Autor Tema: ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?

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31 Octubre, 2019, 01:11 pm
Respuesta #20

feriva

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Hola

Es verdad, Luis, he estado despistado todo el post por pensar sólo en los dibujos, quería decir eso mismo, lo que pasa es que lo “traducía al revés”. Claro, ocurre que esto (a,b) está dentro de esto [a,b] y no al contrario, por tanto, si la función es continua en [a,b], entonces es derivable en (a,b) logiquísimo. Con lo que basta exigir continuidad en [a,b] para que sea derivable en (a,b); que, ahora que me fijo, es lo que se pregunta en la entrada principal del post y es lo que me habías señalado que había dicho Argentinator; y yo venga y venga a verlo al revés. Ahora editaré.

No se muy bien que has querido decir ahí, pero no es cierto que si una función es continua en \( [a,b] \) necesariamente sea derivable en \( (a,b). \)

Saludos.

En efecto, mal dicho otra vez por mi parte, porque puede que entremedias del intervalo la curva se quiebre en un pico sin perder la continuidad. Tiene que ser continua a los dos lados cerca del punto, no en todo el intervalo. Tiene que ser derivable en el punto y ya está, las palabras no llegan para decirlo de otra manera.


Gracias, Luis.

31 Octubre, 2019, 02:15 pm
Respuesta #21

feriva

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Hola, Luis, ya he editado, pero resumo para ver si consigo decir bien las cosas de una vez.

La pregunta principal del hilo es

Citar
En todos los teoremas de cálculo que he visto, siempre dicen: f(x) continua en [a,b] y derivable en (a,b). Mi pregunta es: ¿por qué cuando expresamos derivabilidad en ese intervalo, lo escribimos como intervalo abierto y no cerrado?

Y después de todo lo visto, entiendo que la cuestión sería más bien cambiando las cosas de sitio; una cosa así: “f(x) derivable en (a,b) exige -o quizá implica- continuidad en [a,b]”.

Es decir, salvado mi último despiste, continua en [a,b], en efecto, no implica que sea derivable en (a,b). Sin embargo, si la función es derivable, primeramente y por definición, en (a,b), entonces ahí sí que los puntos “a” y “b” requieren ir un poco más allá y necesitamos expresar la continuidad en [a,b].

¿Veo algo al revés todavía o ya está al derecho?

Saludos.

31 Octubre, 2019, 05:21 pm
Respuesta #22

Luis Fuentes

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Hola

Y después de todo lo visto, entiendo que la cuestión sería más bien cambiando las cosas de sitio; una cosa así: “f(x) derivable en (a,b) exige -o quizá implica- continuidad en [a,b]”.

Es decir, salvado mi último despiste, continua en [a,b], en efecto, no implica que sea derivable en (a,b). Sin embargo, si la función es derivable, primeramente y por definición, en (a,b), entonces ahí sí que los puntos “a” y “b” requieren ir un poco más allá y necesitamos expresar la continuidad en [a,b].

Pues no. Derivable en \( (a,b) \) implica continua en \( (a,b) \); pero no tiene porque ser continua en los extremos \( a \) y \( b \).

Saludos.

31 Octubre, 2019, 05:44 pm
Respuesta #23

Masacroso

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Me sumo a las opiniones de Luis y Fernando, es decir, se puede definir perfectamente la derivada en cualquier punto límite de un conjunto. Yo creo que toman el intervalo abierto por simplificar el trabajo, quizá haya casos particulares, si añadimos las derivadas de todos los puntos límites, que compliquen algunos teoremas.

No he leído hasta ahora ninguna respuesta satisfactoria a este tema, ni buscando en MSE. Todas las respuestas que se dan suelen ser bastante flojas.

Empiezo a sospechar que no hay un fundamento real, que es más bien una costumbre.

31 Octubre, 2019, 07:17 pm
Respuesta #24

feriva

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Hola

Y después de todo lo visto, entiendo que la cuestión sería más bien cambiando las cosas de sitio; una cosa así: “f(x) derivable en (a,b) exige -o quizá implica- continuidad en [a,b]”.

Es decir, salvado mi último despiste, continua en [a,b], en efecto, no implica que sea derivable en (a,b). Sin embargo, si la función es derivable, primeramente y por definición, en (a,b), entonces ahí sí que los puntos “a” y “b” requieren ir un poco más allá y necesitamos expresar la continuidad en [a,b].

Pues no. Derivable en \( (a,b) \) implica continua en \( (a,b) \); pero no tiene porque ser continua en los extremos \( a \) y \( b \).

Saludos.

Ya he vuelto a escribir lo que no quería, sí. Lo digo entonces con un ejemplo:

Con naturales (aunque no sea el caso) si el intervalo es derivable en (3,8) el conjunto de puntos sería {4,5,6,7}; así, por ejemplo, figuradamente, si apoyamos una varilla sobre el 5, tiene al lado el 4 y al otro lado el 6 para que fijen su dirección sin que pueda “balancearse”. Pero no ocurre en el caso del 4 y el 7, donde la dirección de la varilla no se fija por uno de los lados, entonces esa función derivable requiere “vivir” en este conjunto {3,4,5,6,7,8} como hábitat necesario, conjunto que se representa así [3,8].

Al pensar en un intervalo en el caso de verdad, con números reales, surge una segunda cuestión, en la que yo en realidad no había entrado a valorar nada (lo que pasaba era eso de verlo al revés) pero que, sin quererlo, ha dado lugar a un debate, que es lo que mencionas tú, Fernando y Masacroso; que creo, si estoy entendiendo bien, que trata de la cuestión de si hace falta tomar exactamente [3,8] (siguiendo con los mismos números) o valdría tomar algo así como (editado) \( [4-\varepsilon_{1}\,,\,7+\epsilon_{2}]
  \), por expresarlo de alguna manera. Si es esto lo que se entendía al principio de lo que yo dije, no opino nada, no sé cuánto es necesario; es necesario algo más allá de los extremos, eso sí lo he dicho (en el ejemplo los "extremos" a los que me refiero no llegarían a 3 y 8, o sea, 3 y 8 ya sería más allá de los puntos que digo; claro, ahora tengo que decirlo así, no tengo más remedio, pero esto viene de la confusión inicial viéndolo al revés, donde si podía decir extremos)

Releyendo, creo que estoy de acuerdo con todos, el "más allá" que decís me parece que no es el que os he entendido, porque no puede ser.

Como los intervalos encajan así [(a,b)] es necesario llegar hasta el corchete por lo menos, pues de lo contrario, no sería derivable en todo (a,b). Y, a partir de ahí quizá, se pueda tomar un poquito más (esto sí creo que es lo que decíais) pero no es necesario y, además, no hay seguridad de que no se corte la función más adelante, habría que tener cuidado en cuánto más allá se toma.

Pero yo, como ya he dicho, al principio, en mi obnubilación, lo había imaginado con los intervalos encajados así ([a,b]), con lo que si intentaba derivar en “a” necesitaba salirme del corchete por la izquierda necesariamente; había metido los extremos dentro de la zona derivable y de ahí que dijera que requería ir “más allá”. Y, así, nadie me podía entender ni yo podía entender a nadie.

Si la confusión principal no fuera ésta, tendría que ser algo más abstracto que se me escapa ahora mismo, no me imagino qué; creo que simplemente era esto.


Ahora sí que presiento que se me va a entender, otra cosa será si hay algo mal...

Entonces, ¿sería más menos esta idea?

Muchas gracias otra vez, Luis.

Saludos.

31 Octubre, 2019, 08:00 pm
Respuesta #25

Fernando Revilla

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Creo que el convenio usual de elegir como dominio de definición un intervalo está relacionado con que las curvas (por ejemplo en \( \mathbb{R}^2 \)) usualmente se definen como la imagen geométrica de funciones \( y=f(x) \) (con determinadas condiciones) cuyo dominio de definición es un intervalo y así transportar geométricamente el concepto de derivabilidad al de recta tangente. Ahora bien de forma más general podemos definir curva en dominios más allá que los intervalos. En fin, el debate es por supuesto de usos y costumbres más que conceptual.

01 Noviembre, 2019, 12:49 pm
Respuesta #26

Luis Fuentes

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Hola

Con naturales (aunque no sea el caso) si el intervalo es derivable en (3,8) el conjunto de puntos sería {4,5,6,7}; así, por ejemplo, figuradamente, si apoyamos una varilla sobre el 5, tiene al lado el 4 y al otro lado el 6 para que fijen su dirección sin que pueda “balancearse”. Pero no ocurre en el caso del 4 y el 7, donde la dirección de la varilla no se fija por uno de los lados, entonces esa función derivable requiere “vivir” en este conjunto {3,4,5,6,7,8} como hábitat necesario, conjunto que se representa así [3,8].

Al pensar en un intervalo en el caso de verdad, con números reales, surge una segunda cuestión, en la que yo en realidad no había entrado a valorar nada (lo que pasaba era eso de verlo al revés) pero que, sin quererlo, ha dado lugar a un debate, que es lo que mencionas tú, Fernando y Masacroso; que creo, si estoy entendiendo bien, que trata de la cuestión de si hace falta tomar exactamente [3,8] (siguiendo con los mismos números) o valdría tomar algo así como (editado) \( [4-\varepsilon_{1}\,,\,7+\epsilon_{2}]
  \), por expresarlo de alguna manera. Si es esto lo que se entendía al principio de lo que yo dije, no opino nada, no sé cuánto es necesario; es necesario algo más allá de los extremos, eso sí lo he dicho (en el ejemplo los "extremos" a los que me refiero no llegarían a 3 y 8, o sea, 3 y 8 ya sería más allá de los puntos que digo; claro, ahora tengo que decirlo así, no tengo más remedio, pero esto viene de la confusión inicial viéndolo al revés, donde si podía decir extremos)

Releyendo, creo que estoy de acuerdo con todos, el "más allá" que decís me parece que no es el que os he entendido, porque no puede ser.

Como los intervalos encajan así [(a,b)] es necesario llegar hasta el corchete por lo menos, pues de lo contrario, no sería derivable en todo (a,b). Y, a partir de ahí quizá, se pueda tomar un poquito más (esto sí creo que es lo que decíais) pero no es necesario y, además, no hay seguridad de que no se corte la función más adelante, habría que tener cuidado en cuánto más allá se toma.

Pero yo, como ya he dicho, al principio, en mi obnubilación, lo había imaginado con los intervalos encajados así ([a,b]), con lo que si intentaba derivar en “a” necesitaba salirme del corchete por la izquierda necesariamente; había metido los extremos dentro de la zona derivable y de ahí que dijera que requería ir “más allá”. Y, así, nadie me podía entender ni yo podía entender a nadie.

Si la confusión principal no fuera ésta, tendría que ser algo más abstracto que se me escapa ahora mismo, no me imagino qué; creo que simplemente era esto.


Ahora sí que presiento que se me va a entender, otra cosa será si hay algo mal...

Entonces, ¿sería más menos esta idea?

Es que francamente a estas alturas no tengo ni idea de lo que quieres decir con todo eso.

Saludos.

01 Noviembre, 2019, 01:30 pm
Respuesta #27

feriva

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Es que francamente a estas alturas no tengo ni idea de lo que quieres decir con todo eso.

Muchas gracias, Luis.

Pues no sé explicarlo de manera rigurosa, lo único que puedo hacer es sintetizarlo con unas afirmaciones y después tú me pides explicaciones si algo no fuera cierto o dudoso:

En resumen, que se considera una función derivable en todos los puntos de (a,b).

Que los puntos donde ya no hay seguridad en la derivabilidad son “a,b”, por estar fuera del intervalo.

Que antes de estos puntos, en (a,b), no se puede definir esa falta de seguridad en ningún sitio, porque se tomen los puntos que se tomen dentro de (a,b), siempre hay otro más hacia el extremo y, por tanto, en todos se puede derivar.

Y que, dado que la función es derivable en todos los puntos de aquí dentro (a,b), entonces es necesario que la continuidad se prolongue hasta aquí [a,b], hasta los puntos donde se pierde la seguridad. Esto para mí es claro, pues, si no, podría existir discontinuidad dentro de (a,b), lo cual negaría la definición inicial de que se puede derivar en todos sus puntos.

Saludos.

01 Noviembre, 2019, 02:59 pm
Respuesta #28

geómetracat

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Si lo que afirmas es que toda función derivable en \( (a,b) \) debe ser contínua en \( \left[a,b\right] \), eso es falso. Puedes tomar por ejemplo \( f(x)=x \) para \( x \in (0,1) \) y \( f(0)=f(1)=3 \). En general, el comportamiento de una función en el abierto \( (a,b) \) no te dice nada sobre su comportamiento en los puntos extremos \( a,b \). Por eso en los teoremas típicos se exige explícitamente que la función sea contínua en el intervalo cerrado \( \left[a,b\right] \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Noviembre, 2019, 04:32 pm
Respuesta #29

feriva

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Si lo que afirmas es que toda función derivable en \( (a,b) \) debe ser contínua en \( \left[a,b\right] \), eso es falso. Puedes tomar por ejemplo \( f(x)=x \) para \( x \in (0,1) \) y \( f(0)=f(1)=3 \). En general, el comportamiento de una función en el abierto \( (a,b) \) no te dice nada sobre su comportamiento en los puntos extremos \( a,b \). Por eso en los teoremas típicos se exige explícitamente que la función sea contínua en el intervalo cerrado \( \left[a,b\right] \).

Claro, ahora veo, me había ido a pensar en la continuidad del dominio más que en el de la función.

Y ¿en cuanto a lo demás que digo puede valer más o menos?

Muchas gracias, Geómetracat.

01 Noviembre, 2019, 05:40 pm
Respuesta #30

geómetracat

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Pues sinceramente, es que no entiendo muy bien lo que dices o quieres decir.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Noviembre, 2019, 06:45 pm
Respuesta #31

Juan Pablo Sancho

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Más de lo mismo, al  tener derivabilidad en \( (a,b) \) y continuidad en \( [a,b] \) Tenemos que en \( a \) sólo se exige que :
\( \displaystyle f(a) = \lim_{h \to 0^+} f(a+h)  \) en contra si se exige derivabilidad en \( [a,b] \) se exige una condición más fuerte:
\( \displaystyle \lim_{h \to 0^+} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}  \) como dijo Argentinator en su primer mensaje al pedir una condición más fuerte en los extremos perdemos muchas funciones en la que se puede verificar el teorema.
Ejemplo (Para el teorema de Rolle):
\(  \displaystyle f(x) = x \cdot \sen(\dfrac{1}{x})  \) con \(  x \in ]0,\dfrac{1}{\pi}]  \) y \(  f(0)=0  \).
\( \displaystyle g(x) = \sqrt{1-x^2}  \) para \( x \in [-1,1]  \)

01 Noviembre, 2019, 07:08 pm
Respuesta #32

feriva

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Hola.

No os preocupéis, ya lo he visto claramente; como si no hubiera dicho nada en todo el post.

Gracias por la paciencia.

02 Noviembre, 2019, 04:55 am
Respuesta #33

Marcos Castillo

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Siguiendo esa lógica habría exactamente el mismo problema con la continuidad. Si uno tiene la función \( x^2 \) definida en \( [1,+\infty) \) uno puede extenderla a la izquierda con continuidad o sin continuidad. Un ejemplo de esto último sería:

\( f(x)=\begin{cases} -2& \text{si}& x<1\\x^2 & \text{si}& x>1\end{cases} \)

¿Impide eso hablar de continuidad de una función \( f:[a,b]\to \Bbb R \) en los extremos del intervalo?. No.


Hola Luis, ¿puedes explicarme esta cita?. No la entiendo, y me parece clave para yo entender lo incorrecto de mi anterior mensaje.
¡Un saludo!
No man is an island (John Donne)

02 Noviembre, 2019, 11:56 am
Respuesta #34

feriva

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Hola, Marcos, ya que, te veo por aquí, te cuento que me había hecho el firme propósito de reposar y no entrar a decir nada en el foro en unos días, porque este error me ha dejado tocado; no me refiero al de haber visto los intervalos encajados al revés.

Yo mismo advertí más de una vez a algunos usuarios que, cuando se trata de cosas del continuo, no se puede andar uno haciendo muchos dibujitos porque lleva a ver cosas que no son; no es lo mismo que en geometría o álgebra lineal, aquí los dibujos son muy engañosos.

El ejemplo que ponía con números naturales (aparte de los dibujos) me da vergüenza; y no vale que me autojustifique con que no soy matemático ni nada así, porque me sé lo que pasa desde hace muchos años y no debería tropezar en esto. No se puede representar este intervalo (a,b) trasladando la idea a números naturales porque ahí no hay un último número a ningún lado. Esto hace totalmente antintuitivo ver la continuidad de una manera física, como si los puntos fueran cosas. Considerando simplemente una recta en el dominio, sin entrar en la función, ya no existe ningún contacto entre “a” y el “primer” punto del intervalo (a,b); porque no hay “primer” punto en el paréntesis. Sin embargo, matemáticamente, en el caso de una recta, como la del eje X, por ejemplo, sí hay continuidad, no quedan “agujeros” que se dice. Pero si tomamos la otra coordenada, la imagen de los  equis puede cambiar de “altura” bruscamente independientemente de lo cerca o lejos que estén los valores “x” del dominio, aunque la distancia entre ellos sea prácticamente cero; porque el eje horizontal es independiente del vertical; la gráfica puede cortarse o no.

Así, no hace ninguna falta considerar el intervalo cerrado para que una cierta f(x) se puede derivar en todo (a,b); porque en las imágenes tampoco hay extremos, si es derivable, siempre existen los límites laterales para todos los puntos.

Ya te digo, ese error me ha deprimido,  con el resto de los despiste que cometo a diario no me pasa (son despistes tipo eso, ver un intervalo al revés, cambiar un número de sitio...)  en cambio, esto, ha sido olvidarme totalmente de un concepto fundamental; y encima perdurando más de un día en el error.

Saludos.

02 Noviembre, 2019, 03:14 pm
Respuesta #35

Luis Fuentes

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Hola


Siguiendo esa lógica habría exactamente el mismo problema con la continuidad. Si uno tiene la función \( x^2 \) definida en \( [1,+\infty) \) uno puede extenderla a la izquierda con continuidad o sin continuidad. Un ejemplo de esto último sería:

\( f(x)=\begin{cases} -2& \text{si}& x<1\\x^2 & \text{si}& x>1\end{cases} \)

¿Impide eso hablar de continuidad de una función \( f:[a,b]\to \Bbb R \) en los extremos del intervalo?. No.


Hola Luis, ¿puedes explicarme esta cita?. No la entiendo, y me parece clave para yo entender lo incorrecto de mi anterior mensaje.

Es bueno no olvidar el contexto de la cita. Tu dijiste esto (y feriva algo parecido):

Citar
El motivo es que si no conozco, por ejemplo, en el caso de \( x=a \) (análogamente por la derecha en \( x=b \)) el límite del cociente incremental a su izquierda, no sé si es derivable. Puede serlo, y puede no serlo. Pongamos
\( \begin{array}{rccc}f&:[1,+\infty)&\longrightarrow&\mathbf{R}\\&x&\mapsto&x^2\end{array} \).
Pongamos que a la izquierda de \( x=1 \) siga siendo \( f(x)=x^2 \). Entonces lo es en \( x=1 \). Pongamos sin embargo la función definida a trozos
\( f(x)=\begin{cases}{|x|}&\text{si}&-\infty<x<1\\x^2&\text{si}&1\leq{x}<+\infty\end{cases} \).
Entonces no lo es en \( x=1 \). En resumen, no sabemos si la función \( f(x)=x^2 \) es derivable en \( x=1 \), porque no tenemos información. Por eso debe ser derivable en \( (1,+\infty) \).

Es decir entiendo que afirmabas que el problema de hablar de diferenciabilidad en el extremo de un intervalo cerrado es problemático porque dependiendo de como prolonguemos la función a su izquierda la función podría ser o no derivable.

Yo lo que digo es que con ese mismo criterio habría exactamente el mismo problema con la continuidad en el extremos de un intervalo cerrado: dependiendo de como prolonguemos la función la izquierda la función podría ser o no continua.

Y sin embargo no véis ningún inconveniente en la continuidad pero si en la diferenciabilidad.

Mi opinión al respecto es que en realidad ninguno de los dos casos son problemáticos por ese motivo; no tiene sentido (en principio) especular sobre como está definida una función sobre puntos fuera de su dominio para establecer sus propiedades dentro de este.

Saludos.

02 Noviembre, 2019, 03:44 pm
Respuesta #36

Marcos Castillo

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¡Hola feriva!
Te ruego que no te tomes ningún reposo. Yo desde luego no lo deseo. Ahora que estoy a punto de terminar con el temario. Espera un poco. Me falta un pelín, y te dejo en paz. Necesito tu apoyo. Luego, como mucho tres meses, te dejo tranquilo. Palabra, ¡te lo juro!.
Un saludo
No man is an island (John Donne)

02 Noviembre, 2019, 03:53 pm
Respuesta #37

Marcos Castillo

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No man is an island (John Donne)

02 Noviembre, 2019, 05:07 pm
Respuesta #38

feriva

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¡Hola feriva!
Te ruego que no te tomes ningún reposo. Yo desde luego no lo deseo. Ahora que estoy a punto de terminar con el temario. Espera un poco. Me falta un pelín, y te dejo en paz. Necesito tu apoyo. Luego, como mucho tres meses, te dejo tranquilo. Palabra, ¡te lo juro!.
Un saludo

Muchas gracias por tu aprecio, Marcos. Pero si entiendo algo mal y no veo el error en varios días, y entre esos días te examinas, te hago la puñeta...

No obstante, venga, ya que estamos aquí.

Sobre la pregunta que le haces Luis, él dice que si tiene esta función \( f(x)=x^{2}
  \) en [a,b], como es continua en todos los reales, nada le impide extenderla a un intervalo más largo; y también derivarla en el punto que sea. Mientras que yo no la entendí como una función en sí, sino como la fórmula de un trozo de función, eso es lo que te entendí; son cosas distintas. Imagina que un físico esta siguiendo la trayectoria de un cuerpo, como pueda ser un platillo volante. A lo mejor hasta donde la has seguido ha descrito una parábola, pero después puede continuar en línea recta o desaparecer y aparecer en otro sitio; ahí no tienes seguridad. Sin embargo, también es verdad que en este caso no estamos haciendo una consideración puramente matemática. Matemáticamente, si una función es continua, o continua y derivable hasta el infinito, pero la tienes definida en un intervalo [a,b], puedes considerarla en un intervalo más largo y seguirá siendo continua o continua y derivable, no va a cambiar por eso; lo cual es evidente.

Saludos.

02 Noviembre, 2019, 05:31 pm
Respuesta #39

Marcos Castillo

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