Autor Tema: ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?

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08 Septiembre, 2020, 06:57 pm
Respuesta #90

Luis Fuentes

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Hola

No consigo verlo. Veo lo contrario. Son condiciones más restrictivas. ¿No?

EDITADO.

Ah vale, disculpa. Cambiando la hipótesis    \( f(a)=f(b) \)    por la que has puesto. Aunque casi viene siendo la misma, esos límites son   \( f(a) \)    y    \( f(b) \).    No veo el relax.

Las hipótesis del teorema de Rolle usual son:

1) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R  \).
2) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \).
3) \( f(a)=f(b) \).

Las hipótesis del teorema de Rolle modificado que te propuse son:

A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R  \).
B) \( f \) es continua en \( (a,b) \) y derivable en \( (a,b) \).
C) Existen Y COINCIDEN los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \) .

Las condiciones 1 y A) son las mismas.
Las condiciones 2) y 3) implican las condiciones B) y C), pero no al revés. Entonces a toda función a la que aplicas el Teorema de Rolle usual puedes aplicar mi versión; pero hay funciones a las que puedes aplicar la versión que propuse, pero a las que no puedes aplicar el Teorema de Rolle usual.

Por ejemplo piensa en la función:

\( f:[-1,1]\to \Bbb R \)

\( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in (-1,1)\\x & \text{si}& |x|=1\end{cases} \)

Saludos.

CORREGIDO.

08 Septiembre, 2020, 07:13 pm
Respuesta #91

Buscón

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Hola

No consigo verlo. Veo lo contrario. Son condiciones más restrictivas. ¿No?

EDITADO.

Ah vale, disculpa. Cambiando la hipótesis    \( f(a)=f(b) \)    por la que has puesto. Aunque casi viene siendo la misma, esos límites son   \( f(a) \)    y    \( f(b) \).    No veo el relax.

Las hipótesis del teorema de Rolle usual son:

1) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R  \).
2) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \).
3) \( f(a)=f(b) \).

Las hipótesis del teorema de Rolle modificado que te propuse son:

A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R  \).
B) \( f \) es continua en \( (a,b) \) y derivable en \( (a,b) \).
C) Existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \).

Las condiciones 1 y A) son las mismas.
Las condiciones 2) y 3) implican las condiciones B) y C), pero no al revés. Entonces a toda función a la que aplicas el Teorema de Rolle usual puedes aplicar mi versión; pero hay funciones a las que puedes aplicar la versión que propuse, pero a las que no puedes aplicar el Teorema de Rolle usual.

Por ejemplo piensa en la función:

\( f:[-1,1]\to \Bbb R \)

\( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in (-1,1)\\x & \text{si}& |x|=1\end{cases} \)

Saludos.

Sea    \( g:[-1,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)       \( g(x)=x^2 \).    que me aspen si    \( g\neq f \)

EDITADO.


Ah perdón. La función    \( f \)    no es continua en    \( [-1,1] \).    No se puede asegurar que alcance un máximo y un mínimo absolutos. No cumple las hipótesis del Teorema de Weierstrass.

No digo que no se pueda probar de otra manera que la función     \( f \)    cumple el Teorema de Rolle, pero no puede hacerse usando el de Weierstrass

08 Septiembre, 2020, 07:18 pm
Respuesta #92

Juan Pablo Sancho

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Tienes que \( f \) no es continua en \( -1 \) por ser \( f(-1) = -1 \neq g(-1)  \)

08 Septiembre, 2020, 07:21 pm
Respuesta #93

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Tienes que \( f \) no es continua en \( -1 \) por ser \( f(-1) = -1 \neq g(-1)  \)

Te adelantaste.

08 Septiembre, 2020, 10:32 pm
Respuesta #94

Luis Fuentes

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Hola

Ah perdón. La función    \( f \)    no es continua en    \( [-1,1] \).    No se puede asegurar que alcance un máximo y un mínimo absolutos. No cumple las hipótesis del Teorema de Weierstrass.

No digo que no se pueda probar de otra manera que la función     \( f \)    cumple el Teorema de Rolle, pero no puede hacerse usando el de Weierstrass


Pero como se demuestre el resultado que digo ya es otra cuestión. Simplemente digo que tiene la misma conclusión que el de Rolle pero con hipótesis más débiles (y más feas).

Spoiler
Para probarlo basta tener en cuenta que la condición (C) permite redefinir una función \( F \) continua en \( [a,b] \), derivable en \( (a,b) \), que cumple con las hipótesis de Rolle y que coincide con la original \( f \) en \( (a,b) \). Si quieres completa los detalles.
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Saludos.

09 Septiembre, 2020, 12:00 am
Respuesta #95

Buscón

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Hola

Ah perdón. La función    \( f \)    no es continua en    \( [-1,1] \).    No se puede asegurar que alcance un máximo y un mínimo absolutos. No cumple las hipótesis del Teorema de Weierstrass.

No digo que no se pueda probar de otra manera que la función     \( f \)    cumple el Teorema de Rolle, pero no puede hacerse usando el de Weierstrass


Pero como se demuestre el resultado que digo ya es otra cuestión. Simplemente digo que tiene la misma conclusión que el de Rolle pero con hipótesis más débiles (y más feas).

Spoiler
Para probarlo basta tener en cuenta que la condición (C) permite redefinir una función \( F \) continua en \( [a,b] \), derivable en \( (a,b) \), que cumple con las hipótesis de Rolle y que coincide con la original \( f \) en \( (a,b) \). Si quieres completa los detalles.
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Saludos.

No sabría. Gracias.

09 Septiembre, 2020, 01:54 am
Respuesta #96

Buscón

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Las hipótesis del teorema de Rolle usual son:

1) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R  \).
2) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \).
3) \( f(a)=f(b) \).

Las hipótesis del teorema de Rolle modificado que te propuse son:

A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R  \).
B) \( f \) es continua en \( (a,b) \) y derivable en \( (a,b) \).
C) Existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \).

Las condiciones 1 y A) son las mismas.
Las condiciones 2) y 3) implican las condiciones B) y C), pero no al revés. Entonces a toda función a la que aplicas el Teorema de Rolle usual puedes aplicar mi versión; pero hay funciones a las que puedes aplicar la versión que propuse, pero a las que no puedes aplicar el Teorema de Rolle usual.

Por ejemplo piensa en la función:

\( f:[-1,1]\to \Bbb R \)

\( f(x)=\begin{cases}{x^2}&\text{si}& x\in (-1,1)\\x & \text{si}& |x|=1\end{cases} \)

Saludos.

Pues es lo mismo que trato de explicar.

Las hipótesis del teorema de Rolle restrictivo son:

1) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R  \).
2) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( \color{red}[a,b] \).
3) \( f(a)=f(b) \).

Las hipótesis del Teorema de Rolle usual son:

A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R  \).
B) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \).
C) \( f(a)=f(b) \).


La condición 2) implica la condición B), pero no al revés. Entonces a toda función a la que aplicas el Teorema de Rolle restrictivo puedes aplicar el Teorema de Rolle usual; pero hay funciones a las que puedes aplicar el teorema de Rolle usual, pero a las que no puedes aplicar el Teorema de Rolle restrictivo.

Por ejemplo piensa en la función:

\( f:[-1,1]\to \Bbb R \)

\( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \).

Saludos.


09 Septiembre, 2020, 10:46 am
Respuesta #97

Luis Fuentes

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No sabría. Gracias.

No me lo creo.  ::)  ;)

Lo que creo es que no lo has intentado de verdad. Si es así en todo caso puedes encontrar un punto concreto donde te atasque. Pero te he dado un esbozo del camino; es imposible que ni tan siquiera puedas empezar a recorrer ese camino.

Saludos.

09 Septiembre, 2020, 11:23 am
Respuesta #98

Luis Fuentes

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Hola

Pues es lo mismo que trato de explicar.

Las hipótesis del teorema de Rolle restrictivo son:

1) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R  \).
2) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( \color{red}[a,b] \).
3) \( f(a)=f(b) \).

Las hipótesis del Teorema de Rolle usual son:

A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R  \).
B) \( f \) es continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \).
C) \( f(a)=f(b) \).


La condición 2) implica la condición B), pero no al revés. Entonces a toda función a la que aplicas el Teorema de Rolle restrictivo puedes aplicar el Teorema de Rolle usual; pero hay funciones a las que puedes aplicar el teorema de Rolle usual, pero a las que no puedes aplicar el Teorema de Rolle restrictivo.

Por ejemplo piensa en la función:

\( f:[-1,1]\to \Bbb R \)

\( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \).

¡Buf! ¡Pero nadie te ha dicho lo contrario en ese punto!¡De acuerdo!.

Simplemente lo que digo que la versión del Teorema de Rolle con hipótesis más exigentes sigue siendo válida, aunque se pueda aplicar a menos funciones. Igualmente puede darse una versión del Teorema de Rolle con hipótesis menos exigentes que las usuales, que se podría aplicar a más funciones que el habitual.

Esto viene a cuento porque en tus frases anteriores dabas a entender como si el Teorema de Rolle tuviese las hipótesis "justas" ni más ni menos; y una versión con otras hipótesis no estuviese bien. Pues no; pueden hacerse versione con hipótesis más restrictivas o menos restrictivas, todas ellas válidas.

Saludos.

09 Septiembre, 2020, 02:11 pm
Respuesta #99

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Esto viene a cuento porque en tus frases anteriores dabas a entender como si el Teorema de Rolle tuviese las hipótesis "justas" ni más ni menos; y una versión con otras hipótesis no estuviese bien. Pues no; pueden hacerse versione con hipótesis más restrictivas o menos restrictivas, todas ellas válidas.

Trataba de justificar el "¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?" del hilo. En el caso del Teorema de Rolle se puede justificar diciendo que así se puede aplicar a más funciones.

Releyendo el hilo me acabo de dar cuenta de que ya estaba contemplada la idea. Sólo es más de lo mismo.

Más de lo mismo, al  tener derivabilidad en \( (a,b) \) y continuidad en \( [a,b] \) Tenemos que en \( a \) sólo se exige que :
\( \displaystyle f(a) = \lim_{h \to 0^+} f(a+h)  \) en contra si se exige derivabilidad en \( [a,b] \) se exige una condición más fuerte:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}  \) como dijo Argentinator en su primer mensaje al pedir una condición más fuerte en los extremos perdemos muchas funciones en la que se puede verificar el teorema.
Ejemplo (Para el teorema de Rolle):
\(  \displaystyle f(x) = x \cdot \sen(\dfrac{1}{x})  \) con \(  x \in ]0,\dfrac{1}{\pi}]  \) y \(  f(0)=0  \).
\( \displaystyle g(x) = \sqrt{1-x^2}  \) para \( x \in [-1,1]  \)

EDITADO.