Autor Tema: ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?

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26 Agosto, 2020, 11:49 am
Respuesta #80

Buscón

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Lo relevante del ejemplo para el hilo es que es posible decir que una función es derivable en un abierto, (la función    \( F \)    es derivable en    \( (-\infty,1)\cup{(1,+\infty)} \),     o que una función es derivable en un cerrado, (la función    \( F_{|_{[0,1]}} \)    es derivable en    \( [0,1] \)),    sin contradecir ni la definición de derivada ni el teorema fundamental del cálculo integral.

Saludos.

07 Septiembre, 2020, 02:30 pm
Respuesta #81

Buscón

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La función    \( f:[-1,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    definida por    \( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \),    (semicircunferencia superior de radio 1 centrada en el origen), es continua en    \( [-1,1] \)    pero no existe la derivada en sus extremos.

Para probar que cumple el teorema de Rolle se debe exigir que sea continua en    \( [-1,1] \),    que verifique que   \( f(-1)=f(1) \)    y por supuesto que sea derivable en    \( (-1,1) \).    No se puede exigir que sea derivable en    \( [-1,1] \)    porque entonces no se podría probar que verifica el teorema de Rolle al no cumplir las hipótesis.

Saludos.

07 Septiembre, 2020, 07:20 pm
Respuesta #82

ciberalfil

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Yo creo más bien que es al contrario, aunque tampoco lo sé con seguridad. En el caso de algunos teoremas como el de Rolle, aunque no es el único, bastaría con definir la continuidad y la derivabilidad en el abierto (a,b), pero es necesario establecer cuales son los valores de dicha función en ambos puntos, si no se exige la continuidad no se puede afirmar que dichos valores existan, pero podría enunciarse dicho teorema aceptando que existen los límites interiores para la función y la derivada en dichos extremos y el teorema funcionaría igual, creo. No sé si me explico, se acepta que la función es continua y derivable en (a,b) y se acepta además que existen los límites en a por la derecha y en b por la izquierda para la función y la derivada, creo que bastaría para que se cumplieran las condiciones (siempre que se acepten dichos límites como los valores extremos de la función y su derivada). O bien bastaría con establecer la continuidad en el intervalo cerrado para tener el problema resuelto. Creo que no tiene demasiado interés la cuestión.

07 Septiembre, 2020, 09:12 pm
Respuesta #83

Buscón

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Yo creo más bien que es al contrario, aunque tampoco lo sé con seguridad. En el caso de algunos teoremas como el de Rolle, aunque no es el único, bastaría con definir la continuidad y la derivabilidad en el abierto (a,b), pero es necesario establecer cuales son los valores de dicha función en ambos puntos, si no se exige la continuidad no se puede afirmar que dichos valores existan, pero podría enunciarse dicho teorema aceptando que existen los límites interiores para la función y la derivada en dichos extremos y el teorema funcionaría igual, creo. No sé si me explico, se acepta que la función es continua y derivable en (a,b) y se acepta además que existen los límites en a por la derecha y en b por la izquierda para la función y la derivada, creo que bastaría para que se cumplieran las condiciones (siempre que se acepten dichos límites como los valores extremos de la función y su derivada). O bien bastaría con establecer la continuidad en el intervalo cerrado para tener el problema resuelto. Creo que no tiene demasiado interés la cuestión.

El teorema de Rolle funciona siempre sea cual sea el método utilizado para demostrarlo. Por eso es un teorema.
Para demostrarlo apoyándose en el teorema de Wieirstrass y en la condición necesaria de extremo relativo se necesita que el intervalo sea cerrado.

Es más, para que funcione siempre se ha de relajar la condición de derivabilidad al intervalo abierto.

08 Septiembre, 2020, 02:09 pm
Respuesta #84

Luis Fuentes

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El teorema de Rolle funciona siempre sea cual sea el método utilizado para demostrarlo. Por eso es un teorema.
Para demostrarlo apoyándose en el teorema de Wieirstrass y en la condición necesaria de extremo relativo se necesita que el intervalo sea cerrado.

Efectivamente la continuidad en \( [a,b] \) es imprescindible para que se cumpla el Teorema de Rolle.

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Es más, para que funcione siempre se ha de relajar la condición de derivabilidad al intervalo abierto.

No entiendo que quieres decir con esa frase.

Saludos.

08 Septiembre, 2020, 02:15 pm
Respuesta #85

Buscón

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El teorema de Rolle funciona siempre sea cual sea el método utilizado para demostrarlo. Por eso es un teorema.
Para demostrarlo apoyándose en el teorema de Wieirstrass y en la condición necesaria de extremo relativo se necesita que el intervalo sea cerrado.

Efectivamente la continuidad en \( [a,b] \) es imprescindible para que se cumpla el Teorema de Rolle.

Citar
Es más, para que funcione siempre se ha de relajar la condición de derivabilidad al intervalo abierto.

No entiendo que quieres decir con esa frase.

Saludos.

Pues si se exige como hipótesis del Teorema de Rolle que la función    \( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \)    sea derivable en    \( [-1,1] \)    no se puede decir nada sobre si dicha función verifica o no verifica el teorema, no cumple las hipótesis.

08 Septiembre, 2020, 05:07 pm
Respuesta #86

Luis Fuentes

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Pues si se exige como hipótesis del Teorema de Rolle que la función    \( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \)    sea derivable en    \( [-1,1] \)    no se puede decir nada sobre si dicha función verifica o no verifica el teorema, no cumple las hipótesis.

Es confuso lo que estás diciendo, por no decir incorrecto.

Si a un Teorema cierto se le añaden hipótesis, se construyen otros teoremas que también serán ciertos. Lo que pasa es que al añadirle hipótesis se podrán aplicar en menos casos que el original.

Saludos.

08 Septiembre, 2020, 05:27 pm
Respuesta #87

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Pues si se exige como hipótesis del Teorema de Rolle que la función    \( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \)    sea derivable en    \( [-1,1] \)    no se puede decir nada sobre si dicha función verifica o no verifica el teorema, no cumple las hipótesis.

Es confuso lo que estás diciendo, por no decir incorrecto.

Si a un Teorema cierto se le añaden hipótesis, se construyen otros teoremas que también serán ciertos. Lo que pasa es que al añadirle hipótesis se podrán aplicar en menos casos que el original.

Saludos.

Discrepo. No es una buena idea restringir el ámbito de aplicación de un teorema. Al contrario interesa extenderlo. En este caso se consigue relajando la condición de la derivabilidad al abierto.

¿No está claro que no se puede aplicar el Teorema de Rolle a la función    \( f:[-1,1] \)    definida por    \( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \)    si cambiamos la hipótesis del teorema "derivable en    \( (-1,1) \)"    por la hipótesis "derivable en    \( [-1,1] \)"?   

08 Septiembre, 2020, 05:42 pm
Respuesta #88

Luis Fuentes

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¿No está claro que no se puede aplicar el Teorema de Rolle a la función    \( f:[-1,1] \)    definida por    \( f(x)=\sqrt[ ]{1-x^2} \)    si cambiamos la hipótesis del teorema "derivable en    \( (-1,1) \)"    por la hipótesis "derivable en    \( [-1,1] \)"?

Si.

Discrepo. No es una buena idea restringir el ámbito de aplicación de un teorema. Al contrario interesa extenderlo. En este caso se consigue relajando la condición de la derivabilidad al abierto.

Pero yo no estoy hablando de si es buena idea o mala idea, el sentido de si es más o menos interesante decidirse por unas u otras hipótesis. Mi comentario venía a cuento de esta afirmación:

Es más, para que funcione siempre se ha de relajar la condición de derivabilidad al intervalo abierto.

Parece que da a entender que si no se imponen esas condiciones más relajadas el Teorema dejaría de funcionar. Cuando no es así. El Teorema seguiría funcionando (entendiendo que un teorema funciona cuando es cierto) pero se podría aplicar a menos funciones.

De hecho podría darse una versión del Teorema de Rolle con hipótesis todavía más relajadas. Por ejemplo, para  funciones \( f:[a,b]\to \Bbb R \) continuas y derivables en \( (a,b) \) y tales que los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \) existen y coinciden.

Con ese enunciado el Teorema podría aplicarse a más funciones que el usual. ¿Qué pasa entonces con el Teorema de Rolle usual? ¿Lo tiramos a la basura?¿No es una buena idea?. No. El Teorema de Rolle tiene un buen equilibrio entre la sencillez de su enunciado y su funcionalidad.

Saludos.

08 Septiembre, 2020, 06:23 pm
Respuesta #89

Buscón

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De hecho podría darse una versión del Teorema de Rolle con hipótesis todavía más relajadas. Por ejemplo, para  funciones \( f:[a,b]\to \Bbb R \) continuas y derivables en \( (a,b) \) y tales que los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \) existen y coinciden.


Eh? No veo que añadir una condición más relaje las condiciones.

Con ese enunciado el Teorema podría aplicarse a más funciones que el usual.

No consigo verlo. Veo lo contrario. Son condiciones más restrictivas. ¿No?

EDITADO.

Ah vale, disculpa. Cambiando la hipótesis    \( f(a)=f(b) \)    por la que has puesto. Aunque casi viene siendo la misma, esos límites son   \( f(a) \)    y    \( f(b) \).    No veo el relax.