Autor Tema: ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?

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03 Noviembre, 2019, 11:48 am
Respuesta #40

Luis Fuentes

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Hola

Matemáticamente, si una función es continua, o continua y derivable hasta el infinito, pero la tienes definida en un intervalo [a,b], puedes considerarla en un intervalo más largo y seguirá siendo continua o continua y derivable, no va a cambiar por eso; lo cual es evidente.

Esto es una imprecisión y de hecho no tiene demasiado sentido.

El dominio de una función es parte de la definición de la función.

Si yo defino:

\( f:[0,4]\to \Bbb R,\qquad f(x)=x^2 \)

es una función distinta de:

\( g:\Bbb R \to \Bbb R,\qquad g(x)=x^2 \)

Entonces sobre \( f \) simplemente no tiene sentido plantearse que ocurre fuera de \( [0,4] \).

Saludos.


03 Noviembre, 2019, 12:04 pm
Respuesta #41

feriva

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Hola

Matemáticamente, si una función es continua, o continua y derivable hasta el infinito, pero la tienes definida en un intervalo [a,b], puedes considerarla en un intervalo más largo y seguirá siendo continua o continua y derivable, no va a cambiar por eso; lo cual es evidente.

Esto es una imprecisión y de hecho no tiene demasiado sentido.

El dominio de una función es parte de la definición de la función.

Si yo defino:

\( f:[0,4]\to \Bbb R,\qquad f(x)=x^2 \)

es una función distinta de:

\( g:\Bbb R \to \Bbb R,\qquad g(x)=x^2 \)

Entonces sobre \( f \) simplemente no tiene sentido plantearse que ocurre fuera de \( [0,4] \).

Saludos.



Sí, de acuerdo, he sido impreciso y además se puede entender que he contradicho lo que he dicho antes de eso. En definitiva, si es un trozo es un trozo y no toda la función.

Muchas gracias, Luis.

Saludos.

03 Noviembre, 2019, 12:13 pm
Respuesta #42

Luis Fuentes

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Hola

Sí, de acuerdo, he sido impreciso y además se puede entender que he contradicho lo que he dicho antes de eso. En definitiva, si es un trozo es un trozo y no toda la función.

Es curioso, porque en este hilo no me hubiese a metido a matizar muchas cosas que son sutilezas que no considero muy relevantes, si no fuese porque entras tu y las matizas... ¡pero en mi opinión mal!.  :D

La filosofía de lo que he dicho antes es justo la contraria a lo que marco en rojo y que dices tu.

La función:

\( f:[0,4]\to \Bbb R,\qquad f(x)=x^2 \)

No es ningún trozo de una función; no hay porque "pensarla" como trozo de nada; es una función con todas las de la ley.

Y fíjate que yo entiendo en el sentido que dices que es un trozo (porque estamos pensando en que las funciones tienen que estar definidas en todos los reales) y digamos que si se dijese de pasada no le daría importancia; pero precisamente si se entra a matizar ese aspecto, pues hay que hacerlo bien.

Saludos.

03 Noviembre, 2019, 12:17 pm
Respuesta #43

feriva

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Es curioso, porque en este hilo no me hubiese a metido a matizar muchas cosas que son sutilezas que no considero muy relevantes, si no fuese porque entras tu y las matizas... ¡pero en mi opinión mal!.  :D

La filosofía de lo que he dicho antes es justo la contraria a lo que marco en rojo y que dices tu.

La función:

\( f:[0,4]\to \Bbb R,\qquad f(x)=x^2 \)

No es ningún trozo de una función; no hay porque "pensarla" como trozo de nada; es una función con todas las de la ley.

Y fíjate que yo entiendo en el sentido que dices que es un trozo (porque estamos pensando en que las funciones tienen que estar definidas en todos los reales) y digamos que si se dijese de pasada no le daría importancia; pero precisamente si se entra a matizar ese aspecto, pues hay que hacerlo bien.

Saludos.

Ah, sí, claro, el dominio de una función no tiene por qué llegar al infinito para ser una función por sí misma, había un matiz ahí, tienes razón (y cuándo no la tienes :) )

Saludos.

10 Noviembre, 2019, 11:01 am
Respuesta #44

Buscón

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Quizás considerar la función    \( f:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=|x| \)    arroje un poco de luz sobre el tema.


La función es continua en    \( x=0 \)    pero no existe    \( f'(0) \).    La función no es derivable en    \( [0,1] \)    pero si lo es en    \( (0,1) \).

EDITADO

La derivada de la función en    \( x=0 \)    se define como

\( f'(0)=\displaystyle\lim_{h\to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\displaystyle\frac{f(h)}{h}=\displaystyle\frac{|h|}{h}=-1 \)

\( f'(0)=\displaystyle\lim_{h\to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\displaystyle\frac{f(h)}{h}=\displaystyle\frac{|h|}{h}=1 \),

que es un absurdo.


Por otra parte, la función    \( f \)    no es derivable ni en    \( [-1,1] \)    ni en   \( (-1,1) \)    por que al estudiar su derivabilidad en    \( x=0 \)    debe ser

\( \displaystyle\lim_{h\to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\displaystyle\lim_{h\to{0}\\h>0}{\displaystyle\frac{f(0+h)-f(0)}{h}} \),

esto es, hay que estudiar ese límite por la derecha y por la izquierda del cero para poder asegurar que es derivable en cero.

En definitiva, tal y como está definida la derivada de una función en un punto, siempre se necesita considerar como se aproxima la función por la derecha y por la izquierda al punto para poder asegurar si es o no es derivable en dicho punto. En los puntos extremos, (intervalos cerrados), esto no es posible.

¿Quizás si no existiesen las funciones con "picos" se podría considerar la derivabilidad en cerrados?


Saludos.

10 Noviembre, 2019, 04:15 pm
Respuesta #45

Buscón

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No tiene mucho sentido considerar la derivabilidad de la función valor absoluto en    \( [0,1] \).

Considerando sólo la aproximación por la derecha en cero, es posible probar que es derivable en    \( [0,1] \)    cuando no lo es en    \( (-1,1) \)    por no serlo en    \( x=0 \).    Es un poco contradictorio.

Cualquier función con picos podría plantear el mismo problema.

Saludos.

10 Noviembre, 2019, 06:59 pm
Respuesta #46

Juan Pablo Sancho

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Pero si tienes un intervalo \( [a,b] \) depende del teorema que quieras demostrar si que se puede definir la derivada derecha en \( a \).
Por ejemplo para el teorema del valor medio , se pide derivada en \( (a,b) \) y continuidad en \( [a,b] \).
Para el teorema de Darboux (para derivadas) se pide derivada finita en \( [a,b] \).
Con tu ejemplo, la función valor absoluto se puede aplicar el teorema del valor medio en \( [0,1] \).

10 Noviembre, 2019, 07:21 pm
Respuesta #47

Buscón

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Pero si tienes un intervalo \( [a,b] \) depende del teorema que quieras demostrar si que se puede definir la derivada derecha en \( a \).
Por ejemplo para el teorema del valor medio , se pide derivada en \( (a,b) \) y continuidad en \( [a,b] \).
Para el teorema de Darboux (para derivadas) se pide derivada finita en \( [a,b] \).
Con tu ejemplo, la función valor absoluto se puede aplicar el teorema del valor medio en \( [0,1] \).

No entiendo.

¿Es derivable en todo punto la función    \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \)     dada por     \( f(x)=|x| \)?

10 Noviembre, 2019, 07:52 pm
Respuesta #48

Juan Pablo Sancho

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Pero aplico el teorema del valor medio al intervalo \( [0,1] \), es evidente que la función \( f(x) = |x|  \) no es derivable en \( \mathbb{R} \).

10 Noviembre, 2019, 08:03 pm
Respuesta #49

Buscón

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Pero aplico el teorema del valor medio al intervalo \( [0,1] \), es evidente que la función \( f(x) = |x|  \) no es derivable en \( \mathbb{R} \).

¿Y por qué no lo es?