Autor Tema: ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

10 Noviembre, 2019, 08:13 pm
Respuesta #50

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,913
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Pero si lo demuestras en tu propia respuesta número 44, tiene diferentes derivadas laterales en cero.

10 Noviembre, 2019, 08:33 pm
Respuesta #51

Buscón

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Pero si lo demuestras en tu propia respuesta número 44, tiene diferentes derivadas laterales en cero.

Efectivamente. No es derivable en    \( x=0 \)    porque no existe    \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}} \).

Entonces creo que estamos de acuerdo en que la función valor absoluto no es derivable en    \( x=0 \).

Ahora: ¿La función    \( g:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( g(x)=|x| \)    es derivable en todo punto? En particular, ¿es derivable en    \( x=0 \)?

??? ??? ???

EDITADO.

La función    \( g \)    es la función    \( f \)    restringida al intervalo    \( [0,1] \).


Saludos y gracias.

10 Noviembre, 2019, 08:50 pm
Respuesta #52

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,913
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Si en general el caso del punto \( a \) se denomina derivada derecha o derivada lateral derecha  y se define:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}  \)
Para \( b \) se tiene \( \displaystyle \lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(b+h)-f(b)}{h}  \) derivada izquierda en \( b \)

Editado

La función    \( g \)    es la función    \( f \)    restringida al intervalo    \( [0,1] \).

Saludos y gracias.

Mira las otras respuestas, Luis lo explicó unas cuantas veces.

10 Noviembre, 2019, 08:56 pm
Respuesta #53

Buscón

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Si en general el caso del punto \( a \) se denomina derivada derecha o derivada lateral derecha  y se define:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}  \)
Para \( b \) se tiene \( \displaystyle \lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(b+h)-f(b)}{h}  \) derivada izquierda en \( b \)

Editado

La función    \( g \)    es la función    \( f \)    restringida al intervalo    \( [0,1] \).

Saludos y gracias.

Mira las otras respuestas, Luis lo explicó unas cuantas veces.

Pero entonces se puede llegar a la conclusión de que la función valor absoluto no es derivable en    \( x=0 \)    y es derivable en    \( x=0 \).    Es absurdo.

10 Noviembre, 2019, 08:59 pm
Respuesta #54

Buscón

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Mira las otras respuestas, Luis lo explicó unas cuantas veces.

Ya, considerando que    \( g \)    es    \( g \)    y    \( f \)    es    \( f \).     Pero sigue sin estar claro.

10 Noviembre, 2019, 09:08 pm
Respuesta #55

manooooh

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,054
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Pero entonces se puede llegar a la conclusión de que la función valor absoluto no es derivable en    \( x=0 \)    y es derivable en    \( x=0 \).    Es absurdo.

Pero una función consta de tres partes: dominio, codominio y regla de correspondencia o fórmula (la gran mayoría).

Si no especificás las dos primeras es como que yo diga que la función \( f(x)=x^2 \) es biyectiva. ¿Lo es? Pues no lo sabremos hasta que el dominio y codominio queden absolutamente determinados (sea que lo digamos de forma implícita o explícita).

Saludos

12 Noviembre, 2019, 10:05 am
Respuesta #56

Buscón

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Pero entonces se puede llegar a la conclusión de que la función valor absoluto no es derivable en    \( x=0 \)    y es derivable en    \( x=0 \).    Es absurdo.

Pero una función consta de tres partes: dominio, codominio y regla de correspondencia o fórmula (la gran mayoría).

Si no especificás las dos primeras es como que yo diga que la función \( f(x)=x^2 \) es biyectiva. ¿Lo es? Pues no lo sabremos hasta que el dominio y codominio queden absolutamente determinados (sea que lo digamos de forma implícita o explícita).

Saludos

Pero el ejemplo que pones no se ajusta al problema. El cero es común al dominio de     \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \)     y al dominio de    \( g:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dadas por    \( f(x)=g(x)=|x| \),    (la expresión es también común a ambas funciones).

El punto    \( x=1 \)    no presenta ese problema.

Es un poco "raro" que la derivabilidad de una función en un punto dependa del dominio considerado. 

Que la biyectividad dependa del dominio no "chirría" si se elige un ejemplo más ajustado al problema:

Tanto la función    \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \)    como la función    \( g:[-1,+\infty)\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dadas por     \( f(x)=x^2 \)    verifican que    \( f(x)=g(x)=f(-x)=g(-x) \)    para todo    \( x\in{[0,1]} \),    esto es, ninguna de ellas, restringidas al intervalo    \( [-1,1] \)    (intervalo común al dominio de ambas), son biyectivas y ambas lo son si se restringen al intervalo    \( [0,1] \)    (intervalo también común a sus dominios).

Dicho de otra manera ¿Podrías encontrar un ejemplo en el que dos funciones con la misma expresión sean, una biyectiva y la otra no en un dominio común?

Saludos.

EDITADO.

El caso es que efectivamente como apunta Juan Pablo Sancho, se definen también las derivadas laterales.

¿Como resolver la paradoja?

Dada la función    \( f:[-1,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    determinada por    \( f(x)=|x| \)    resulta que:

   - La derivada lateral derecha de    \( f \)    en    \( x=0 \)    es    \( f'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=1 \)

   - La derivada lateral izquierda de    \( f \)    en    \( x=0 \)    es    \( f'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=-1 \)

   - \( f \)    no es derivable en    \( x=0 \).


??? ??? ???

12 Noviembre, 2019, 11:51 am
Respuesta #57

Buscón

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Después de leer y releer el hilo estoy de acuerdo con Luis Fuentes y Argentinator en que el motivo principal es que no es necesaria la derivabilidad en los extremos.

Un pequeño matiz.

Derivable en     \( [a,b] \)    es absurdo. En los extremos sólo se puede hablar de derivabilidad lateral. Se debe considerar que derivabilidad y derivabilidad lateral son dos conceptos distintos. Esto resuelve la paradoja.

No tiene mucho sentido complicarse en algo así como "continua en    \( [a,b] \)     derivable en    \( (a,b) \)   y derivable lateralmente en   \( \{a,b\} \)."

Saludos. 

12 Noviembre, 2019, 12:51 pm
Respuesta #58

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,123
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Derivable en     \( [a,b] \)    es absurdo. En los extremos sólo se puede hablar de derivabilidad lateral. Se debe considerar que derivabilidad y derivabilidad lateral son dos conceptos distintos.

No tienen porque ser conceptos distintos; o en todo caso también considerarás distinto considerar la continuidad en \( a \) respecto a considerar la continuidad en un un punto interior.

Dada una función\(  f:A\to \Bbb{R} \) y un punto de acumulación de \( A \), \( a\in A \) el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \)

está perfectamente definido y uno puede decir que la función es derivable si ese límite existe; y llamar derivada al valor del límite. Y eso es válido independientemente de si el punto es interior o está en el extremo del intervalo.

Citar
Esto resuelve la paradoja.

¿Qué paradoja? ¿Desde cuando ha habido paradoja alguna en este hilo?.

Citar
No tiene mucho sentido complicarse en algo así como "continua en    \( [a,b] \)     derivable en    \( (a,b) \)   y derivable lateralmente en   \( \{a,b\} \)."

Insisto en que no habría porque hablar de "lateralidad" igual que no se habla de continua lateralmente.

Saludos.

P.D. Hay algún motivo porque el que si conviene definir la derivabilidad sólo en puntos interiores del dominio. Pero no son ninguno de los que se han citado aquí. Sería otra historia.

13 Noviembre, 2019, 01:19 am
Respuesta #59

manooooh

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,054
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Luis

P.D. Hay algún motivo porque el que si conviene definir la derivabilidad sólo en puntos interiores del dominio. Pero no son ninguno de los que se han citado aquí. Sería otra historia.

Yo creo que deberías de mencionarlo. ¡Es justo lo que busca Buscón!

Saludos