Autor Tema: ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

03 Noviembre, 2019, 11:48 am
Respuesta #40

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,047
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Matemáticamente, si una función es continua, o continua y derivable hasta el infinito, pero la tienes definida en un intervalo [a,b], puedes considerarla en un intervalo más largo y seguirá siendo continua o continua y derivable, no va a cambiar por eso; lo cual es evidente.

Esto es una imprecisión y de hecho no tiene demasiado sentido.

El dominio de una función es parte de la definición de la función.

Si yo defino:

\( f:[0,4]\to \Bbb R,\qquad f(x)=x^2 \)

es una función distinta de:

\( g:\Bbb R \to \Bbb R,\qquad g(x)=x^2 \)

Entonces sobre \( f \) simplemente no tiene sentido plantearse que ocurre fuera de \( [0,4] \).

Saludos.


03 Noviembre, 2019, 12:04 pm
Respuesta #41

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,076
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.
Hola

Matemáticamente, si una función es continua, o continua y derivable hasta el infinito, pero la tienes definida en un intervalo [a,b], puedes considerarla en un intervalo más largo y seguirá siendo continua o continua y derivable, no va a cambiar por eso; lo cual es evidente.

Esto es una imprecisión y de hecho no tiene demasiado sentido.

El dominio de una función es parte de la definición de la función.

Si yo defino:

\( f:[0,4]\to \Bbb R,\qquad f(x)=x^2 \)

es una función distinta de:

\( g:\Bbb R \to \Bbb R,\qquad g(x)=x^2 \)

Entonces sobre \( f \) simplemente no tiene sentido plantearse que ocurre fuera de \( [0,4] \).

Saludos.



Sí, de acuerdo, he sido impreciso y además se puede entender que he contradicho lo que he dicho antes de eso. En definitiva, si es un trozo es un trozo y no toda la función.

Muchas gracias, Luis.

Saludos.

03 Noviembre, 2019, 12:13 pm
Respuesta #42

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,047
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Sí, de acuerdo, he sido impreciso y además se puede entender que he contradicho lo que he dicho antes de eso. En definitiva, si es un trozo es un trozo y no toda la función.

Es curioso, porque en este hilo no me hubiese a metido a matizar muchas cosas que son sutilezas que no considero muy relevantes, si no fuese porque entras tu y las matizas... ¡pero en mi opinión mal!.  :D

La filosofía de lo que he dicho antes es justo la contraria a lo que marco en rojo y que dices tu.

La función:

\( f:[0,4]\to \Bbb R,\qquad f(x)=x^2 \)

No es ningún trozo de una función; no hay porque "pensarla" como trozo de nada; es una función con todas las de la ley.

Y fíjate que yo entiendo en el sentido que dices que es un trozo (porque estamos pensando en que las funciones tienen que estar definidas en todos los reales) y digamos que si se dijese de pasada no le daría importancia; pero precisamente si se entra a matizar ese aspecto, pues hay que hacerlo bien.

Saludos.

03 Noviembre, 2019, 12:17 pm
Respuesta #43

feriva

  • Matemático
  • Mensajes: 9,076
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
  • No soy matemático, eso es una etiqueta.

Es curioso, porque en este hilo no me hubiese a metido a matizar muchas cosas que son sutilezas que no considero muy relevantes, si no fuese porque entras tu y las matizas... ¡pero en mi opinión mal!.  :D

La filosofía de lo que he dicho antes es justo la contraria a lo que marco en rojo y que dices tu.

La función:

\( f:[0,4]\to \Bbb R,\qquad f(x)=x^2 \)

No es ningún trozo de una función; no hay porque "pensarla" como trozo de nada; es una función con todas las de la ley.

Y fíjate que yo entiendo en el sentido que dices que es un trozo (porque estamos pensando en que las funciones tienen que estar definidas en todos los reales) y digamos que si se dijese de pasada no le daría importancia; pero precisamente si se entra a matizar ese aspecto, pues hay que hacerlo bien.

Saludos.

Ah, sí, claro, el dominio de una función no tiene por qué llegar al infinito para ser una función por sí misma, había un matiz ahí, tienes razón (y cuándo no la tienes :) )

Saludos.

10 Noviembre, 2019, 11:01 am
Respuesta #44

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Quizás considerar la función    \( f:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=|x| \)    arroje un poco de luz sobre el tema.


La función es continua en    \( x=0 \)    pero no existe    \( f'(0) \).    La función no es derivable en    \( [0,1] \)    pero si lo es en    \( (0,1) \).

EDITADO

La derivada de la función en    \( x=0 \)    se define como

\( f'(0)=\displaystyle\lim_{h\to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\displaystyle\frac{f(h)}{h}=\displaystyle\frac{|h|}{h}=-1 \)

\( f'(0)=\displaystyle\lim_{h\to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\displaystyle\frac{f(h)}{h}=\displaystyle\frac{|h|}{h}=1 \),

que es un absurdo.


Por otra parte, la función    \( f \)    no es derivable ni en    \( [-1,1] \)    ni en   \( (-1,1) \)    por que al estudiar su derivabilidad en    \( x=0 \)    debe ser

\( \displaystyle\lim_{h\to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h\to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}} \),

esto es, hay que estudiar ese límite por la derecha y por la izquierda del cero para poder asegurar que es derivable en cero.

En definitiva, tal y como está definida la derivada de una función en un punto, siempre se necesita considerar como se aproxima la función por la derecha y por la izquierda al punto para poder asegurar si es o no es derivable en dicho punto. En los puntos extremos, (intervalos cerrados), esto no es posible.

¿Quizás si no existiesen las funciones con "picos" se podría considerar la derivabilidad en cerrados?


Saludos.

10 Noviembre, 2019, 04:15 pm
Respuesta #45

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
No tiene mucho sentido considerar la derivabilidad de la función valor absoluto en    \( [0,1] \).

Considerando sólo la aproximación por la derecha en cero, es posible probar que es derivable en    \( [0,1] \)    cuando no lo es en    \( (-1,1) \)    por no serlo en    \( x=0 \).    Es un poco contradictorio.

Cualquier función con picos podría plantear el mismo problema.

Saludos.

10 Noviembre, 2019, 06:59 pm
Respuesta #46

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,877
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Pero si tienes un intervalo \( [a,b] \) depende del teorema que quieras demostrar si que se puede definir la derivada derecha en \( a \).
Por ejemplo para el teorema del valor medio , se pide derivada en \( (a,b) \) y continuidad en \( [a,b] \).
Para el teorema de Darboux (para derivadas) se pide derivada finita en \( [a,b] \).
Con tu ejemplo, la función valor absoluto se puede aplicar el teorema del valor medio en \( [0,1] \).

10 Noviembre, 2019, 07:21 pm
Respuesta #47

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Pero si tienes un intervalo \( [a,b] \) depende del teorema que quieras demostrar si que se puede definir la derivada derecha en \( a \).
Por ejemplo para el teorema del valor medio , se pide derivada en \( (a,b) \) y continuidad en \( [a,b] \).
Para el teorema de Darboux (para derivadas) se pide derivada finita en \( [a,b] \).
Con tu ejemplo, la función valor absoluto se puede aplicar el teorema del valor medio en \( [0,1] \).

No entiendo.

¿Es derivable en todo punto la función    \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \)     dada por     \( f(x)=|x| \)?

10 Noviembre, 2019, 07:52 pm
Respuesta #48

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,877
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Pero aplico el teorema del valor medio al intervalo \( [0,1] \), es evidente que la función \( f(x) = |x|  \) no es derivable en \( \mathbb{R} \).

10 Noviembre, 2019, 08:03 pm
Respuesta #49

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Pero aplico el teorema del valor medio al intervalo \( [0,1] \), es evidente que la función \( f(x) = |x|  \) no es derivable en \( \mathbb{R} \).

¿Y por qué no lo es?

10 Noviembre, 2019, 08:13 pm
Respuesta #50

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,877
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Pero si lo demuestras en tu propia respuesta número 44, tiene diferentes derivadas laterales en cero.

10 Noviembre, 2019, 08:33 pm
Respuesta #51

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Pero si lo demuestras en tu propia respuesta número 44, tiene diferentes derivadas laterales en cero.

Efectivamente. No es derivable en    \( x=0 \)    porque no existe    \( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}} \).

Entonces creo que estamos de acuerdo en que la función valor absoluto no es derivable en    \( x=0 \).

Ahora: ¿La función    \( g:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( g(x)=|x| \)    es derivable en todo punto? En particular, ¿es derivable en    \( x=0 \)?

??? ??? ???

EDITADO.

La función    \( g \)    es la función    \( f \)    restringida al intervalo    \( [0,1] \).


Saludos y gracias.

10 Noviembre, 2019, 08:50 pm
Respuesta #52

Juan Pablo Sancho

  • Moderador Global
  • Mensajes: 4,877
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Si en general el caso del punto \( a \) se denomina derivada derecha o derivada lateral derecha  y se define:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}  \)
Para \( b \) se tiene \( \displaystyle \lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(b+h)-f(b)}{h}  \) derivada izquierda en \( b \)

Editado

La función    \( g \)    es la función    \( f \)    restringida al intervalo    \( [0,1] \).

Saludos y gracias.

Mira las otras respuestas, Luis lo explicó unas cuantas veces.

10 Noviembre, 2019, 08:56 pm
Respuesta #53

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Si en general el caso del punto \( a \) se denomina derivada derecha o derivada lateral derecha  y se define:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}  \)
Para \( b \) se tiene \( \displaystyle \lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(b+h)-f(b)}{h}  \) derivada izquierda en \( b \)

Editado

La función    \( g \)    es la función    \( f \)    restringida al intervalo    \( [0,1] \).

Saludos y gracias.

Mira las otras respuestas, Luis lo explicó unas cuantas veces.

Pero entonces se puede llegar a la conclusión de que la función valor absoluto no es derivable en    \( x=0 \)    y es derivable en    \( x=0 \).    Es absurdo.

10 Noviembre, 2019, 08:59 pm
Respuesta #54

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Mira las otras respuestas, Luis lo explicó unas cuantas veces.

Ya, considerando que    \( g \)    es    \( g \)    y    \( f \)    es    \( f \).     Pero sigue sin estar claro.

10 Noviembre, 2019, 09:08 pm
Respuesta #55

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,989
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Pero entonces se puede llegar a la conclusión de que la función valor absoluto no es derivable en    \( x=0 \)    y es derivable en    \( x=0 \).    Es absurdo.

Pero una función consta de tres partes: dominio, codominio y regla de correspondencia o fórmula (la gran mayoría).

Si no especificás las dos primeras es como que yo diga que la función \( f(x)=x^2 \) es biyectiva. ¿Lo es? Pues no lo sabremos hasta que el dominio y codominio queden absolutamente determinados (sea que lo digamos de forma implícita o explícita).

Saludos

12 Noviembre, 2019, 10:05 am
Respuesta #56

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Pero entonces se puede llegar a la conclusión de que la función valor absoluto no es derivable en    \( x=0 \)    y es derivable en    \( x=0 \).    Es absurdo.

Pero una función consta de tres partes: dominio, codominio y regla de correspondencia o fórmula (la gran mayoría).

Si no especificás las dos primeras es como que yo diga que la función \( f(x)=x^2 \) es biyectiva. ¿Lo es? Pues no lo sabremos hasta que el dominio y codominio queden absolutamente determinados (sea que lo digamos de forma implícita o explícita).

Saludos

Pero el ejemplo que pones no se ajusta al problema. El cero es común al dominio de     \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \)     y al dominio de    \( g:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dadas por    \( f(x)=g(x)=|x| \),    (la expresión es también común a ambas funciones).

El punto    \( x=1 \)    no presenta ese problema.

Es un poco "raro" que la derivabilidad de una función en un punto dependa del dominio considerado. 

Que la biyectividad dependa del dominio no "chirría" si se elige un ejemplo más ajustado al problema:

Tanto la función    \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \)    como la función    \( g:[-1,+\infty)\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dadas por     \( f(x)=x^2 \)    verifican que    \( f(x)=g(x)=f(-x)=g(-x) \)    para todo    \( x\in{[0,1]} \),    esto es, ninguna de ellas, restringidas al intervalo    \( [-1,1] \)    (intervalo común al dominio de ambas), son biyectivas y ambas lo son si se restringen al intervalo    \( [0,1] \)    (intervalo también común a sus dominios).

Dicho de otra manera ¿Podrías encontrar un ejemplo en el que dos funciones con la misma expresión sean, una biyectiva y la otra no en un dominio común?

Saludos.

EDITADO.

El caso es que efectivamente como apunta Juan Pablo Sancho, se definen también las derivadas laterales.

¿Como resolver la paradoja?

Dada la función    \( f:[-1,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    determinada por    \( f(x)=|x| \)    resulta que:

   - La derivada lateral derecha de    \( f \)    en    \( x=0 \)    es    \( f'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=1 \)

   - La derivada lateral izquierda de    \( f \)    en    \( x=0 \)    es    \( f'(0)=\displaystyle\lim_{h \to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=-1 \)

   - \( f \)    no es derivable en    \( x=0 \).


??? ??? ???

12 Noviembre, 2019, 11:51 am
Respuesta #57

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Después de leer y releer el hilo estoy de acuerdo con Luis Fuentes y Argentinator en que el motivo principal es que no es necesaria la derivabilidad en los extremos.

Un pequeño matiz.

Derivable en     \( [a,b] \)    es absurdo. En los extremos sólo se puede hablar de derivabilidad lateral. Se debe considerar que derivabilidad y derivabilidad lateral son dos conceptos distintos. Esto resuelve la paradoja.

No tiene mucho sentido complicarse en algo así como "continua en    \( [a,b] \)     derivable en    \( (a,b) \)   y derivable lateralmente en   \( \{a,b\} \)."

Saludos. 

12 Noviembre, 2019, 12:51 pm
Respuesta #58

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,047
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Derivable en     \( [a,b] \)    es absurdo. En los extremos sólo se puede hablar de derivabilidad lateral. Se debe considerar que derivabilidad y derivabilidad lateral son dos conceptos distintos.

No tienen porque ser conceptos distintos; o en todo caso también considerarás distinto considerar la continuidad en \( a \) respecto a considerar la continuidad en un un punto interior.

Dada una función\(  f:A\to \Bbb{R} \) y un punto de acumulación de \( A \), \( a\in A \) el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to a}{}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \)

está perfectamente definido y uno puede decir que la función es derivable si ese límite existe; y llamar derivada al valor del límite. Y eso es válido independientemente de si el punto es interior o está en el extremo del intervalo.

Citar
Esto resuelve la paradoja.

¿Qué paradoja? ¿Desde cuando ha habido paradoja alguna en este hilo?.

Citar
No tiene mucho sentido complicarse en algo así como "continua en    \( [a,b] \)     derivable en    \( (a,b) \)   y derivable lateralmente en   \( \{a,b\} \)."

Insisto en que no habría porque hablar de "lateralidad" igual que no se habla de continua lateralmente.

Saludos.

P.D. Hay algún motivo porque el que si conviene definir la derivabilidad sólo en puntos interiores del dominio. Pero no son ninguno de los que se han citado aquí. Sería otra historia.

13 Noviembre, 2019, 01:19 am
Respuesta #59

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,989
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Luis

P.D. Hay algún motivo porque el que si conviene definir la derivabilidad sólo en puntos interiores del dominio. Pero no son ninguno de los que se han citado aquí. Sería otra historia.

Yo creo que deberías de mencionarlo. ¡Es justo lo que busca Buscón!

Saludos