Autor Tema: ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?

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09 Septiembre, 2020, 03:19 pm
Respuesta #100

Buscón

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Ya me está picando la curiosidad.

¿Cómo se prueba tu teorema?

Las hipótesis del teorema de Rolle modificado que te propuse son:

A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R  \).
B) \( f \) es continua en \( (a,b) \) y derivable en \( (a,b) \).
C) Existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \).

Se trata de probar que existe algún punto   \( c\in{(a,b)} \)    tal que    \( f'(c)=0 \).    ¿No?

09 Septiembre, 2020, 03:57 pm
Respuesta #101

Buscón

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Hola

No sabría. Gracias.

No me lo creo.  ::)  ;)

Lo que creo es que no lo has intentado de verdad. Si es así en todo caso puedes encontrar un punto concreto donde te atasque. Pero te he dado un esbozo del camino; es imposible que ni tan siquiera puedas empezar a recorrer ese camino.

Saludos.

Vamos allá.

Teorema de Rolle modificado.

Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función continua en    \( (a,b) \),    derivable en    \( (a,b) \)    y verificando que existen    \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)} \)     y    \( \displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)} \).    Entonces existe algún punto    \( c\in{(a,b)} \)
tal que    \( f'(c)=0 \)



¿Correcto el enunciado?

Así a bote pronto, antes de empezar con la demostración, se me ocurre que la función    \( f:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=x \)    es continua en    \( (0,1) \),    es derivable en     \( (0,1) \),    y verifica que existen     \( \displaystyle\lim_{x \to{0}\\x>0}{x}=0 \)    y    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{x}=1 \),    pero para todo    \( x\in{(0,1)} \)     es    \( f'(x)=1 \),    esto es, no existe     \( c\in{(0,1)} \)    tal que    \( f'(c)=0 \).

09 Septiembre, 2020, 04:25 pm
Respuesta #102

Luis Fuentes

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Hola

 Perdona. Cuando escribí las tres condiciones separadas omití un detalle fundamental que si había escrito al principio. Es:

Las hipótesis del teorema de Rolle modificado que te propuse son:

A) Función \( f:[a,b]\to \Bbb R  \).
B) \( f \) es continua en \( (a,b) \) y derivable en \( (a,b) \).
C) Existen Y COINCIDEN los límites \( \lim_{x \to a^+}{}f(x) \) y \( \lim_{x \to b^-}{}f(x) \) .

Por tanto sería:

Citar
Teorema de Rolle modificado.

Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función continua en    \( (a,b) \),    derivable en    \( (a,b) \)    y verificando que existen y coinciden    \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)} \)     y    \( \displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)} \).    Entonces existe algún punto    \( c\in{(a,b)} \)
tal que    \( f'(c)=0 \)



¿Correcto el enunciado?

Saludos.

09 Septiembre, 2020, 04:27 pm
Respuesta #103

Fernando Revilla

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De la respuesta:

Para probarlo basta tener en cuenta que la condición (C) permite redefinir una función \( F \) continua en \( [a,b] \), derivable en \( (a,b) \), que cumple con las hipótesis de Rolle y que coincide con la original \( f \) en \( (a,b) \). Si quieres completa los detalles.

se deduce que Luis ha querido decir que existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{f(x)} \), \( \lim_{x \to b^-}{f(x)} \), que tienen el mismo valor (digamos \( A \)), y que apliques el teorema de Rolle a la función

       \( F(x)=\begin{cases}{A}&\text{si}&  x=a \\ {A}&\text{si}&  x=b\\f(x) & \text{si}& a<x<b.\end{cases} \)

P.D. Se adelantó Luis.

09 Septiembre, 2020, 04:29 pm
Respuesta #104

Buscón

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Por tanto sería:

Citar
Teorema de Rolle modificado.

Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función continua en    \( (a,b) \),    derivable en    \( (a,b) \)    y verificando que existen y coinciden    \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)} \)     y    \( \displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)} \).    Entonces existe algún punto    \( c\in{(a,b)} \)
tal que    \( f'(c)=0 \)



¿Correcto el enunciado?

Saludos.

Entonces chupao. Si esos límites existen y coinciden entonces la función es continua en    \( [a,b] \)    con    \( f(a)=f(b) \)    y el    Teorema de Rolle modificado se reduce al    Teorema de Rolle.

Es falso.

CORREGIDO.







09 Septiembre, 2020, 04:43 pm
Respuesta #105

Luis Fuentes

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Hola

Entonces chupao. Si esos límites existen y coinciden entonces la función es continua en    \( [a,b] \)    con    \( f(a)=f(b) \)    y el    Teorema de Rolle modificado se reduce al    Teorema de Rolle.

Deberías de plantearte porque muchos de tus hilo se alargan páginas y páginas con decenas y decenas de mensajes. En mi opinión llega un momento que se hacen difíciles de seguir; uno olvida lo que ya se había dicho. Alguna vez me habías dicho que a ti si te aprovechaba darle tantas vueltas; pero no veo que sea así. Tu mismo terminas por olvidar las cosas que ya tenías claras con las primeras respuestas.

Bajo mi punto de vista (y esto viene a cuento de tu última respuesta) uno de los motivos de la longitud de estos hilos, es que a veces respondes con lo primero que te viene a la cabeza; sin reflexionar. Sin dedicarle tiempo, papel y lápiz a la cuestión. Incluso a los pocos minutos tu mismo te desdices, una vez que has reflexionado. Eso soló contribuye al ruído y caos en el debate.


Entonces con calma. Reflexiona. ¿Qué esos límites laterales en puntos distintos existan y coincidan entre si realmente implica la continuidad de la función?... Revisa el hilo; algún ejemplo que se puso. En fin...

Saludos.

09 Septiembre, 2020, 05:45 pm
Respuesta #106

Buscón

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Hola

Entonces chupao. Si esos límites existen y coinciden entonces la función es continua en    \( [a,b] \)    con    \( f(a)=f(b) \)    y el    Teorema de Rolle modificado se reduce al    Teorema de Rolle.

Deberías de plantearte porque muchos de tus hilo se alargan páginas y páginas con decenas y decenas de mensajes. En mi opinión llega un momento que se hacen difíciles de seguir; uno olvida lo que ya se había dicho. Alguna vez me habías dicho que a ti si te aprovechaba darle tantas vueltas; pero no veo que sea así. Tu mismo terminas por olvidar las cosas que ya tenías claras con las primeras respuestas.

Pues imagina si no se las doy  ;D

Bajo mi punto de vista (y esto viene a cuento de tu última respuesta) uno de los motivos de la longitud de estos hilos, es que a veces respondes con lo primero que te viene a la cabeza; sin reflexionar. Sin dedicarle tiempo, papel y lápiz a la cuestión. Incluso a los pocos minutos tu mismo te desdices, una vez que has reflexionado. Eso soló contribuye al ruído y caos en el debate.

Si, me he precipitado. Me di cuenta en cuanto publiqué. Te ruego que por favor me disculpes. Ten en cuenta que también me despistó un poco tu error al omitir que esos límites debían coincidir. No estoy con ello tratando de disculpar mi grave error conceptual al creer que la existencia del límite de una función en un punto implica la continuidad de la función en dicho punto. El recíproco si es cierto. Esto no es baladí!

Una cosa lleva a otra. Todo contribuye al aprendizaje. Todo el mundo puede leer los hilos y su longitud no influye en su precio. Se te olvida algo fundamental, quien no se equivoca no aprende. ¿Porqué? Pues por que lo que está haciendo ya lo tiene bien aprendido y no falla. Yo veo este foro como una manera amena de aprender temas que a veces parecen de lo más engorrosos. Quizás en eso también me estoy equivocando, ya me dirás.

Ahora viene lo "rico" "rico".

Entonces con calma. Reflexiona. ¿Qué esos límites laterales en puntos distintos existan y coincidan entre si realmente implica la continuidad de la función?... Revisa el hilo; algún ejemplo que se puso. En fin...

Saludos.

Una cuestión realmente interesante y que a mi juicio eclipsa la longitud del hilo, aún no teniendo nada que ver con su propósito inicial. Mi respuesta un poco más reflexionada es: no en    \( [a,b]. \)

En cuanto a la demostración del Teorema de Rolle modificado no veo como garantizar la existencia de los máximo y mínimo absolutos en    \( [a,b] \)    si la función no es continua  en    \( [a,b] \).

Saludos, gracias y disculpas por las precipitaciones.

09 Septiembre, 2020, 06:02 pm
Respuesta #107

Buscón

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Se me ocurre de momento.

Si    \( f \)    es constante entonces puede ser    \( \displaystyle f(x)\leq{}\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)} \)    o    \( \displaystyle \lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)}\leq{f(x)} \)    para todo    \( x\in{(a,b)} \)    pero no veo como probar las igualdades.   

09 Septiembre, 2020, 07:07 pm
Respuesta #108

Juan Pablo Sancho

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se deduce que Luis ha querido decir que existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{f(x)} \), \( \lim_{x \to b^-}{f(x)} \), que tienen el mismo valor (digamos \( A \)), y que apliques el teorema de Rolle a la función

       \( F(x)=\begin{cases}{A}&\text{si}&  x=a \\ {A}&\text{si}&  x=b\\f(x) & \text{si}& a<x<b.\end{cases} \)


09 Septiembre, 2020, 08:15 pm
Respuesta #109

Buscón

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se deduce que Luis ha querido decir que existen los límites \( \lim_{x \to a^+}{f(x)} \), \( \lim_{x \to b^-}{f(x)} \), que tienen el mismo valor (digamos \( A \)), y que apliques el teorema de Rolle a la función

       \( F(x)=\begin{cases}{A}&\text{si}&  x=a \\ {A}&\text{si}&  x=b\\f(x) & \text{si}& a<x<b.\end{cases} \)


Vale, gracias. Adaptando un poco la notación para sentirme más cómodo:

Teorema de Rolle modificado

Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función continua en    \( (a,b) \),    derivable en    \( (a,b) \)    y verificando que    \( \displaystyle\lim_{x \to{a}\\x>a}{f(x)}=\displaystyle\lim_{x \to{b}\\x<b}{f(x)}=L \).    Entonces existe algún punto    \( c\in{(a,b)} \)    tal que    \( f'(c)=0. \)


Demostración.

Por casos. En primer lugar para el caso en que    \( f(a)=f(b)=L \)    la función     \( f \)    es continua en    \( [a,b] \)    y el Teorema de Rolle modificado se reduce al Teorema de Rolle.

En segundo lugar, suponiendo que     \( f(a)=f(b)\neq L \)    y    \( f \)    constante se tiene que

\( \forall{\,\epsilon>0}.\;\exists{\,\delta>0}:\;\;\;\left.\begin{matrix}|x-a|<\delta\\\\x\in{(a,b)}\end{matrix}\right\}\Rightarrow{\big|f(x)-L\big|<\epsilon} \)

de donde, por ser    \( f \)    constante,

\( L-\epsilon<f(x)<\epsilon+L \)       para todo    \( x\in{(a,b)} \)

lo que garantiza que    \( f \)    alcanza un máximo y un mínimo absolutos, y a su vez, la Condición necesaria de extremo relativo garantiza que su derivada se anula en algún punto.

Espero que sea correcto hasta aquí. Falta probarlo para el caso en el que    \( f(a)=f(b)\neq L \)    y    \( f \)    no es constante. No consigo ver como.


Continuará...