Autor Tema: ¿Son derivables las funciones con picos?

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08 Septiembre, 2020, 01:15 pm
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Buscón

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¿Son derivables las funciones con picos en los picos?


08 Septiembre, 2020, 01:24 pm
Respuesta #1

ciberalfil

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Si son continuas existen los límites por la derecha y por la izquierda  de la expresión de la derivada, pero son distintos, así pues en general no lo son.

08 Septiembre, 2020, 02:01 pm
Respuesta #2

Buscón

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Si son continuas existen los límites por la derecha y por la izquierda  de la expresión de la derivada, pero son distintos, así pues en general no lo son.

Definición.

Se dice que una función    \( f:I\rightarrow{\mathbb{R}} \)    es derivable en un punto     \( a\in{I} \)    si existe el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}} \).

Explícitamente,    \( f \)    es derivable en    \( a \)    si hay un número    \( L\in{\mathbb{R}} \)    verificando que para cada número    \( \epsilon>0 \)    existe algún número    \( \delta>0 \)    tal que para todo    \( x\in{I} \)     con    \( x\neq a \)      y    \( |x-a|<\delta \)   se tiene que:

\( \left|\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}-L\right|\leq{\epsilon} \).

Dicho número se llama derivada de    \( f \)    en    \( a \)    y lo representamos por    \( f'(a) \)    (notación debida a Lagrange).



Proposición.

Sea    \( I \)    un intervalo,    \( a\in{I} \)    y    \( f \)    una función continua en    \( I \)    y derivable en    \( I\backslash\{a\} \).    Si la función derivada    \( f' \)    tiene límite por la derecha (resp. por la izquierda) en    \( a \)    entonces    \( f \)    es derivable por la derecha (resp. por la izquierda) en    \( a \)    con derivada por la derecha (resp. por la izquierda) en    \( a \)    igual al valor de dicho límite. En particular, si existe    \( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{f'(x)=L} \)    entonces    \( f \)    es derivable en    \( a \)    y    \( f'(a)=L \).




La función    \( f(x)=|x| \),    por ejemplo, que tiene un pico en    \( x=0 \)    es derivable por la derecha y por la izquierda del cero. Su derivada tiene una discontinuidad de salto en    \( x=0 \)    y existen    \( \displaystyle\lim_{x \to{0}\\x<0}{f'(x)=-1} \)    y    \( \displaystyle\lim_{x \to{0}\\x>0}{f'(x)=1} \).    Aunque no coinciden. 

¿Que se puede decir sobre la derivabilidad de    \( f \)    en    \( x=0 \)?

   - ¿Es derivable por la derecha y derivable por la izquierda?

   - ¿No es derivable?

   - ...

08 Septiembre, 2020, 02:27 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 Varias cosas.


¿Son derivables las funciones con picos en los picos?


 ¿Querías poner eso? ¿Picos en los picos? ¡Parece un juego de palabras!. En cualquier caso y relacionado con eso:

La función    \( f(x)=|x| \),    por ejemplo, que tiene un pico en    \( x=0 \)

Relamente si quieres decir algo riguroso sobre un "pico" lo primero que tendrías que haces es dar una definición riguorsa de pica. Probablemente en ella estará directamente la respuesta a lo que preguntas.



La derivada de \( |x| \) no tiene una discontinuidad de salto en \( x=0 \), sino que no está definida en \( 0 \). Es cierto que algunos autores y sobre todo a nivel de Bachillerato, cuando la función no está definida en el punto se sigue hablando de discontinuidad.

Citar
¿Qué se puede decir sobre la derivabilidad de    \( f \)    en    \( x=0 \)?

   - ¿Es derivable por la derecha y derivable por la izquierda?

Si.

Citar
   - ¿No es derivable?

Si, no es derivable en \( 0 \).

Saludos.

08 Septiembre, 2020, 02:48 pm
Respuesta #4

Buscón

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Hola

 Varias cosas.


¿Son derivables las funciones con picos en los picos?


 ¿Querías poner eso? ¿Picos en los picos? ¡Parece un juego de palabras!. En cualquier caso y relacionado con eso:

La función    \( f(x)=|x| \),    por ejemplo, que tiene un pico en    \( x=0 \)

Relamente si quieres decir algo riguroso sobre un "pico" lo primero que tendrías que haces es dar una definición riguorsa de pica. Probablemente en ella estará directamente la respuesta a lo que preguntas.

Si, gracias.

Más que probablemente. Creo más bien es seguro que si los límites laterales de una función en un punto no coinciden y tiene primitiva continua esta última tiene un "pico". ¿Podría servir como definición?

Su derivada tiene una discontinuidad de salto en    \( x=0 \)

La derivada de \( |x| \) no tiene una discontinuidad de salto en \( x=0 \), sino que no está definida en \( 0 \). Es cierto que algunos autores y sobre todo a nivel de Bachillerato, cuando la función no está definida en el punto se sigue hablando de discontinuidad.

Hay que ver la cantidad de detalles que se me pueden escapar y lo fácil que me resulta meter la pata. :'(

Saludos y gracias.

08 Septiembre, 2020, 03:57 pm
Respuesta #5

feriva

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¿Son derivables las funciones con picos en los picos?


Pero ¿picos en punta o redondos? :D

08 Septiembre, 2020, 04:21 pm
Respuesta #6

Buscón

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¿Son derivables las funciones con picos en los picos?


Pero ¿picos en punta o redondos? :D

Está claro que la existencia y no coincidencia de los limites laterales en un punto    \( a\in{I} \)    de una función derivada    \( f' \)    de una función    \( f \)    continua en    \( I \)    caracteriza un comportamiento peculiar de la función primitiva en dicho punto, presenta en él un "pico en punta". Si coinciden los límites entonces puede presentar un "pico redondo", o una "línea", o un punto de inflexión. Siendo lo menos riguroso posible  ;)

EDITADO.