Autor Tema: ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?

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13 Noviembre, 2019, 09:39 am
Respuesta #60

Luis Fuentes

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Hola

P.D. Hay algún motivo porque el que si conviene definir la derivabilidad sólo en puntos interiores del dominio. Pero no son ninguno de los que se han citado aquí. Sería otra historia.

Yo creo que deberías de mencionarlo. ¡Es justo lo que busca Buscón!

Pues  porque hay propiedades típicas relacionadas con derivadas que se cumplen si consideramos la definición de derivada en un punto interior de un abierto, pero fallan si la extendemos a un extremo.

Por ejemplo si una función \( f:D\to \Bbb R \) es derivable en \( x_0\in D \) y tiene un máximo o un mínimo local en \( D \) entonces \( f'(x_0)=0 \). Esto NO es cierto si \( D=[a,b] \) y \( x_0=a \) (e.g. la función \( f(x)=x \) en \( [0,1] \)).

Saludos.

13 Noviembre, 2019, 12:08 pm
Respuesta #61

feriva

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Después de leer y releer el hilo estoy de acuerdo con Luis Fuentes y Argentinator en que el motivo principal es que no es necesaria la derivabilidad en los extremos.


Pero eso estaba clarísimo en todo momento excepto para mí, que estaba alucinando en colores transitoriamente (como me pasa en tantos otros hilos y en cuestiones más elementales aún). El único debate que se puede considerar que ha habido es el de los líos que arma feriva :)

Saludos.

14 Noviembre, 2019, 11:41 am
Respuesta #62

Buscón

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Hola, me imagino que habrás querido decir:

Hola

P.D. Hay algún motivo porque el que si conviene definir la derivabilidad sólo en puntos interiores del dominio. Pero no son ninguno de los que se han citado aquí. Sería otra historia.

Yo creo que deberías de mencionarlo. ¡Es justo lo que busca Buscón!

Pues  porque hay propiedades típicas relacionadas con derivadas que se cumplen si consideramos la definición de derivada en un punto interior de un abierto, pero fallan si la extendemos a un extremo.

Por ejemplo si una función \( f:D\to \Bbb R \) es derivable en \( x_0\in D \) y tiene un máximo o un mínimo local en \( x_0 \) entonces \( f'(x_0)=0 \). Esto NO es cierto si \( D=[a,b] \) y \( x_0=a \) (e.g. la función \( f(x)=x \) en \( [0,1] \)).

Saludos.

¿Es derivable la función   \( f \)   en    \( [0,1] \)?

14 Noviembre, 2019, 11:46 am
Respuesta #63

Buscón

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Después de leer y releer el hilo estoy de acuerdo con Luis Fuentes y Argentinator en que el motivo principal es que no es necesaria la derivabilidad en los extremos.


Pero eso estaba clarísimo en todo momento excepto para mí, que estaba alucinando en colores transitoriamente (como me pasa en tantos otros hilos y en cuestiones más elementales aún). El único debate que se puede considerar que ha habido es el de los líos que arma feriva :)

Saludos.

No tan claro para mi también. Es más bien confianza en la sabiduría de Luis Fuentes y Argentinator. También es por exclusión, no soy capaz de encontrar otro motivo.

Saludos.

14 Noviembre, 2019, 12:16 pm
Respuesta #64

feriva

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Hola, Buscón.



No tan claro para mi también. Es más bien confianza en la sabiduría de Luis Fuentes y Argentinator. También es por exclusión, no soy capaz de encontrar otro motivo.

Saludos.

Bueno, han surgido varios aspectos que pueden tener más cosas a analizar, pero lo que era la pregunta principal del hilo, que es a lo que me refiero, “¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?”, sí estaba clarísimo.

Sencillamente, en un intervalo (a,b) no hay extremos y, por tanto, si es derivable, entonces en todos los puntos encontramos los dos  límites laterales; porque de lo contrario habría extremos dentro del abierto, habría unos “últimos”, lo cual es absurdo ya por definición. Entiendo que esto es y era OBVIO para todos; menos para mí, precisamente porque transitoriamente empecé a entender (por despiste) el encaje de los intervalos al revés, con los extremos dentro de aquí (a,b) en vez de por fuera.
Nadie consideró derivar en los extremos,  si bien, desde el principio del hilo, Argentinator  habló de que se podía considerar la derivada sólo a un lado en un extremo; pero eso es independiente de que aquí (a,b) tengamos siempre los dos límites laterales.

Fue ese despiste mío de ver los intervalos al revés lo que lo lío todo (a más de otros despistes posteriores) no tenía nada que ver con una confusión debida a lo antintuitivo del infinito, era un despiste como tantos que tengo, lo mismo que podría haber dicho 2+2=5 y haberla liado en un problema de primaria. 

Argentinator y Luis tienen razón porque la tienen, porque es así, no por ser matemáticos ni por ser muy inteligentes (que sí opino que lo son, pero eso es aparte).

Saludos.   


14 Noviembre, 2019, 05:31 pm
Respuesta #65

Luis Fuentes

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Hola

¿Es derivable la función   \( f \)   en    \( [0,1] \)?

Si, con una definición suficientemente genérica de derivabilidad como la que te indiqué aquí:

No tienen porque ser conceptos distintos; o en todo caso también considerarás distinto considerar la continuidad en \( a \) respecto a considerar la continuidad en un un punto interior.

Dada una función\(  f:A\to \Bbb{R} \) y un punto de acumulación de \( A \), \( a\in A \) el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \)

está perfectamente definido y uno puede decir que la función es derivable si ese límite existe; y llamar derivada al valor del límite. Y eso es válido independientemente de si el punto es interior o está en el extremo del intervalo.

Saludos.

14 Noviembre, 2019, 05:59 pm
Respuesta #66

Buscón

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Hola

¿Es derivable la función   \( f \)   en    \( [0,1] \)?

Si, con una definición suficientemente genérica de derivabilidad como la que te indiqué aquí:

No tienen porque ser conceptos distintos; o en todo caso también considerarás distinto considerar la continuidad en \( a \) respecto a considerar la continuidad en un un punto interior.

Dada una función\(  f:A\to \Bbb{R} \) y un punto de acumulación de \( A \), \( a\in A \) el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \)

está perfectamente definido y uno puede decir que la función es derivable si ese límite existe; y llamar derivada al valor del límite. Y eso es válido independientemente de si el punto es interior o está en el extremo del intervalo.

Saludos.

Otro ejemplo para liar o aclarar:

La función    \( f:(0,2)\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=\lfloor x\rfloor \),    (parte entera), no puede ser derivable en    \( x=1 \)    porque es contradictorio con que toda función derivable en un punto es continua en dicho punto. Sin embargo existe

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\displaystyle\frac{1-1}{h}=0 \).

??? ??? ???

Saludos.

14 Noviembre, 2019, 06:34 pm
Respuesta #67

feriva

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Otro ejemplo para liar o aclarar:

La función    \( f:(0,2)\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=\lfloor x\rfloor \),    (parte entera), no puede ser derivable en    \( x=1 \)    porque es contradictorio con que toda función derivable en un punto es continua en dicho punto. Sin embargo existe

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\displaystyle\frac{1-1}{h}=0 \).

??? ??? ???


Independientemente de lo entresijos que tenga eso (que yo no sé, Luis dirá) está claro que las funciones derivables continuas en un intervalo [a,b] no son derivables en los extremos de forma general; ya se han puesto ejemplos particulares de algunas que no lo son. Otra cosa es que haya casos donde sí exista, y si existe, pues existe. De hecho era un punto que ha estado claro en todo momento, no se había puesto en duda.
Si se dice continua en [a,b] nadie dice nada más, no puedes asumir que la función salte bruscamente a partir de los extremos, eso lo asumes tú.


Saludos.

14 Noviembre, 2019, 07:17 pm
Respuesta #68

Luis Fuentes

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Hola

Otro ejemplo para liar o aclarar:

La función    \( f:(0,2)\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=\lfloor x\rfloor \),    (parte entera), no puede ser derivable en    \( x=1 \)    porque es contradictorio con que toda función derivable en un punto es continua en dicho punto. Sin embargo existe

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(1+h)-f(1)}{h}}=\displaystyle\frac{1-1}{h}=0 \).

Es que esa función NO es derivable en el punto \( x=1 \) con ninguna de las definiciones razonables de derivabilidad; desde luego no con la que te puse arriba y que es válida también para puntos extremos. Lo que yo digo simplemente es considerar el límite en el dominio de la función. Pero tu ahí, no se porqué, te acercas sólo por la derecha, cuando a la izquierda también hay puntos en el dominio de la función.

Para entender mejor lo que digo, recordemos primero como está definido el límite de una función con dominio un subconjunto de los reales (y más en general sería un caso particular de la definición de límite de una función definida en cualquier espacio topológico).

Sea \( f:D\to \Bbb R \) una función, con \( D\subset \Bbb R \) y \( x_0 \) un punto de acumulación de \( D \). Entonces decimos que \displaystyle\lim_{x \to x_0}{}f(x)=a si:

\( \forall \epsilon>0,\quad \exists \delta>0 \) tal que si \( 0<|x-x_0|<\delta,\,\color{blue}x\in D\color{black} \), entonces \( |f(x)-a|<\epsilon \)

La parte en azul es clave en lo que digo. Eso por ejemplo te permite decir que el límite de la función \( f:[0,1]\to \Bbb R \) definida como \( f(x)=x^2 \) en el punto \( x_0=1 \) es \( 1 \).

Pues ahora si \( f:D\to \Bbb R \) una función, con \( D\subset \Bbb R \) y \( x_0\in D \) un punto de acumulación de \( D \), decimos que \( f \) es derivable en \( x_0 \) si existe el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to x_0}{}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \)

Eso te permite aplicar la definición para una función definida en \( [0,1] \) indistintamente en un punto interior o en un punto de los extremos.

Saludos.

P.D.

Independientemente de lo entresijos que tenga eso (que yo no sé, Luis dirá) está claro que las funciones no son derivables en los extremos;

feriva esa frase es bastante confusa. Hay funciones que si son derivables en los extremos y otras que no lo son. Como hay funciones que si son derivable en puntos interiores y otras que no son. Como hay funciones continuas y otras que no lo son. Pero nadie se refiere a ese hecho diciendo "está claro que las funciones no son continuas".

14 Noviembre, 2019, 07:26 pm
Respuesta #69

feriva

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feriva esa frase es bastante confusa. Hay funciones que si son derivables en los extremos y otras que no lo son. Como hay funciones que si son derivable en puntos interiores y otras que no son. Como hay funciones continuas y otras que no lo son. Pero nadie se refiere a ese hecho diciendo "está claro que las funciones no son continuas".

Lo cambio, Luis.

Gracias, saludos.

14 Noviembre, 2019, 08:16 pm
Respuesta #70

Buscón

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Pero tu ahí, no se porqué, te acercas sólo por la derecha, cuando a la izquierda también hay puntos en el dominio de la función.

Gracias. Entiendo, (creo).

La función    \( f \)    no es derivable en    \( (0,2) \)    pero si lo es en    \( [1,2) \).    En    \( [1,2] \)    NO es derivable por que no existe    \( \displaystyle\lim_{h \to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(2+h)-f(2)}{h}} \).    Lo que suceda para    \( h>0 \)    es irrelevante suponiendo la función definida como    \( f:[1,2]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=\lfloor x\rfloor \).

¿Correcto?

14 Noviembre, 2019, 08:25 pm
Respuesta #71

Luis Fuentes

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Hola

Pero tu ahí, no se porqué, te acercas sólo por la derecha, cuando a la izquierda también hay puntos en el dominio de la función.

Gracias. Entiendo, (creo).

La función    \( f \)    no es derivable en    \( (0,2) \)    pero si lo es en    \( [1,2) \).    En    \( [1,2] \)    NO es derivable por que no existe    \( \displaystyle\lim_{h \to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(2+h)-f(2)}{h}} \).    Lo que suceda para    \( h>0 \)    es irrelevante por que ahí la función no está definida.

¿Correcto?

Es correcto. Y fíjate que todas esas disquisiciones o variaciones en la diferenciabilidad son las mismas que ocurren con la continuidad; es decir no es una problemática exclusiva de la diferenciabilidad de una función pase a ser derivable o no dependidendo de si se restringe el dominio.

Saludos.

25 Agosto, 2020, 12:00 am
Respuesta #72

Buscón

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Por calentar otro poco el tema.

Con esta

6.1 Definición.

Se dice que una función    \( f:I\rightarrow{R} \)    es derivable en un punto    \( a\in{I} \),    si existe el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}} \).

Explícitamente,    \( f \)    es derivable en    \( a \)    si hay un número    \( L\in{\mathbb{R}} \)    verificando que para cada número    \( \epsilon>0 \)    existe algún número    \( \delta>0 \)    tal que para todo    \( x\in{I} \)    con    \( x\neq a \)    y    \( |x-a|<\delta \)    se tiene que:

\( \displaystyle\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-L\right|\leq{}\epsilon \)

Dicho número    \( L \)    se llama derivada de    \( f \)    en    \( a \)    y lo representamos por    \( f'(a) \)    (notación debida a Lagrange).


y esta función,


Sea    \( f \)    la función dada por:

\( \displaystyle f(x)=\begin{cases}2-x,&\textrm{ si }x\leq{1};\\\\2+x,&\textrm{ si }x>1.\end{cases} \)

Estudia la derivabilidad de    \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \).



¿Es derivable la función    \( F \)    en    \( x=1 \)?  Aplicado al hilo: ¿Es derivable en    \( [0,1] \)?

Saludos.

25 Agosto, 2020, 01:25 am
Respuesta #73

delmar

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Hola

Te ayudo con la primera interrogante.

\( F:R\rightarrow{R} \)

F es una función definida en todo R, en este caso 1 es un punto interior del dominio de F, entonces es aplicable la definición puesta.

Para saber si es derivable aplicar la definición de derivada, por intuición hay que analizar directamente los límites laterales y estos han de ser iguales.

Lateral por la derecha:

\( \lim_{h \to{}0+}{\frac{F(1+h)-F(1)}{h}}=\lim_{h \to{}0+}{\frac{F(1)+\int_{1}^{1+h}(2+t) \ dt-F(1)}{h}} \)

Lateral por la izquierda :

\( \lim_{h \to{}0-}{\frac{F(1+h)-F(1)}{h}}=\lim_{h \to{}0-}{\frac{F(1)-\int_{1+h}^{1}(2-t) \ dt-F(1)}{h}} \)

Es cuestión de hallar los límites y compararlos.


Saludos

25 Agosto, 2020, 01:13 pm
Respuesta #74

Buscón

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Hola

Te ayudo con la primera interrogante.

\( F:R\rightarrow{R} \)

F es una función definida en todo R, en este caso 1 es un punto interior del dominio de F, entonces es aplicable la definición puesta.

Para saber si es derivable aplicar la definición de derivada, por intuición hay que analizar directamente los límites laterales y estos han de ser iguales.

Lateral por la derecha:

\( \lim_{h \to{}0+}{\frac{F(1+h)-F(1)}{h}}=\lim_{h \to{}0+}{\frac{F(1)+\int_{1}^{1+h}(2+t) \ dt-F(1)}{h}} \)

Lateral por la izquierda :

\( \lim_{h \to{}0-}{\frac{F(1+h)-F(1)}{h}}=\lim_{h \to{}0-}{\frac{F(1)-\int_{1+h}^{1}(2-t) \ dt-F(1)}{h}} \)

Es cuestión de hallar los límites y compararlos.


Saludos

Gracias

\( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{2x-\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2}}{x-1}}\neq\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{2x+\frac{x^2}{2}-1}{x-1}} \)

No coinciden. Así que según la definición dada la función     \( F \)   no es derivable en    \( x=1 \)    a pesar de que es posible calcular    \( F'(1)=2-x=2-1=1 \).    :o

¿Que sería lo correcto?

   i)   La función    \( F \)    es derivable en    \( (0,1)\cup{(1,+\infty)} \)

   ii)  La función    \( F \)    es derivable en    \( [0,1]\cup{(1,+\infty)} \)

   iii) La función     \( F \)    es derivable en    \( [0,1)\cup{(1,+\infty)} \)

   iv) La función     \( F \)    es derivable en    \( (0,1)\cup{(1,+\infty)} \),    y además es derivable por la izquierda en    \( x=0 \)    y    \( x=1 \)

Saludos.

25 Agosto, 2020, 09:39 pm
Respuesta #75

delmar

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Observo algunos errores en los numeradores de las expresiones para hallar los límites por la izquierda y derecha. Los doy a notar.

Por la izquierda :

\( F(x)-F(1)=2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2} \)

Por la derecha :

\( F(x)-F(1)=(\int_{0}^{1}(2-t) \ dt+\int_{1}^{x}(2+t) \ dt)-F(1)=(F(1)+2(x-1)+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2})-F(1)=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \)

Al obtener los límites se ve que son diferentes, es conveniente verificar.

Spoiler
\( 1\neq 3 \)
[cerrar]

En este caso, considerando que el dominio de F es todo R, todos los puntos de su dominio incluyendo a los que pertenecen a \( [0,1] \) son puntos interiores al dominio, en consecuencia la definición puesta es aplicable.

a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es. Disculpad leyendo bien es cierto

Buscón esperamos tus ideas.


Saludos

26 Agosto, 2020, 12:00 am
Respuesta #76

Buscón

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Observo algunos errores en los numeradores de las expresiones para hallar los límites por la izquierda y derecha. Los doy a notar.

Por la izquierda :

\( F(x)-F(1)=2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2} \)

Por la derecha :

\( F(x)-F(1)=(\int_{0}^{1}(2-t) \ dt+\int_{1}^{x}(2+t) \ dt)-F(1)=(F(1)+2(x-1)+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2})-F(1)=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \)

\( \displaystyle f(x)=\begin{cases}2-x,&\textrm{ si }x\leq{1};\\\\2+x,&\textrm{ si }x>1.\end{cases}\Rightarrow{F(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt}=\displaystyle\int_{0}^{x}2-t\cdot{dt}=2t\bigg|_0^x-\frac{t^2}{2}\bigg|_0^x=2x-\frac{x^2}{2},&\textrm{ si }x\leq{1}\\\\\\\displaystyle\int_{1}^{x}f(t)\cdot{dt}=\displaystyle\int_{1}^{x}2+t\cdot{dt}=2t\bigg|_1^x+\frac{t^2}{2}\bigg|_1^x=2x+\frac{x^2}{2},&\textrm{ si }x>1\end{cases}} \)

de donde

\( \displaystyle F(x)-F(1)=2x-\frac{x^2}{2}-\left(2\cdot{(1)}-\frac{1^2}{2}\right)=2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2} \)    por la izquierda, y

\( \displaystyle F(x)-F(1)=2x+\frac{x^2}{2}-\left(2\cdot{(1)}+\frac{1^2}{2}\right)=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \)   por la derecha

Efectivamente llevas razón.


Al obtener los límites se ve que son diferentes, es conveniente verificar.

Spoiler
\( 1\neq 3 \)
[cerrar]

En este caso, considerando que el dominio de F es todo R, todos los puntos de su dominio incluyendo a los que pertenecen a \( [0,1] \) son puntos interiores al dominio, en consecuencia la definición puesta es aplicable.

a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es.

Buscón esperamos tus ideas.


Saludos

Para verificar que son distintos. La ecuación    \( \displaystyle 2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \)    tiene por soluciones     \( x=\pm{1} \)    y     \( -1\not\in{[0,+\infty)} \).

El dominio de    \( F \)    no es todo    \( \mathbb{R} \)    el dominio de    \( F \)    está implícito en su definición    \( \displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \),   sería    \( [0,+\infty) \)

¿Es    \( F \)    derivable en    \( x=0 \)?

Saludos.

26 Agosto, 2020, 12:05 am
Respuesta #77

Buscón

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a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es. Disculpad leyendo bien es cierto


Creo que no lo es. Estaba mejor antes. El teorema fundamental del cálculo,
Spoiler
8.16 Teorema (Teorema fundamental del Cálculo). Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función integrable y definamos    \( F:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    por:

\( F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt\tag{8.6} \)

para todo    \( x\in{[a,b]} \).    Entonces:

   i)  \( F \)    es continua en    \( [a,b] \).

   ii) En todo punto    \( c \)    de     \( [a,b] \)    en el que    \( f \)    sea continua se verifica que    \( F \)    es derivable en dicho
       punto siendo    \( F'(c)=f(c) \).   En particular, si    \( f \)    es continua en    \( [a,b] \),    entonces    \( F \)   es derivable
       en    \( [a,b] \)    y    \( F'(x)=f(x) \)    para todo    \( x\in{[a,b]} \).

[cerrar]
aplicado al caso viene a decir "en el punto    \( 1\in{}[0,+\infty) \)    donde    \( f \)    es continua se verifica que    \( F \)    es derivable." Pero    \( f \)    no es continua en    \( x=1 \),    entonces se supone, aunque el teorema no diga nada al respecto, que    \( F \)    no es derivable en dicho punto.   

En el punto    \( x=0 \)    la función es considerada continua por el punto i) del teorema, luego debería ser derivable en él.

El punto i) del teorema afirma que la función integral es continua, no que lo sea la función integrando.  :banghead:

Aplicando la definición tampoco es derivable por que no existe el límite requerido. El límite debe ser único y está probado que el de la izquierda no coincide con el de la derecha.

La función    \( F_{\big|[0,1]} \),   la función    \( F \)    restringida al intervalo    \( [0,1] \)    si es derivable en    \( [0,1] \).

Creo que me estoy aclarando un poco. Ya dirán ustedes. Saludos y gracias.

CORREGIDO.

26 Agosto, 2020, 01:11 am
Respuesta #78

delmar

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Al obtener los límites se ve que son diferentes, es conveniente verificar.

Spoiler
\( 1\neq 3 \)
[cerrar]

En este caso, considerando que el dominio de F es todo R, todos los puntos de su dominio incluyendo a los que pertenecen a \( [0,1] \) son puntos interiores al dominio, en consecuencia la definición puesta es aplicable.

a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es.

Buscón esperamos tus ideas.


Saludos

Para verificar que son distintos. La ecuación    \( \displaystyle 2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \)    tiene por soluciones     \( x=\pm{1} \)    y     \( -1\not\in{[0,+\infty)} \).

El dominio de    \( F \)    no es todo    \( \mathbb{R} \)    el dominio de    \( F \)    está implícito en su definición    \( \displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \),   sería    \( [0,+\infty) \)

¿Es    \( F \)    derivable en    \( x=0 \)?

Saludos.

Claro el dominio de F esta implícito en su definición, es decir en \( F(x)=\int_{0}^{x}f(t) \ dt \) esto implica que por ejemplo \( -1\in{D(F)} \) la razón es que \( \exists{F(-1)}=\int_{0}^{-1}f(t) \ dt=-\int_{-1}^{0}(2-t) \ dt=-(2(1)-(-\frac{1}{2}))=- \ (\frac{5}{2}) \) es decir el dominio de F es R incluye a los negativos. Otra cosa diferente es que directamente se diga en el enunciado que el dominio de F es por ejemplo \( [a,b] \) o algo  por el estilo; pero por no estar en el enunciado esta aseveración se ha de considerar lo que implica su definición.

Saludos

Nota : Respecto a la diferencia de los límites laterales, lo mejor es hallarlos y se ve la diferencia.

26 Agosto, 2020, 03:39 am
Respuesta #79

Buscón

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Al obtener los límites se ve que son diferentes, es conveniente verificar.

Spoiler
\( 1\neq 3 \)
[cerrar]

En este caso, considerando que el dominio de F es todo R, todos los puntos de su dominio incluyendo a los que pertenecen a \( [0,1] \) son puntos interiores al dominio, en consecuencia la definición puesta es aplicable.

a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es.

Buscón esperamos tus ideas.


Saludos

Para verificar que son distintos. La ecuación    \( \displaystyle 2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \)    tiene por soluciones     \( x=\pm{1} \)    y     \( -1\not\in{[0,+\infty)} \).

El dominio de    \( F \)    no es todo    \( \mathbb{R} \)    el dominio de    \( F \)    está implícito en su definición    \( \displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \),   sería    \( [0,+\infty) \)

¿Es    \( F \)    derivable en    \( x=0 \)?

Saludos.

Claro el dominio de F esta implícito en su definición, es decir en \( F(x)=\int_{0}^{x}f(t) \ dt \) esto implica que por ejemplo \( -1\in{D(F)} \) la razón es que \( \exists{F(-1)}=\int_{0}^{-1}f(t) \ dt=-\int_{-1}^{0}(2-t) \ dt=-(2(1)-(-\frac{1}{2}))=- \ (\frac{5}{2}) \) es decir el dominio de F es R incluye a los negativos. Otra cosa diferente es que directamente se diga en el enunciado que el dominio de F es por ejemplo \( [a,b] \) o algo  por el estilo; pero por no estar en el enunciado esta aseveración se ha de considerar lo que implica su definición.

Ahi va! Pues también llevas razón. Gracias. Suerte que para el caso que nos ocupa no cambia básicamente nada. La    \( \displaystyle\int_{-\infty0}^{1}f(t)\cdot{dt} \)    se puede tomar como     \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\cdot{dt} \)    sin que influya en los conceptos que se están debatiendo. Pero que conste que llevas razón.

Lo que si que tendré que corregir es el hilo correspondiente. 

Nota : Respecto a la diferencia de los límites laterales, lo mejor es hallarlos y se ve la diferencia.

Por la izquierda    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}}=2-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=0 \),

por la derecha    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x>1}{2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2}}=2+\frac{1}{2}-\frac{5}{2}=0 \).

:o :o :o

Al cambiar los intervalos de integración cambia el valor de las integrales.

\( \displaystyle f(x)=\begin{cases}2-x,&\textrm{ si }x\leq{1};\\\\2+x,&\textrm{ si }x>1.\end{cases}\Rightarrow{F(x)=\begin{cases}\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{}\int_{1}^{x}f(t)\cdot{dt}=\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{} -\int_{x}^{1}2-t\cdot{dt}=\lim_{x \to{-}\infty}{}-2t\bigg|_x^1+\frac{t^2}{2}\bigg|_x^1=\lim_{x \to{-}\infty}{}\frac{-x^2-1}{2},&\textrm{ si }x\leq{1}\\\\\\\displaystyle\int_{1}^{x}f(t)\cdot{dt}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\int_{1}^{x}2+t\cdot{dt}=\lim_{x \to{+}\infty}{}2t\bigg|_1^x+\frac{t^2}{2}\bigg|_1^x=\lim_{x \to{+}\infty}{}\frac{4x-x^2-3}{2},&\textrm{ si }x>1\end{cases}} \)

Ahora para la derivada, los límites laterales son

Por la izquierda    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{\frac{-x^2-1}{2}-\frac{-1-1}{2}}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{1-x^2}{2x-2}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{-2x}{2}}=-1 \),     y

por la derecha    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\displaystyle\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{\frac{4x-x^2-3}{2}-\frac{-1-1}{2}}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{4x-x^2-1}{2x-2}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{-2x+4}{2}}=1 \),

que es obvio que no coinciden.