
25.3 Electroweak interactions; reXection asymmetry 632
25.4 Charge conjugation, parity, and time reversal 638
25.5 The electroweak symmetry group 640
25.6 Strongly interacting particles 645
25.7 ‘Coloured quarks’ 648
25.8 Beyond the standard model? 651
26 Quantum Weld theory 655
26.1 Fundamental status of QFT in modern theory 655
26.2 Creation and annihilation operators 657
26.3 InWnite-dimensional algebras 660
26.4 Antiparticles in QFT 662
26.5 Alternative vacua 664
26.6 Interactions: Lagrangians and path integrals 665
26.7 Divergent path integrals: Feynman’s response 670
26.8 Constructing Feynman graphs; the S-matrix 672
26.9 Renormalization 675
26.10 Feynman graphs from Lagrangians 680
26.11 Feynman graphs and the choice of vacuum 681
27 The Big Bang and its thermodynamic legacy 686
27.1 Time symmetry in dynamical evolution 686
27.2 Submicroscopic ingredients 688
27.3 Entropy 690
27.4 The robustness of the entropy concept 692
27.5 Derivation of the second law—or not? 696
27.6 Is the whole universe an ‘isolated system’? 699
27.7 The role of the Big Bang 702
27.8 Black holes 707
27.9 Event horizons and spacetime singularities 712
27.10 Black-hole entropy 714
27.11 Cosmology 717
27.12 Conformal diagrams 723
27.13 Our extraordinarily special Big Bang 726
28 Speculative theories of the early universe 735
28.1 Early-universe spontaneous symmetry breaking 735
28.2 Cosmic topological defects 739
28.3 Problems for early-universe symmetry breaking 742
28.4 InXationary cosmology 746
28.5 Are the motivations for inXation valid? 753
28.6 The anthropic principle 757
28.7 The Big Bang’s special nature: an anthropic key? 762
28.8 The Weyl curvature hypothesis 765
28.9 The Hartle–Hawking ‘no-boundary’ proposal 769
28.10 Cosmological parameters: observational status? 772
29 The measurement paradox 782
29.1 The conventional ontologies of quantum theory 782
29.2 Unconventional ontologies for quantum theory 785
29.3 The density matrix 791
29.4 Density matrices for spin 1 2: the Bloch sphere 793
29.5 The density matrix in EPR situations 797
29.6 FAPP philosophy of environmental decoherence 802
29.7 Schro¨dinger’s cat with ‘Copenhagen’ ontology 804
29.8 Can other conventional ontologies resolve the ‘cat’? 806
29.9 Which unconventional ontologies may help? 810
30 Gravity’s role in quantum state reduction 816
30.1 Is today’s quantum theory here to stay? 816
30.2 Clues from cosmological time asymmetry 817
30.3 Time-asymmetry in quantum state reduction 819
30.4 Hawking’s black-hole temperature 823
30.5 Black-hole temperature from complex periodicity 827
30.6 Killing vectors, energy Xow—and time travel! 833
30.7 Energy outXow from negative-energy orbits 836
30.8 Hawking explosions 838
30.9 A more radical perspective 842
30.10 Schro¨dinger’s lump 846
30.11 Fundamental conXict with Einstein’s principles 849
30.12 Preferred Schro¨dinger–Newton states? 853
30.13 FELIX and related proposals 856
30.14 Origin of Xuctuations in the early universe 861
31 Supersymmetry, supra-dimensionality, and strings 869
31.1 Unexplained parameters 869
31.2 Supersymmetry 873
31.3 The algebra and geometry of supersymmetry 877
31.4 Higher-dimensional spacetime 880
31.5 The original hadronic string theory 884
31.6 Towards a string theory of the world 887
31.7 String motivation for extra spacetime dimensions 890
31.8 String theory as quantum gravity? 892
31.9 String dynamics 895
31.10 Why don’t we see the extra space dimensions? 897
31.11 Should we accept the quantum-stability argument? 902
31.12 Classical instability of extra dimensions 905
31.13 Is string QFT Wnite? 907
31.14 The magical Calabi–Yau spaces; M-theory 910
31.15 Strings and black-hole entropy 916
31.16 The ‘holographic principle’ 920
31.17 The D-brane perspective 923
31.18 The physical status of string theory? 926
32 Einstein’s narrower path; loop variables 934
32.1 Canonical quantum gravity 934
32.2 The chiral input to Ashtekar’s variables 935
32.3 The form of Ashtekar’s variables 938
32.4 Loop variables 941
32.5 The mathematics of knots and links 943
32.6 Spin networks 946
32.7 Status of loop quantum gravity? 952
33 More radical perspectives; twistor theory 958
33.1 Theories where geometry has discrete elements 958
33.2 Twistors as light rays 962
33.3 Conformal group; compactiWed Minkowski space 968
33.4 Twistors as higher-dimensional spinors 972
33.5 Basic twistor geometry and coordinates 974
33.6 Geometry of twistors as spinning massless particles 978
33.7 Twistor quantum theory 982
33.8 Twistor description of massless Welds 985
33.9 Twistor sheaf cohomology 987
33.10 Twistors and positive/negative frequency splitting 993
33.11 The non-linear graviton 995
33.12 Twistors and general relativity 1000
33.13 Towards a twistor theory of particle physics 1001
33.14 The future of twistor theory? 1003
34 Where lies the road to reality? 1010
34.1 Great theories of 20th century physics—and beyond? 1010
34.2 Mathematically driven fundamental physics 1014
34.3 The role of fashion in physical theory 1017
34.4 Can a wrong theory be experimentally refuted? 1020
34.5 Whence may we expect our next physical revolution? 1024
34.6 What is reality? 1027
34.7 The roles of mentality in physical theory 1030
34.8 Our long mathematical road to reality 1033
34.9 Beauty and miracles 1038
34.10 Deep questions answered, deeper questions posed 1043
Epilogue 1048
Bibliography 1050
Index 1081
Contents


[cerrar]

08 Agosto, 2009, 06:36 pm
Respuesta #1

argentinator

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Capítulo 1: Las Raíces de la Ciencia

Aquí Penrose divaga sobre el origen de la actividad científica en la cultura humana.
Es una mezcla de imaginación y alguna difusa certeza técnica sobre cómo los seres humanos dieron origen a la ciencia.
Es parte de un debate sociológico, antropológico y filosófico, porque de paso hay que definir, si es posible, qué significa la palacia ciencia.
A mí no me interesa demasiado entrar en esos detalles, pero resumo algunos hechos que me parecen relevantes para las ciencias exactas y en particular la matemática.




Sección 1.1. La Búsqueda de las Fuerzas que Configuran el Mundo.

Penrose nos habla de un lejano pasado en que los seres humanos intentaban explicar lo que ocurría en la Naturaleza como si se tratara de la voluntad de ciertos seres con pasiones humanas. Es el animismo en sus muchas formas, pero desde el punto de vista de las ideas o teorías que explican el mundo, podríamos decir que era una forma de antropocentrismo, vale decir, el pensar que las cosas se orientan a los intereses humanos, y que las fuerzas de la naturaleza tienen carácter similar al ser humano, aunque con mayor fuerza o potencia.

Observo que este antropocentrismo ha tenido variantes pulidas y sofisticadas a lo largo de la historia, y aún hoy en día en la ciencia moderna subsiste cuando se hacen consideraciones sobre algún tipo de Principio Antrópico.

A continuación Penrose dice que los antiguos supieron detectar regularidades en la Naturaleza, sobretodo en lo que concierne a los fenómenos celestes, cuya coincidencia con algunos fenómenos meteorológicos indujo a la creación de la Astrología.
Menciona otras regularidades observadas por los antiguos. Resumo todas ellas:

  • Precisión y regularidad en los movimientos del Sol, la Luna, los Planetas y las Estrellas \( \xrightarrow[\text{hechos relacionados con}]{} \) incidencia del Sol y la Luna en las estaciones y las mareas \( \xrightarrow[\text{Teorización empleada}]{} \) Astrología.
  • Tendencia de los cuerpos a dirigirse hacia abajo \( \xrightarrow[\text{Nombre Moderno }]{} \) ley de gravedad.
  • La materia se transforma de una forma en otra, pero con cantidad total de materia invariable \( \xrightarrow[\text{Nombre Moderno}]{} \) Conservación de la Masa
  • Muchos cuerpos materiales conservan su forma \( \xrightarrow[\text{origina el concepto de}]{} \) Movimiento Espacial Rígido y Relaciones Espaciales en términos de una geometría precisa \( \xrightarrow[\text{teorización}]{} \) Geometría.

En las leyes de movimiento de los astros había alto grado de precisión matemática.
Pero como no alcanzaba eso para explicar todo lo que aún faltaba por explicar, presuntamente se llenó a la Astrología de agregados místicos e influencias mágicas.
También a ciertas figuras geométricas se les adjudicaban significados mágicos.

Me llamaron la atención los cinco sólidos platónicos, que son los 5 cuerpos regulares tridimensionales de la geometría.
Los griegos hicieron asociaciones simbólicas con ellos, que eran las siguientes:
  • 4 caras \( \longrightarrow{} \) Tetraedro \( \longrightarrow{} \) Elemento Fuego.
  • 8 caras \( \longrightarrow{} \) Octaedro \( \longrightarrow{} \) Elemento Aire.
  • 20 caras \( \longrightarrow{} \) Icosaedro \( \longrightarrow{} \) Elemento Agua.
  • 6 caras \( \longrightarrow{} \) Hexaedro \( \longrightarrow{} \) Elemento Tierra.
  • 12 caras \( \longrightarrow{} \) Dodecaedro \( \longrightarrow{} \) Firmamento Celeste.

Ignoro el por qué de esa asociación.
Si yo hubiera sido griego, hubiese puesto los cuerpos en orden de menor a mayor, asociando a los elementos más "ligeros" con los poliedros de menor número de caras, y a los más "densos" con los poliedros de mayor cantidad de caras, por decir algo:
4 caras = Cielo (o espacio cósmico), 6 caras = Fuego, 8 caras = Aire, 12 caras = Agua, 20 caras = Tierra.

En todo caso, esto me lleva a preguntarme lo siguiente:
¿Los griegos adjudicaron uno de los poliedros al cielo sólo porque les sobraba un poliedro y no sabían qué símbolo asociarle, o bien tenían conciencia o intuición de un espacio vacío que sostenía las estrellas, y que era distinto en sustancia del aire que les rodeaba?
Antes de inventar la ciencia o la razón, los griegos muchas veces "se daban cuenta" de cómo eran las cosas.
Es cierto que muchas veces decían idioteces gigantescas (como aquello de la "generación espontánea").
Pero otra veces pareciera que "captaban" correctamente algunas verdades que hoy consideramos ciencia ultra-avanzada.
Eso cada tanto me hace reflexionar acerca de cuál es la verdadera naturaleza del descubrimiento científico.
¿Qué tanto hay que aferrarse a un método, un paradigma, un "lo que sea"?



Anexado:

El tema de los poliedros de Platón (poledros regulares) está relacionado con el de los polítopos regulares para dimensiones mayores que 3.
A continuación pongo una lista de enlaces en donde se han dicho cosas a tener en cuenta sobre estos temas en el rinconmatematico:

Los 5 sólidos platónicos
El hiperespacio
Hipercuerpos Regulares en el 4-espacio euclidiano

También se ha suscitado una respuesta a este thread:
Significado simbólico de los Sólidos Platónicos

Los poliedros regulares son 5, y eso hay que demostrarlo.
Una primer herramienta a utilizar es el famoso Teorema de Euler, que nos da una relación entre los vértices, aristas y caras de un poliedro convexo. Este resultado se usa para demostrar que los poliedros regulares son, "a lo sumo", los sólidos platónicos.
A continuación es menester demostrar que "en efecto existen" esos 5 sólidos regulares, lo cual amerita una cuidadosa construcción geométrica.
Todo este asunto lo he abordado en el siguiente hilo, en el cual, además de referencias externas sobre el Teorema de Euler, he procurado dar una versión propia de la prueba de ese teorema, con un método de cortar un poliedro en "rebanadas":

Cuerpos y Polítopos Regulares. Fórmula de Euler para figuras, poliedros, etc.




Anexado:

Acerca de la naturaleza de los descubrimientos científicos, se ha abierto este thread:

Foros de matemática > Universidad > - Otros - > Tema: Sobre la naturaleza del "descubrimiento científico"

08 Agosto, 2009, 06:43 pm
Respuesta #2

argentinator

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Sección 1.2. La Verdad Matemática

Se analizan los conceptos de verdad y de demostración en las matemáticas.
Penrose hace alusión a una búsqueda de fiabilidad al hacer afirmaciones matemáticas, y de que esto fue necesario como un primer paso para la noción de verdad científica.
No me queda muy clara la conexión que debiera establecerse en la antigüedad, según Penrose, entre verdad científica, fiabilidad científica, verdad matemática y fiabilidad matemática.

Hace un salto directo a la noción de verdad matemática, y de cómo diferenciar aquello que es una mera hipótesis en la matemática (o sea, algo que quizá sea verdad, pero aún no lo sabemos), de aquello cuya verdad está asegurada (o sea, demostrada, mediante algún criterio o razonamiento considerado correcto).

Como siempre, uno puede preguntarse en este punto sobre el significado de verdadero y demostrado, ya sea en la matemática o en otra ciencia.
Lo que yo, personalmente, considero que es una clave o pauta a seguir, en cualquier época presente o futura del desarrollo matemático y/o científico, es perseguir el ideal de exactitud-fiabilidad.
La noción de exactitud-fiabilidad (ambas cosas "juntas") es más bien un sentimiento, una intuición, algo no muy claramente definido conceptualmente hablando. Aún así, me parece que, si ante una afirmación cualquiera uno antepone automáticamente todo el tiempo la pregunta: ¿Es esa afirmación exacta-fiable?, en ese caso estaremos empujando la matemática hacia donde tiene que ir.
¡Estoy buscando un método extra-lógico como base de lo matemático!

Este tipo de cosas corren el riesgo de llevarnos por callejones sin salida, y quizá lo mejor es avanzar en la ciencia de una manera más natural, explorando sus límites desde adentro, hasta producir una crisis que obligue a reconsiderar los paradigmas (¿Kuhn, Lakatos?), pero sin forzarlo desde la inventiva de una noche de insomnio (¿Argentinators?)...

Penrose remarca que los antiguos se "dieron cuenta" de que unas matemáticas incuestionables eran la base necesaria para cualquier afirmación científica.
De ahí la necesidad de hacer demostraciones de las afirmaciones matemáticas mismas, para dejar establecida con toda seguridad, de una vez y para siempre, si cierto hecho matemático en realidad se cumple en cualquier caso, y no sólo en unos pocos ejemplos particulares.
Hoy en día la verdad matemática y la teoría de la demostración son temas de ardua investigación en lógica.
Recomiendo al que no lo ha hecho que eche un vistazo al thread Teorema de Godel, en el subforo de Lógica y Teoría de Conjuntos, en donde estas cuestiones se discuten bastante:

Thread del rincón matemático sobre: El Teorema de Godel.

En algún momento Penrose habla también del Teorema de Godel (capítulo 16).
Si llegamos ahí, veremos qué es lo que dice.

Penrose sitúa los orígenes (conocidos) de la demostración matemática en el trabajo de los griegos Tales (625 a 547 a.C.) y Pitágoras (572 a 497 a.C.).
Tales fue el primero en usar la idea de demostración, pero los pitagóricos fueron los primeros en usarla continuamente.
Una de las utilidades de dar una demostración, es establecer la certeza de un hecho matemático que no es obvio, o completamente obvio.
Tomando hechos "obvios", y encadenándolos con el razonamiento, se llega a demostrar una afirmación, que en principio era sólo una sospecha o hipótesis.

A continuación Penrose nos dice algunas cosas sobre Pitágoras mismo, pero no entra en detalles.
Tan sólo habla de su influencia sobre el pensamiento matemático posterior.
Por una parte, los pitagóricos mantenían sus conocimientos en secreto.
Además de eso, no hay otros registros históricos sobre Pitágoras.
Así que sólo se saben algunas pocas cosas.
El tema de Pitágoras siempre me ha interesado, así como el de Arquímedes.
No he sido capaz de encontrar libros buenos sobre Pitágoras.
Tengo a mano un pequeño librito de Paul Stranthern, que tiene algo de información histórica, pero adolece del defecto de ser demasiado "expresivo". Por ejemplo, se burla de las supersticiones de los pitagóricas, en vez de usar esa energía en cosas más "serias".
En cuanto a Arquímedes (que lo he traído de los pelos, porque no está en el texto de Penrose), tengo un libro llamado "El Código de Arquímedes", de Netz y Noel.
El título pretende llamar la atención, abusando de la fama mundial de "El Código da Vinci".
Salvo eso, es una crónica científica muy interesante, acerca de unos manuscritos que contienen detalles de ciertos desarrollos matemáticos de Arquímedes que hasta ahora se desconocían. (No es una novela, sino algo que ha ocurrido recientemente).

Dispongo de algunos libros que adjudican a Pitágoras ciertos sistemas de símbolos con connotaciones esotéricas.
Pero no tengo certidumbre acerca de qué dijo en realidad Pitágoras sobre el significado "simbólico" de los números.
Sí parece que sabía mucho de números, y estaba fascinado por ellos.
Además los pitagóricos pensaban, como todo el mundo sabe, que el Universo es número.
Quizá fueron los primeros en creer que la matemática debía ser la base que lo explicara todo.
Aunque lo hicieron desde un punto de vista religioso, dogmático, y quizá con elementos esotéricos.
Esta actitud no se condice con lo que hoy designamos pensamiento científico, sino con una forma antigua de Numerología, o más bien, espiritualidad-esoterismo numerológicos.
Si alguien tiene información sobre vida y obra de Pitágoras y los pitagóricos, y tiene deseos de discutir el tema, se podría abrir un thread para ello.
Idem cualquier otro matemático griego.

Penrose continúa hablando de los métodos griegos de demostración.
Nos cuenta que ellos consideraban ciertas afirmaciones como evidentes, y en ese caso eran axiomas. Verdades que no requerían prueba alguna.
Mientras que cualquier otra afirmación requería una justificación mediante un razonamiento cuidadoso.
Este tipo de afirmaciones demostradas, se llamaron teoremas.

En la actualidad, los teoremas son más o menos lo mismo que antes.
Lo que ha cambiado es la noción de axioma.
Para un matemático moderno, una lista de axiomas son afirmaciones que se toman como punto de partida de una teoría, pero nadie las considera ya como verdades evidentes.
Desde un punto de vista matemático, nada hay evidente.

Sin embargo, algo consternado he quedado en el thread "Teorema de Godel", cuando tuve que conformarme conque los números naturales, al menos en una versión intuicionista de ellos, deben ser aceptados como "ya existentes" o "sobreentendidos".
Ciertas cuestiones se aceptan intuitivamente sin cuestionarlas, aunque sean sutiles, y me han quedado serias dudas sobre los fundamentos de las matemáticas modernas.

No obstante, lo que los griegos consideraban verdades evidentes de la geometría (hoy en día, geometría euclidiana), en la actualidad no son tales, y podemos considerar como axiomas a las negaciones de aquellos de la geometría de Euclides, para obtener teorías geométricas alternativas, y aún plenamente válidas, e incluso más interesantes.

Entra en duda pues el concepto de qué es realmente lo verdadero, o al menos, qué es verdadero en matemáticas.
El filósofo Platón (429 a.C. a 347 a.C) concebía un mundo sutil especial en donde residían las ideas perfectas de la matemática, entre otras cosas. Las proposiciones matemáticas no se refieren, según él, a objetos de la realidad física, sino a entidades ideales que residen en lo que Penrose llama mundo platónico de las formas matemáticas.

Un detalle más, y es que los antiguos se fueron dando cuenta que la verdad de una afirmación matemática era intemporal, ya que una vez establecido un teorema, se percataban de que dicho teorema en realidad sería cierto siempre, en cualquier época.
El platonismo nos hace pensar en que la verdad matemática no depende de si alguien demuestra o descubre un Teorema alguna vez en la historia humana. Se nos dice que en realidad, lo que el teorema afirma era cierto aún antes de que un matemático escribiera la demostración en un papel. Y eso seguiría siendo cierto por toda la eternidad, en forma inmutable.
En cierto sentido, no estaríamos "construyendo" conocimiento, sino "descubriendo" verdades o hechos u objetos del mundo platónico de las formas matemáticas idealizadas.

Dicen los entendidos que Kurt Godel era platonista...
Lo cual no me dice mucho de su visión de la matemática, en relación a su famoso teorema de incompletitud.
Pero esa... esa es otra historia.

Demás está decir que estaría bueno abrir un thread para discutir sobre el platonismo, y otras corrientes de pensamiento sobre  la razón de ser de lo matemático, o el fundamento filosófico de las matemáticas y los números.



Anexado:

Se ha suscitado cierto interés sobre la Verdad en Matemáticas y el Platonismo, y he separado los mensajes respectivos para seguir la discusión en un nuevo thread, al que puede accederse con el siguiente enlace:

Foros/Universidad/Otros/Platonismo y Verdad en Matemáticas



16 Agosto, 2009, 05:15 pm
Respuesta #3

argentinator

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Sección 1.3: ¿Es "REAL" el mundo matemático de Platón?

En este sección Penrose insiste con Platón.
Se trata de una discusión en el tema de los Fundamentos y Filosofía de las Matemáticas, que quizá nunca tenga solución.
Yo no soy el más calificado para explicar este tema, así que voy a resumir un poco la cuestión, y dejo abierta la puerta a posibles debates más amplios.

Platón imaginaba un mundo, más allá de la realidad material, en donde residían las cosas perfectas, entre ellas la Belleza, la Justicia y las Formas Matemáticas. Ese mundo es algo así como "otra dimensión" distinta a la nuestra, y a la cual se accede sólo a través de la Razón, el Pensamiento, el Intelecto.

De la manera que Platón lo ha dibujado, parece ser un "lugar" al que no podemos llegar de a pie, sino con la mente.
Es otra dimensión, una realidad diferente a la que captan los sentidos.
En todo caso, ese "lugar" donde residen las cosas perfectas, es algo "externo" a nosotros, no está dentro de nuestra mente, aunque sea la mente humana lo único capaz de percibirlo.

Otros pensadores ven las cosas desde un punto de vista más "positivista", y no creen en dimensiones de perfección absoluta, ni nada externo al ser humano. Ellos opinan que la Matemática es un producto cultural de la humanidad, y que está dentro de nuestras mentes, ya sea en forma individual o colectiva. Sin mente humana no hay matemática, sino que esta surge como una especialización o una forma estilizada del uso de las facultades mentales del ser humano. No sería una perfección absoluta la de la matemática, sino aparente, que podría cambiar de forma en el futuro, y que hoy día creemos que es el lenguaje más exacto y preciso con que la humanidad cuenta.

Hasta ahí, pareciera no haber problemas en mantener dos posturas opuestas, después de todo, son sólo "ideas filosóficas".

Pero Penrose nos muestra con ejemplos concretos dónde está el meollo de la cuestión.
Yo voy a dar un ejemplo más sencillo que los que él elige.
Sabemos que la suma de dos números naturales es conmutativa.
Ahora bien. Esta propiedad de conmutatividad de la suma, ¿sería aún cierta si la humanidad no existiera?

Los matemáticos trabajan de manera que la respuesta a esa pregunta es afirmativa.
O sea, las leyes matemáticas se suponen universales, e independientes del lugar y el momento en que se formulen.
Esa es la gran virtud de la matemática, y es uno de los motivos que causan gran fascinación sobre ella.

Así que es natural que Platón imaginara que en realidad las verdades y formas matemáticas fueran absolutas, y residieran en algún lugar, con independencia de si son percibidas o no por los seres humanos.

Si las matemáticas son independientes de la actividad humana, del tiempo y el espacio, entonces al demostrar teoremas estaríamos haciendo "descubrimientos".
En cambio, si la matemática es tan sólo un subproducto cultural de la especie humana, estaríamos haciendo "inventos".

Yo sospecho que la solución al dilema puede bien ser algo intermedio.
La realidad, el Universo, se comportan acorde a ciertas regularidades y leyes.
El ser humano, en su largo camino de adaptación y aprendizaje de la naturaleza a lo largo de los millones de años de desarrollo de la especie, ha aprendido a captar no sólo los sonidos, los colores y los olores, sino que también su sistema nervioso se ha amoldado a las regularidades que halló en su camino.
Entremezclando esas regularidades con el desarrollo del lenguaje, la tecnología y la inteligencia, el ser humano se ha vuelto sofisticado, y ha desarrollado una ciencia matemática, que aunque es inherente a la cultura humana, está influenciada por las leyes y reglas "externas" de la naturaleza.
Si el Universo está hecho de forma que los "agregados" siempre conmutan, es natural que percibamos que la "suma es conmutativa". Es algo que aprendemos, fijamos, y con los años se convierte en una regla algebraica.

En resumen, opino que la matemática es cultural, interna al ser humano, pero influenciada fuertemente por su entorno "externo", la Naturaleza. Así que las leyes matemáticas son un reflejo de la Naturaleza en alto grado, en algún sentido o aspecto especial, y así, un hecho como la "conmutatividad de la suma" es a la vez un "descubrimiento" como un "invento".
Es como un renacuajo que se vuelve diestro en su propio charco, y se asombra de su destreza, y se pregunta si hay algo más allá del charco que le inspira sus "descubrimientos". La respuesta no es ni tan simple ni tan clara, pero en el "asunto concreto de lo que un renacuajo es capaz de hacer y comprender", está básicamente influenciado por el ecosistema del charquito en el que vive, y poco importa la grandeza o complejidad del resto del Universo.

Nuestro Universo-charco es, según yo opino, lo que nos inspira la matemática que conocemos, y no un mundo perfecto en una dimensión "más allá". Aún así, nuestro punto de vista es limitado.

Penrose dice volcarse más hacia el Platonismo, y al final dice que en todo caso no hay daño en suponer una realidad externa donde residen las formas matemáticas previamente en forma perfecta.
Lo que está diciendo es que, en la práctica, uno se olvida de estas discusiones filosóficas, y trabaja en matemáticas como si siempre fueran las mismas, y no dependieran ni de la cultura, ni del espacio ni el tiempo.
O sea, apuesta a la universalidad de las leyes matemáticas.

¿Serán universales o no estas leyes?
Yo lo dudo, pero sólo por el deber moral de dudar.
Como matemático, veo una sóla matemática posible.





16 Agosto, 2009, 10:45 pm
Respuesta #4

argentinator

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Sección 1.4: Tres mundos y tres profundos misterios.


En esta sección Penrose pierde la cordura, y se inventa tres mundos: el físico (o material), el mental, y el matemático-platónico.
Primero establece unas relaciones entre esos mundos, que después modifica un poco.

(1ro) Las matemáticas desarrollan una cierta cantidad de teorías, pero sólo una porción se aplica para explicar el mundo físico.
(2do) El mundo físico actúa sobre el cerebro, evocándole ciertas construcciones en la inteligencia, pero sólo una parte nos llega a la mente (y yo agrego que sólo quizá una parte más pequeña es de la que tomamos conciencia).
(3ro) De toda la actividad de la mente, sólo una parte se destina al desarrollo o comprensión de las matemáticas.

Se entiende aquí que la mente es algo así como el psiquismo del ser humano, y no alguna otra cosa esotérica.

Este juego de ideas me parece más impreciso aún de lo que se ve a simple vista.
Por ejemplo, aquello de la mente, no podemos estar seguros de si se trata de una sola mente humana, o de una supramente colectiva de todos los seres humanos, me refiero a una suma que involucra todas las inteligencias humanas a la vez.
Me parece que esto último sería el enfoque correcto, porque no nos llegan las mismas percepciones a todos por igual, ni tenemos todos el mismo conocimiento matemático, así que conviene, según creo, considerar toda la humanidad en su conjunto.

El mundo platónico, y el mundo físico, son extra-humanos, así que pueden considerarse absolutos, sin matices.
Claro que hay que creerse que a fin de cuentas la humanidad es sólo testigo de tales cosas.
Pareciera que somos como hormiguitas que podemos influenciar muy poco en el macro-destino del Universo, y que no podemos cambiar las leyes físicas, sino sólo descubrirlas.
Lo mismo con las matemáticas, hay leyes que una vez probadas, ya quedan ahí para siempre.

Pero me permito dudar...

Cuando se mira el diagrama anterior a la inversa, se tiene que:

(1ro) Todo el mundo físico está gobernado por leyes matemáticas.
(2do) La mente humana está inmersa en el mundo físico, y dominada por sus leyes.
(3ro) Toda la matemática está abarcada en la mente humana, esto quiere decir que potencialmente la mente humana es capaz de comprender y descubrir toda la matemática, a través de la razón, aunque quizá con mucho esfuerzo y largo tiempo de búsqueda y trabajo.

Yo veo que este "esquema" de Penrose es muy dudoso, porque mezcla conceptos como la "mente" y la "razón", y además no me queda claro en qué sentido la mente es capaz de abarcar todo el mundo matemático-platónico.

Por otro lado, él mismo se da cuenta de que pueden plantearse objeciones en los tres lugares de su caprichoso esquema. Deja la puerta abierta a estas posibilidades:

(1ro) Posiblemente hay acción física más allá del control matemático.
(2do) Puede haber mentalidad (en parte o totalmente) no sujeta a la acción física.
(3ro) Es posible que haya enunciados matemáticos verdaderos que no pueden ser alcanzados por la mente o la razón.

Finalmente nombra tres misterios asociados al esquema:

(1ro) ¿Por qué se aplican al mundo físico las leyes de la matemática con tanta precisión y belleza?
(2do) ¿Cómo puede la materia organizada en un cerebro humano ser capaz de evocar de algún modo la cualidad del conocimiento conciente?
(3ro) ¿De qué modo percibimos con nuestros cerebros la verdad matemática?

Finalmente Penrose aclara que se va a centrar en las relaciones entre el mundo físico y el matemático, pues no hay suficiente conocimiento sobre la mente humana...
Eso no es excusa. En realidad creo que es más honesto decir que toda su vida él ha trabajado en teorías matemáticas que explican las leyes del Universo, por lo tanto es más fácil escribir un libro sobre eso.

También nos dice que para explicar el Universo, es mejor hacerlo mediante matemáticas, y entonces su libro contendrá un sinfín de teorías y fórmulas matemáticas.
Esto es distinto a lo que han hecho otros autores de divulgación científica, como Isaac Asimov, Carl Sagan o Stephen Hawking (colega estrecho de Penrose).

No sé si eso es acertado o no para el público en general.
De mi parte estoy muy satisfecho de que Penrose haya escrito un libro así, porque ahora tengo acceso de forma ordenada y clara a todas las bases matemáticas de su trabajo en física y cosmología.
Y es por eso que he abierto este thread, porque a esas matemáticas es a donde quiero llegar, y llenar todos los huecos de conocimiento que me falten.
De paso, lo hago público para que otros más puedan prenderse en ese tren si les place.


16 Agosto, 2009, 11:47 pm
Respuesta #5

argentinator

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Sección 1.5: Lo Bueno, lo Verdadero y lo Bello.

Al parecer, en el mundo descripto por Platón de los objetos ideales perfectos, residen lo bueno, lo verdadero y lo bello.

La matemática tiene que ver ante todo con lo verdadero. Separar lo verdadero de lo falso.

Sin embargo, al estudiar el Universo, a menudo aparecen relaciones matemáticas que tienen una inesperada belleza, o una estética especial para el ojo científico.
Eso a menudo sorprende, y hace pensar en que realmente hay un mundo platónico más allá donde residen las formas matemáticas ideales.

Penrose dice finalmente que quizá en su esquema de mundo mental, mundo físico, mundo matemático, en verdad haya una interrelación más profunda entre esos tres aspectos, que serían parte de una misma cosa, cuya realidad hoy día desconocemos.

Fin del capítulo 1.




18 Agosto, 2009, 11:47 am
Respuesta #6

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Anexado:

Con respecto a la geometría euclidiana, estaría bueno estudiar los postulados tal como se desarrollan en la matemática moderna.

También me gustaría desarrollar más el tema de los poliedros regulares, y asimismo los polítopos regulares en dimensiones mayores que 3.

Pronto habrá noticias de estos temas.

Novedades:

Lo de los poliedros y polítopos regulares, en este hilo:

Cuerpos y Polítopos Regulares. Fórmula de Euler para figuras, poliedros, etc.

09 Octubre, 2009, 03:24 am
Respuesta #7

argentinator

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Capítulo 2. Un teorema antiguo y una pregunta moderna.

Aquí Penrose comienza hablando sobre el Teorema de Pitágoras, y luego avanza sobre la geometría y sus vicisitudes.
La geometría antigua, básicamente la griega, es la que sistematizó Euclides en sus Elementos.
En la época de Gauss hubieron varios matemáticos que tímidamente se animaron a cuestionar la vieja geometría, y a través de nuevos Axiomas pudieron edificar geometrías alternativas.
Hoy en día, gran parte de esas geometrías pueden estudiarse bajo la teoría de variedades diferenciables, o las Riemannianas.
Conviene mencionar especialmente los Grupos de Lie, y la Topología Diferencial.

Estas geometrías más avanzadas son de fundamental importancia en la cosmología moderna, y la física en general.
Uno de mis objetivos al crear este thread es avanzar sólidamente sobre dichas geometrías.
Pero vamos de a poco, siguiendo el camino trazado por Penrose...




Sección 2.1: El Teorema de Pitágoras.

En esta sección Penrose nos cuestiona acerca de lo que creemos saber de geometría, si acaso es tan claro que un cuadrado tiene lados perpendiculares y paralelos entre sí, y ángulos rectos, y por qué estamos tan seguros de eso.
Si hay algún desinformado, la geometría que nos enseñan en la escuela primaria, en que por ejemplo por cada punto pasa una y sólo una paralela a una recta dada, no es la única geometría posible.
Esa geometría elemental es la que se conoce como euclidiana, y corresponde a la que se desarrolla sobre un plano.
En un plano euclidiano tenemos que la suma de ángulos de todo triángulo es 180 grados.

En la geometría de la superficie terrestre, que es esférica, si trazamos un triángulo que una el Amazonas, con la Rep. Dem. del Congo (por la línea del Ecuador) y el Polo Norte, obtenemos un triángulo cuyos ángulos suman 270 grados.
Eso ocurre porque debemos descartar el uso de la geometría plana, y pasar a otra, la esférica, donde valen otras reglas.

Esto es importante en Cosmología, porque la geometría del Cosmos no es plana.

Otra cosa que hace Penrose en esta sección es dar una prueba curiosa del Teorema de Pitágoras a través de un teselado de todo el plano con cuadrados de dos tamaños diferentes.
Es interesante, pero no deseo perder tiempo con ese asunto, así que les dejo la imagen del dibujillo, y si luego alguien quiere profundizar en esto, aquí estamos:


09 Octubre, 2009, 03:24 am
Respuesta #8

argentinator

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Sección 2.2: Los Postulados de Euclides.

Aquí Penrose comenta la geometría euclidiana.
Euclides desarrolló su geometría en los famosos libros llamados Elementos.
Se componía en principio de Axiomas y Postulados.
Al parecer, para Euclides un Axioma es algo evidente por sí mismo, pero que para nosotros es como una definición.
De todas maneras, esas definiciones no dicen mucho matemáticamente de los objetos de los que hablan.
Son definiciones de tipo lingüístico, y cabe el problema de definir las palabras que se usan en dichas definiciones.
Esto con el tiempo ha sido modificado, para evitar definiciones hacia atrás, ad infinitum.

Así, mientras Euclides definía lo que eran los puntos, rectas, planos, etc., nosotros los tomamos como objetos primitivos, sin definición.
Algunas de las definiciones de Euclides son también definiciones para nosotros, como ángulos, superficies, etc., pero lo que él define sólo lingüísticamente, nosotros lo hacemos con estricta expresión matemática, sin ambigüedades.

Voy a transcribir algunas de estas Definiciones para poder usarlas en los Postulados que siguen luego.

  • Definición 1. Un punto es lo que no tiene partes.
  • Definición 2. Una línea es una longitud sin anchura (se refiere a líneas curvas o rectas).
  • Definición 4. Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.
  • Definición 8. Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta.
  • Definición 9. Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo.
  • Definición 10. Cuando una línea recta que está sobre otra hace que los ángulos adyacentes sean iguales, cada uno de los ángulos es recto, y la recta que está sobre la otra se llama  perpendicular a la otra recta.
  • Definición 15. Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.
  • Definición 16. Y el punto se llama centro del círculo.
  • Definición 23. Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

Ahora voy a mostrar mi destreza usando el programa GeoGebra, ilustrando la Definición 23 de rectas paralelas. Atençao:


Euclides recurre a ciertas relaciones que llama nociones comunes, que podríamos considerar como principios lógicos de la teoría.
Se trata de afirmaciones básicas, del tipo "Si A es igual a B, y B igual a C, entonces A es igual a C", o bien "el todo es mayor que la parte", etc.

Los Postulados de Euclides enunciaban propiedades de los objetos geométricos que eran más o menos obvias... o no tanto. Se detalla el funcionamento básico general de los objetos geométricos.
Para nosotros estos Postulados son, hoy en día, una lista de propiedades lógicas que se toman como punto de partida de la teoría geométrica. Esas propiedades se asumen sin demostración, y son lo que nosotros hoy día llamamos Axiomas.

Los 5 postulados de Euclides son los que enumeramos a continuación:

  • Postulado 1. Por dos puntos diferentes pasa una sola línea recta.
  • Postulado 2. Un segmento rectilíneo puede ser siempre alargado.
  • Postulado 3. Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados.
  • Postulado 4. Todos los ángulos rectos son iguales.
  • Postulado 5. Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos ángulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortarán en el mismo lado.

Aquí voy de nuevo con el GeoGebra para mostrar en acción el 5to Postulado.


Finalmente Euclides enuncia todas las Proposiciones que se "deducen" de sus Axiomas, Postulados y de la serie de propiedades que denomina nociones comunes.
Aquí pongo algunas proposiciones útiles:
  • Proposición 12. Es posible trazar una recta perpendicular a una recta por un punto exterior a ella.
    Para probar esta afirmación, se hace por construcción, y se invocan las Proposiciones anteriores de la 1 a la 11, y el Postulado 3. En conjunto, todas estas proposiciones usan los Postulados 1, 2, 3, las definiciones y las nociones comunes.
  • Proposición 31. Es posible construir de una recta paralela a una dada por un punto dado.
    Para probar esta afirmación, se hace por construcción, y se necesitan las Proposiciones de la 1 a la 13, y las 15, 16, 22, 23, 27, los Postulados 1, 2, 3, 4, además de las Definiciones y las Nociones Comunes.
  • Proposición 29. Una transversal a dos rectas paralelas forma con éstas ángulos alternos internos iguales entre sí, un ángulo externo igual al interno no adyacente del mismo lado, y los dos ángulos internos del mismo lado suman dos rectos.
    Esta afirmación invoca por primera vez el 5to Postulado, y además usa las Proposiciones 13 y 15.
  • Proposición 30. Rectas paralelas a una misma recta son paralelas entre sí.
    Para probar esto se invoca a la Proposición 29, que a su vez utiliza el 5to Postulado.

¿De dónde he sacado toda esta información? ¿Eh, eh, eh?
He encontrado buen material en la página web http://www.euclides.org/.
Los Elementos están en esta subpágina: Elementos de Euclides (en español).

Hay una página que está fantástica, donde se enuncian tanto las Proposiciones como sus demostraciones completas, y se pueden ver paso a paso las construcciones en un cuadro con los dibujos. La dirección es esta:
Proposiciones con demostraciones y construcciones geométricas graficadas paso a paso.
La verdad es que no sé cuánto tiempo ese trabajo permanecerá en línea. Parece parte de una tesis de grado.
Está muy bueno.

Según dicen por ahí, Euclides fue muy perspicaz al darse cuenta que el 5to Postulado era necesario.
Si nos fijamos en la definición de rectas paralelas, si tomo una recla \( \ell \) y un punto \( P \) fuera de ella, nada me asegura que hay una recta paralela a \( \ell \) que pasa por \( P \), y si la hay, nada me asegura que es única.

Para probar la existencia de al menos una recta paralela, se usan los Postulados 1, 2, 3 y 4 en la Proposición 31 antes mencionada.
Supongamos ahora que tenemos dos rectas distintas entre sí y paralelas a \( \ell \) que pasan por el mismo punto \( P \).
Como esas dos rectas deben ser distintas, se cortan en un solo punto, el \( P \).
Gracias al 5to Postulado, que a su vez implica la Proposicón 29, que a su vez implica la Proposición 30, ambas rectas deben ser paralelas entre sí, porque son paralelas a \( \ell \).
Por definición, dos rectas paralelas, o nunca se cortan, o bien son iguales.
Pero sabemos que se cortan en \( P \), luego son iguales, y así sólo puede haber una paralela a \( \ell \).

Todo esto nos muestra dos hechos importantes:

(1ro) Euclides utilizaba un método de razonamiento hipotético-deductivo bastante riguroso. Su texto de los Elementos ha servido de modelo para la estructuración lógica de las matemáticas de tiempos posteriores, hasta la actualidad.

(2do) El 5to Postulado de Euclides es de importancia crucial en la teoría de las rectas paralelas, que luego repercute en otros hechos, como que la suma de los ángulos de un triángulo es siempre la suma de dos rectos, etc. Dicho 5to Postulado se puede probar que es lógicamente equivalente a tomar la Proposición 30 como Postulado, o sea, suponer que sólo hay una paralela a una recta dada por un punto dado. Esto se conoce como Postulado de las Paralelas, y durante siglos los geómetras pensaban que debía ser una Proposición, o sea, algo demostrable, y no un hecho tomado a priori, sin demostración alguna, como Euclides había hecho con su equivalente, el 5to Postulado.

La prueba no llegó jamás, y al atreverse a suponer la falsedad del Postulado de las Paralelas ocurrió algo inesperado: surgieron nuevas geometrías, distintas a la geometría plana de Euclides, y se abrió todo un nuevo campo de investigación, el de las geometrías no euclidianas.

Otra observación que hago es que Euclides hizo definiciones y construcciones para una geometría del plano, o sea, bidimensional, y otra para el espacio, tridimensional.
Esta última sigue siendo "plana" debido a que vale allí el Postulado de las Paralelas.
Si pudiéramos ver el espacio euclidiano desde una cuarta dimensión, se vería "recto", así como vemos "rectificados" a los planos.

Euclides también desarrolló un poco de teoría de números, aunque usando un lenguaje geométrico.

Por último digamos que pueden construirse geometrías planas, al estilo euclidiano, de 1, 2, 3, 4, y en general de \( n \) dimensiones, para cualquier entero positivo \( n \).
Se llaman variedades lineales de dimensión \( n \).
Para no complicarnos mucho la cabeza pensando en qué diablos es esto, podemos conformarnos con un modelo fácil de entender, que no necesita que enunciemos tantos postulados y definiciones engorrosas.
Se trata de aprovechar la teoría de espacios vectoriales. Un espacio vectorial de dimensión \( n \) sobre el cuerpo de los número reales se identifica con la geometría plana \( n \)-dimensional.
Los elementos (puntos) de ese espacio son \( n \)-uplas de números reales \( (x_1,...,x_n) \), que se llaman vectores, y se suman componente a componente.
La traslación puede definirse con sumas respecto un vector fijo, y también vale el Teorema de Pitágoras generalizado. Existen criterios sencillos de verificación de perpendicularidad, etc.

Un libro altamente recomendable, que da los Axiomas de la Geometría Plana con absoluto rigor, y adaptados a la matemática moderna, con discusiones sobre los Fundamentos de la Matemática, es: Fundamentos de la Geometría, de David Hilbert, editado por CEIC en idioma español. Dicha versión tiene unos apéndices muy interesantes.

Para más detalles sobre Euclides, geometría euclidiana, espacios vectoriales, Hilbert, o lo que sea... avisar para abrir los nuevos threads pertinentes.




09 Octubre, 2009, 03:24 am
Respuesta #9

argentinator

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Sección 2.3: La demostración del teorema de Pitágoras por áreas semejantes.

Si \( AOB \) es un triángulo rectángulo en \( O \), se llama a sus lados \( OA \) y \( OB \) catetos y al lado \( AB \) hipotenusa.

Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

En símbolos:
\( \overline{AB}^2=\overline{OA}^2+\overline{OB}^2 \)

Penrose da dos demotraciones, una que usa triángulos semejantes, y la otra que usa un enfoque más "clásico".
En realidad hay decenas de pruebas distintas de este Teorema.
Aquí hay algunos enlaces relacionados:

Demostraciones y comentarios sobre el Teorema de Pitágoras
Demostración de Paenza
Usando la fórmula de Herón
44 Pruebas (en inglés)

A continuación expongo la demostración por áreas semejantes, que Penrose explica:


  • Todos los triángulos cuyos ángulos son iguales, resultan semejantes.
  • Si dos triángulos son semejantes, sus lados se mantienen en una misma proporción.
  • El triángulo \( AOB \) es rectángulo.
  • Se traza la perpendicular al lado \( AB \) que pasa por \( O \).
  • Quedan determinados los triángulos rectángulos \( ACO \) y \( BCO \).
  • \( ACO \) tiene el ángulo \( A \) en común con \( AOB \), y también ambos triángulos tienen un ángulo recto. Por lo tanto, el ángulo restante de ambos triángulos debe ser igual. El resultado es que \( ACO \) es semejante a \( AOB \). Del mismo modo se prueba que \( BCO \) es semejante a \( AOB \).
  • Por semejanza, las áreas de los triángulos son proporcionales al cuadrado de las longitudes de sus lados.
  • Consideremos el lado más largo de cada triángulo, es decir, la hipotenusa. Por semejanza, se obtiene que el área de cada triángulo es proporcional al cuadrado de su hipotenusa. En símbolos:

    \( \displaystyle\frac{AB^2}{\textsf{área}(AOB)}=\frac{OA^2}{\textsf{área}(ACO)}=\frac{OB^2}{\textsf{área}(BCO)} \)

  • Como el área de \( AOB \) es la suma de las áreas de \( ACO \) y \( BCO \), se obtiene que:

    \( \displaystyle{AB^2}={\textsf{área}(AOB)}\frac{OA^2}{\textsf{área}(ACO)}={\textsf{área}(ACO)}\frac{OA^2}{\textsf{área}(ACO)}+{\textsf{área}(BCO)}\frac{OB^2}{\textsf{área}(BCO)} \)

  • De aquí finalmente:
    \( {AB^2}=OA^2+OB^2 \)

A continuación Penrose da una prueba de que la suma de los ángulos de todo triángulo es igual a dos rectos.
Para probar este hecho es fundamental utilizar el Postulado de las Paralelas.
No daré más detalles aquí.

09 Octubre, 2009, 03:24 am
Respuesta #10

argentinator

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Sección 2.4: Geometría hiperbólica: imagen conforme.

Antes de siquiera comentar el texto de Penrose, me parece conveniente dar una imagen general de las Geometría no-euclidianas. Quizá un resumen histórico sea lo mejor.
Como los comentarios me han quedado extensos, prefiero ponerlos en spoiler.

Geometrías plana, elíptica e hiperbólica

En la Grecia antigua tuvo su auge la Geometría, la cual Euclides sistematizó en sus libros llamados Elementos.
La sistematización de Euclides es de tipo axiomático-lógica, lo cual quiere decir que:
  • La geometría no cae del "cielo", sino que es posible desarrollarla puramente en base a la lógica y la razón.

  • Hay unos elementos no-racionales en la geometría que se toman como punto de partida, que se llaman elementos primitivos. Se describen sus características por medio de proposiciones no demostradas lógicamente, sino tomadas como ciertas sin más, llamadas axiomas.

  • Suele existir la idea de que los axiomas son afirmaciones que se obtienen de un modo intuitivo o mágico o inspirado y que nada tienen que ver con la razón, o que la razón no es suficiente para llegar a ellas, y por lo tanto tienen que aceptarse.

    Esto en realidad no es así.
    El motivo por el cual hay que dar axiomas es de tipo práctico: la misma finitud de la vida humana en todo sentido nos obliga a aceptar un punto de partida de toda teoría, en forma de una lista de afirmaciones supuestas ciertas, y de ahí se hace un desarrollo ulterior.

    Sin embargo, los axiomas elegidos a tal efecto son bastante arbitrarios.
    No hay unos axiomas que sean más trascendentales que otros.

    Finalmente, el sentido de los objetos de una teoría matemática queda descripto en forma abstracta solamente a partir de las propiedades enunciadas en los axiomas y teoremas.

    No se puede saber la naturaleza íntima de los objetos matemáticos, viéndolos como objetos reales, sino sólo cómo se relacionan entre sí.
    Estas mutuas relaciones se expresan en axiomas y teoremas, y es lo único que puede decirse.

    En esto se produce pues un "corte" entre la naturaleza filosófica, o si se quiere, metafísica, de los entes matemáticos, y la matemática como disciplina.

  • Euclides hizo el intento de deducir por vía racional muchas de las propiedades intuitivamente evidentes de los objetos geométricos, y en particular esto puede haberlo llevado a la economía de axiomas, que él llamó Postulados.

  • Si bien los postulados de Euclides fueron originalmente 5, hoy en día, bajo una correcta y estricta fundamentación lógica, la geometría euclidiana requiere una veintena o más de axiomas, como hizo Hilbert alrededor del 1900.
    Una muestra de ello se puede ver en Wikipedia:



Tanto para Euclides como para Hilbert, se enunciaba de la misma forma el famoso Postulado/Axioma de las paralelas.

La negación lógica del Postulado/Axioma de las paralelas conduce al descubrimiento (Gauss, Lobachevski, Boliay, otros) de las geometrías no-euclidianas.

Es claro que el término no-euclidiano se inventó después del descubrimiento y no antes... lo aclaro porque suelo entrever en algunas "almas" que creen que había algo llamado "geometría no euclidiana" antes de haberse inventado.
En este caso, "descubrir" significó "inventar".

Según "san" Wikipedia, lo que en realidad se inventó fueron geometrías de curvatura constante. Tiempo después Riemann hizo su teoría en la cual la curvatura podía variar en cada punto del espacio geométrico considerado.

Todas estas geometrías se denominan, pues geometrías Riemannianas,
y así, tanto las geometrías no-euclidianas de curvatura constante, como la geometría euclidiana misma, son casos particulares de las geometrías Riemannianas.

Hagamos, pues, la siguiente clasificación:

  • Variedades Riemannianas de Curvatura Constante:
    • Geometría Euclidiana: Son aquellas en que la curvatura es siempre 0.

    • Geometría Elíptica: Son aquellas en que la curvatura es siempre positiva.

    • Geometría Hiperbólica: Son aquellas en que la curvatura es siempre negativa.


  • Variedades Riemannianas de Curvatura Variable
    Ejemplo típico: La superficie descripta por una función continuamente diferenciable de dos variables.



Por ejemplo, cuando se habla de "modelos" de una geometría hiperbólica, lo que se hace es tratar de buscar ejemplos que satisfagan los axiomas de la geometría hiperbólica.
Esto es común cuando se trabaja con un sistema axiomático.
La existencia de modelos nos asegura la consistencia de la teoría.

Por otro lado, como todas estas geometrías se engloban en el contexto más general de las variedades riemannianas, es posible dejar de pensar en términos de axiomas, que es algo incómodo, y podemos pensar ahora en conceptos más fáciles de calcular y manipular: números de curvatura, torsión, ángulos, longitudes, áreas, invariantes algebraicos, etc.

La geometría de Euclides se puede modelar con el espacio vectorial \( \mathbb R^3 \), y ello simplifica muchas cosas.
Lo mismo otras variedades, ya que localmente "se parecen" a espacios euclidianos, y habrá funciones de varias variables qué cómodamente describan la geometría que interesa estudiar.
[cerrar]

Habiendo aclarado un poco las cosas, es posible ahora hablar con más confianza de lo que significa una geometría hiperbólica.

En las geometrías elíptica e hiperbólica valen los mismos axiomas de la geometría euclidiana, excepto el de las paralelas, que tiene el siguiente aspecto en cada caso:

  • Ax. Paralelas - Geometría Euclidiana. Dadas una recta \(  \ell \) en un plano, y un punto \( P \) fuera de \( \ell \), existe una y sólo una recta paralela \( \ell ' \) a \( \ell \) que pasa por \( P \).

  • Ax. Paralelas - Geometría Elíptica. Dadas una recta \(  \ell \) en un plano, y un punto \( P \) fuera de \( \ell \), no existe una recta paralela \(  \ell ' \) a \( \ell \) que pasa por \( P \).

  • Ax. Paralelas - Geometría Hiperbólica. Dadas una recta \( \ell \) en un plano, y un punto \( P \) fuera de \( \ell \), existen al menos dos rectas paralelas \( \ell' \) a \( \ell \) que pasan por \( P \).


¿Qué significa ser "paralela"?
Quiere decir que las rectas "no se cortan", o sea, "su intersección es un conjunto vacío".

En el modelo de Escher de geometría hiperbólica que comenta Penrose, aparece un círculo dentro del cual "sucede" toda la geometría.
Allí se definen nociones de segmentos, rectas, ángulos, distancias y áreas.
Las "rectas" no lucen realmente rectas, sino como arcos perpendiculares a la circunferencia exterior que bordea el círculo total.

¿Cómo es que se le llama "recta" a algo que no es una línea recta?

Bueno, resulta que con el enfoque axiomático de la geometría euclidiana, esto es perfectamente posible, y podemos tener modelos de espacios geométricos que "no lucen" como esperamos que lo hagan intuitivamente.

La geometría hiperbólica cumple todos los axiomas de la geometría euclidiana, excepto el postulado/axioma de las paralelas, así que, mientras que no haya necesidad de demostrar resultados basados en el paralelismo de las rectas, cualquier cosa que "funcione como una recta" tendrá el honor de poder llamarse "recta", por más antiintuitivo que nos resulte.



Pienso que lo conveniente será estudiar el ejemplo de Escher en un tópico aparte.



También me gustaría desarrollar en threads aledaños el tema de los axiomas de cada tipo de geometría, así como la teoría de variedades Riemannianas.
Como estos temas son muy extensos, me he trabado justo en este punto sin poder avanzar.

Pienso que habrá que avanzar de todos modos, rellenando los huecos de a poco.
Así que aquí va una lista de temas que habría que completar:

* Axiomas de la Geometría Euclidiana. Variedades Lineales.
* Axiomas de la Geometría Elíptica. Ejemplos.
* Axiomas de la Geomtríe Hiperbólica. Ejemplos.
* Variedades Riemannianas. (todo)...

Sólo completando estos puntos tiene sentido ir a través del libro de Penrose.

Ocurre sin embargo que hay temas que pueden postergarse, ya que seguramente vuelven otra vez en capítulos posteriores.
El tema de las geometrías no-euclidianas es fundamental, y tendremos que desarrollarlo plenamente en algún momento.

Por ahora, puede quedar pendiente. Veremos por cuánto tiempo.

09 Octubre, 2009, 03:25 am
Respuesta #11

argentinator

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09 Octubre, 2009, 03:25 am
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09 Octubre, 2009, 03:25 am
Respuesta #13

argentinator

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09 Octubre, 2009, 03:25 am
Respuesta #14

argentinator

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22 Marzo, 2014, 07:50 pm
Respuesta #15

arkady-svidrigailov

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y qué tal el libro en líneas generales como sigue? está bueno esto que hiciste, desafortunadamente no tengo los conocimientos necesarios para ir leyendo todo bien a conciencia. Pareciera ser el Ulises de Joyce de la ciencia, jaja.

22 Marzo, 2014, 08:20 pm
Respuesta #16

argentinator

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En general explica conceptos matemáticos necesarios para entender las modernas teorías cosmológicas.
Es algo duro de seguir, y lo que conviene hacer es ponerse uno a estudiar cada tema.
Intentaré completar pronto los comentarios al capítulo 2 al menos.
Hay algunos pocos capítulos fáciles, y luego...  :banghead: :banghead: :banghead: :banghead: :banghead: :banghead: