Autor Tema: ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?

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10 Septiembre, 2020, 01:05 pm
Respuesta #120

Luis Fuentes

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Hola

Si. Queda mucho mejor y para el caso que ocupa es más adecuado. Pero no sé, no me convence. Eso no es otra cosa que aplicar el Teorema de Rolle. No es enunciar un teorema más extenso y probarlo.

Si, si es enunciar un teorema más extenso y probarlo. Y eso no es discutible. El Teorema modificado es mas extenso (en el sentido de que se puede aplicar a más funciones) que el de Rolle y te he indicado como demostrarlo.

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Por el camino que indicas la función que propones verifica el Teorema de Rolle sin tocarle ni un pelo al teorema. Incluso una función que no sea continua lo puede verificar sin tocarle ni un pelo.

Sea    \( f:[-1,1]\rightarrow{\mathbb{R}}( \)    dada por     \( f(x)=\begin{cases}\sen(x),&\textrm{si }x\neq \pi/4\\\\0,&\textrm{si }x=\pi/4\end{cases} \)

Sólo hay que definir la función    \( F(x)=f(x) \)    en    \( [0,\pi/4)\cup{(\pi/4,\pi]} \)    y    \( F(\pi/4)=\sen(\pi/4) \)    y comprobar que    \( F \)   verifica el Teorema de Rolle y por lo tanto...

No estoy seguro de que quieres decir con eso. Pero ojo con ese ejemplo. El problema es que si la función auxiliar \( F \) no coincide con \( f \) en el abierto \( (a,b) \) no podemos garantizar que \( F'(c)=0 \) implique \( f'(c)=0 \).

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Por ejemplo el Teorema del valor medio de Lagrange (que no deja de ser una generalización del Teorema de Rolle) se prueba normalmente construyendo una función auxiliar y aplicando sobre la misma el Teorema de Rolle.

No es lo mismo, se usa el teorema de Rolle y una función auxiliar para probar el Teorema del valor o medio, no para probar que la función auxiliar verifica el teorema de Rolle.

Con cosas como esta me siguen quedando dudas de que entiendas la demostración propuesta. Tanto en el Teorema del valor medio como en el Teorema modificado que propuse se construye una función auxilar, se prueba que esa función auxiliar cumple el Teorema de Rolle y de ahí se deduce que la función original cumple lo que afirmábamos. Así que...si.. es bastante parecido.

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¿Porqué en el teorema de Rolle se exige derivabilidad en    \( (a,b) \)    en vez de derivabilidad en    \( [a,b] \)?

Vaya por delante que en general no hay una razón 100% objetiva por el cuál tal o cual Teorema se enuncia con unas hipótesis o con otras. Como ocurre en este caso y en casi todos, una misma tesis puede conseguirse con diferentes hipótesis. Que se elijan unas hipótesis concretas para enunciar el resultado puede deberse a múltiples razones: históricas, elegancia del resultado, simplicidad de las mismas, ámbito de aplicación del resultado que permiten, en fin... La única premisa objetiva por supuesto es que las hipótesis elegidas hagan que el Teorema sea cierto.

1) Fundamentalmente: porque no es necesaria la deravilibidad en \( [a,b] \) para que se cumpla la tesis del Teorema.
2) Motivo muy menor y poco aplicable al caso del Tº de Rolle: Porque aunque se puede definir la derivabilidad en puntos extremos de un intervalo cerrado, el comportamiento de esa derivada por un lado sólo tiene ciertas particularidades que la diferencian de la derivada en un punto interior (se explico en el hilo tiempo atrás).No obstante eso no tendría trascendencia para el Teorema de Rolle.

Saludos.

10 Septiembre, 2020, 01:28 pm
Respuesta #121

Buscón

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1) Fundamentalmente: porque no es necesaria la deravilibidad en \( [a,b] \) para que se cumpla la tesis del Teorema.
2) Motivo muy menor y poco aplicable al caso del Tº de Rolle: Porque aunque se puede definir la derivabilidad en puntos extremos de un intervalo cerrado, el comportamiento de esa derivada por un lado sólo tiene ciertas particularidades que la diferencian de la derivada en un punto interior (se explico en el hilo tiempo atrás).No obstante eso no tendría trascendencia para el Teorema de Rolle.

¿Que abarque más no tiene nada que ver?

Si, gracias me has convencido, estoy de acuerdo en que la razón fundamental es que no hace falta. El teorema dice "Entonces existe un punto    \( c\in{(a,b)} \)...",    y no, "Entonces existe un punto    \( c\in{[a,b]} \)..."

Una vez aclarado esto, me imagino a Michel Rolle tomando la decisión, ¿derivable en el abierto, derivable en el cerrado?

10 Septiembre, 2020, 01:35 pm
Respuesta #122

Buscón

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Me sigue picando la curiosidad sobre el teorema de Rolle modificado que propusiste. ¿Como probar que una función    \( f \)    continua en un intervalo    \( (a,b) \),    verificando que existen     \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)} \)    y    \( \displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)} \)    alcanza máximo y mínimo absolutos en    \( (a,b) \)?

10 Septiembre, 2020, 01:44 pm
Respuesta #123

Juan Pablo Sancho

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Pero no tiene que abarcar el máximo y el mínimo, si tomas :
\( f(x) = x^2  \) para \( x \in ]-1,1[  \) y \( f(-1) = f(1) = \dfrac{1}{2}  \) esta función tiene mínimo, pero no tiene máximo.

10 Septiembre, 2020, 02:04 pm
Respuesta #124

Buscón

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Pero no tiene que abarcar el máximo y el mínimo, si tomas :
\( f(x) = x^2  \) para \( x \in ]-1,1[  \) y \( f(-1) = f(1) = \dfrac{1}{2}  \) esta función tiene mínimo, pero no tiene máximo.

Si, efectivamente, gracias. Entonces se puede relajar la condición.
¿Como probar que una función    \( f \)    continua en un intervalo    \( (a,b) \),    verificando que existen     \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)} \)    y    \( \displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)} \)    alcanza un extremo absoluto en    \( (a,b) \)?

EDITADO.

¿Quizás incluso se podría relajar aún más a extremo relativo?

10 Septiembre, 2020, 02:12 pm
Respuesta #125

Juan Pablo Sancho

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Pero esta resuelto, está probado que existe \( c \in (a,b)  \) con \(  f'(c) = 0 \) y este \( c  \) proviene al aplicar la demostración usual del teorema de Rolle al caso que pone Luis y este a su vez en su demostración viene por ser derivable y abarcar un máximo o mínimo en el interior.

10 Septiembre, 2020, 02:25 pm
Respuesta #126

Buscón

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Pero esta resuelto, está probado que existe \( c \in (a,b)  \) con \(  f'(c) = 0 \) y este \( c  \) proviene al aplicar la demostración usual del teorema de Rolle al caso que pone Luis y este a su vez en su demostración viene por ser derivable y abarcar un máximo o mínimo en el interior.

Si, está resuelto, Luis probó el teorema de Rolle utilizando el teorema de Rolle. Se trata de probarlo sin utilizar el Teorema de Rolle.

Ahora no se trata de probar que la función    \( f(x) = x^2  \) para \( x \in ]-1,1[  \) y \( f(-1) = f(1) = \dfrac{1}{2}  \)    verifica el teorema de Rolle. Ahora se trata de demostrar el

Teorema de Rolle modificado

Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función continua en    \( (a,b) \),    derivable en    \( (a,b) \)    y verificando que    \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)}=L \).    Entonces existe algún punto    \( c\in{(a,b)} \)    tal que    \( f'(c)=0. \)



10 Septiembre, 2020, 02:30 pm
Respuesta #127

Juan Pablo Sancho

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Pero lo que pongo es que se usa exactamente la misma demostración que en el teorema de Rolle al redefinir la función en dos puntos.

10 Septiembre, 2020, 02:57 pm
Respuesta #128

Buscón

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Teorema de Rolle superextendido.

Sea    \( f:A\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función cualquiera verificando que existen    \( u,v\in{A},\;\;\; (u<v) \)    donde    \( f \)    es continua en    \( [u,v]\subset{A} \),    derivable en    \( (u,v) \)    y tiene un extremo relativo en    \( [u,v] \).
Entonces existe    \( c\in{A} \)    tal que    \( f'(c)=0 \).



Demostración.
Basta aplicar el Teorema de Rolle al intervalo    \( [u,v] \).

Esto es, basta que una función tenga un extremo relativo en un subintervalo donde sea continua y derivable para asegurar que existe    \( c\in{A} \)    verificando    \( f'(c)=0 \).

Como estrategia va bien, como Teorema deja mucho que desear.

10 Septiembre, 2020, 05:36 pm
Respuesta #129

Buscón

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1) Fundamentalmente: porque no es necesaria la deravilibidad en \( [a,b] \) para que se cumpla la tesis del Teorema.
2) Motivo muy menor y poco aplicable al caso del Tº de Rolle: Porque aunque se puede definir la derivabilidad en puntos extremos de un intervalo cerrado, el comportamiento de esa derivada por un lado sólo tiene ciertas particularidades que la diferencian de la derivada en un punto interior (se explico en el hilo tiempo atrás).No obstante eso no tendría trascendencia para el Teorema de Rolle.

¿Que abarque más no tiene nada que ver?

Si, gracias me has convencido, estoy de acuerdo en que la razón fundamental es que no hace falta. El teorema dice "Entonces existe un punto    \( c\in{(a,b)} \)...",    y no, "Entonces existe un punto    \( c\in{[a,b]} \)...".     Con ser la función derivable en     \( (a,b) \),    suficiente.

Una vez aclarado esto, me imagino a Michel Rolle tomando la decisión, ¿derivable en el abierto, derivable en el cerrado?