Autor Tema: ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?

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04 Agosto, 2009, 04:07 pm
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Branditon

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Hola, muchas gracias por vuestra atención. En todos los teoremas de cálculo que he visto, siempre dicen: f(x) continua en [a,b] y derivable en (a,b). Mi pregunta es: ¿por qué cuando expresamos derivabilidad en ese intervalo, lo escribimos como intervalo abierto y no cerrado?

Saluditos y muchas gracias por vuestro tiempo.

04 Agosto, 2009, 05:02 pm
Respuesta #1

argentinator

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Es una sutileza, que siempre aparece.
Un motivo podría ser la definición de derivada, que necesita que uno se acerque a ambos lados del punto donde está calculando la derivada.
Si x = a, el extremo del intervalo, no puedo acercarme por izquierda en el límite del cociente incremental.

Aún así eso no sería mayor problema, porque uno podría aceptar que en el extremo la función sea derivable tan sólo por derecha, lo cual tiene sentido.

Así que el otro motivo que se me ocurre es que, para los teoremas que se están demostrando, es suficiente pedir continuidad en el intervalo para que el teorema sea cierto.
O sea, no hace falta pedir la condición más fuerte de derivabilidad, y el teorema es aún cierto.

Como consecuencia de eso, hay que tener cuidado dentro de la demostración del teorema, de que cuando se habla de la derivada de un punto, prestar atención a que ese punto no sea uno de los extremos.
Es algo técnico.

Un ejemplo concreto sería la función \( f(x)=[sen(x)]^{1/2} \), en el intervalo \( [0,\pi] \).
Fijate que es continua en el intervalo \( [0,\pi] \) pero es derivable solamente en \( (0,\pi) \).
Si quisiéramos calcular su derivada en los extremos, nos da pendiente vertical (derivada infinita), o sea que no existe.
Podrías comprobarlo en detalle.

Aún así, los teoremas correspondientes deben ser válidos para esa función.

05 Agosto, 2009, 02:41 pm
Respuesta #2

Branditon

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Hola, de verdad te agradezco mucho tu ayuda. Estudio arqutiectura y estoy estudiando muchas cosas estas vacaciones para llegar al nivel. Soy autodidacta. Gracias por tu tiempo.

Saluditos.

06 Agosto, 2009, 12:10 am
Respuesta #3

marcos

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Hola

Por complementar un poco más lo de argentinator, aunque está perfectamente explicado ya por él, date cuenta, que cuando te dicen:

Es derivable en (a,b) significa que existe la derivada en todos y cada uno de los puntos pertenecientes al intervalo.

La derivada, es  un límite, aunque en el colegio te enseñan (nos) a derivar con reglas, después (seguro que ya te lo han explicado mejor que yo) se define derivada como un límite.

Y esto es lo importante: Existe un teorema denominado de unicidad del  límite, es decir: un límite sólo existe si sus límites laterales existen y tienen el mismo valor.

Entonces, en un intervalo cerrado, como argentinator te ha comentado, en los extremos, que en tu caso son dos puntos, no existe la derivada en ninguno de ellos, ya que trivialmente se ve que no puedes "acercarte" lateralmente y todo esto implica, que no puedas considerar un intervalo cerrado como el que has puesto como derivable.

Aunque se podría redefinir la función de tal modo que los extremos no fueran problema, en general, suele ser esta la causa de imponer derivable en un abierto. Aunque depende del contexto donde te encuentres esto, es decir, no es una norma general.

un saludo

25 Octubre, 2019, 07:36 pm
Respuesta #4

Marcos Castillo

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Es una sutileza, que siempre aparece.
Un motivo podría ser la definición de derivada, que necesita que uno se acerque a ambos lados del punto donde está calculando la derivada.
Si x = a, el extremo del intervalo, no puedo acercarme por izquierda en el límite del cociente incremental.
Hola argentinator
¿Me puedes explicar esta última frase?. No la entiendo. Si el intervalo es \( [a,b] \), son dos números. ¿Qué relación tiene con el hecho de que si \( x=a \) en el extremo del intervalo, no pueda acercarme por la izquierda en el límite del cociente incremental?; ¿cómo puedo entender la frase?.
Me presento: estoy estudiando un libro de matemáticas de acceso a la universidad. Estoy matriculado en la Universidad Nacional de Educación a Distancia. Desde la adolescencia tengo afición por las matemáticas.
Y eso, a ver si puedo robarte un poco de tu tiempo. Tengo la misma duda que tuvo Brandinton, y he leido este hilo un montón de veces, y al final he decidido escribirte.
Un saludo
No man is an island (John Donne)

26 Octubre, 2019, 03:03 pm
Respuesta #5

Masacroso

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Es una sutileza, que siempre aparece.
Un motivo podría ser la definición de derivada, que necesita que uno se acerque a ambos lados del punto donde está calculando la derivada.
Si x = a, el extremo del intervalo, no puedo acercarme por izquierda en el límite del cociente incremental.
Hola argentinator
¿Me puedes explicar esta última frase?. No la entiendo. Si el intervalo es \( [a,b] \), son dos números. ¿Qué relación tiene con el hecho de que si \( x=a \) en el extremo del intervalo, no pueda acercarme por la izquierda en el límite del cociente incremental?; ¿cómo puedo entender la frase?.
Me presento: estoy estudiando un libro de matemáticas de acceso a la universidad. Estoy matriculado en la Universidad Nacional de Educación a Distancia. Desde la adolescencia tengo afición por las matemáticas.
Y eso, a ver si puedo robarte un poco de tu tiempo. Tengo la misma duda que tuvo Brandinton, y he leido este hilo un montón de veces, y al final he decidido escribirte.
Un saludo

Argentinator ahí se refiere a que no es posible acercarse por la izquierda de \( a \) si la función tiene dominio \( [a,b] \), ya que la función no está definida fuera de su dominio.

26 Octubre, 2019, 04:52 pm
Respuesta #6

feriva

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Hola, Marcos.


Esto del spoiler no vale

Spoiler

Una condición necesaria de la tangente a una curva es que siempre podamos tomar un trozo de dicha curva, tan corto como sea necesario, de manera que la tangente sólo toque en ese punto del trozo de curva sin cortarlo (sin atraversarlo, rozándolo).

Si existieran otras rectas que tocaran a la curva en ese punto sin cortarla tal como entendemos, la unicidad de la tangente sería difícil de asegurar, quizá habría que definir algo nuevo, considerar alguna restricción.... Como se ve en el dibujo, eso es lo que ocurre si pensamos en la recta “tangente” que pasa justo por un punto donde termina la curva, habría muchas que, sin atravesar la sección elegida de la curva, tocarían en el mismo punto.



Si dejamos un margen a ambos lados, eso no pasa; pues esas rectas ajenas cortarían, partirían en dos trozos, por pequeños o grandes que fueran, la porción de curva.
Y esos márgenes a ambos lados se representan así (a,b) como también así otras veces ]a,b[;

intuitivamente es eso.
[cerrar]

Lo que se pregunta, y lo que ocurre, es esto:



Lo cual es evidente por sí mismo.

Saludos.

27 Octubre, 2019, 03:27 pm
Respuesta #7

Marcos Castillo

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Hola feriva, Masacroso
Voy a imprimir este hilo y voy a preguntarle al tutor el martes. Os contaré
Un saludo
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28 Octubre, 2019, 09:48 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Una condición necesaria de la tangente a una curva es que siempre podamos tomar un trozo de dicha curva, tan corto como sea necesario, de manera que la tangente sólo toque en ese punto del trozo de curva sin cortarlo (sin atraversarlo, rozándolo).

Si existieran otras rectas que tocaran a la curva en ese punto sin cortarla tal como entendemos, la unicidad de la tangente sería difícil de asegurar, quizá habría que definir algo nuevo, considerar alguna restricción.... Como se ve en el dibujo, eso es lo que ocurre si pensamos en la recta “tangente” que pasa justo por un punto donde termina la curva, habría muchas que, sin atravesar la sección elegida de la curva, tocarían en el mismo punto.



Si dejamos un margen a ambos lados, eso no pasa; pues esas rectas ajenas cortarían, partirían en dos trozos, por pequeños o grandes que fueran, la porción de curva.
Y esos márgenes a ambos lados se representan así (a,b) como también así otras veces ]a,b[;

intuitivamente es eso.

Esta idea intuitiva está MAL.

Si consideras la curva \( y=x^3 \), en el punto \( x_0=0 \) la tangente es la recta \( y=0 \) que corta en "dos trozos" a la curva igual que cualquier otra recta en ese punto.

La noción más intuitiva de tangente (o al menos una de ellas) es como límite de secantes. Es decir si fijamos un punto de una curva \( P_0=(x_0,f(x_0)) \) y consideramos otros puntos de la misma \( P_n=(x_n,f(x_n)) \) las rectas secantes \( P_0P_n \) se aproximan a la tangente cuando \( x_n  \)se aproxima a \( x_0 \).

Y no hay ningún problema para definir la noción de recta tangente en el extremo del dominio de una curva definida sobre un intervalo cerrado; no hay ningún problema para aplicar esa noción intuitiva ni la formalización analítica que hay detrás.

La razón más fuerte por la que no se exige derivabilidad en los extremos del intervalo en esos teoremas es la segunda que apuntaba argentinator: porque no hace falta.

Un motivo podría ser la definición de derivada, que necesita que uno se acerque a ambos lados del punto donde está calculando la derivada.
Si x = a, el extremo del intervalo, no puedo acercarme por izquierda en el límite del cociente incremental.

Aún así eso no sería mayor problema, porque uno podría aceptar que en el extremo la función sea derivable tan sólo por derecha, lo cual tiene sentido.

Así que el otro motivo que se me ocurre es que, para los teoremas que se están demostrando, es suficiente pedir continuidad en el intervalo para que el teorema sea cierto.
O sea, no hace falta pedir la condición más fuerte de derivabilidad, y el teorema es aún cierto.


Saludos.

28 Octubre, 2019, 12:13 pm
Respuesta #9

feriva

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Hola, Luis.


Esta idea intuitiva está MAL.

Si consideras la curva \( y=x^3 \), en el punto \( x_0=0 \) la tangente es la recta \( y=0 \) que corta en "dos trozos" a la curva igual que cualquier otra recta en ese punto.


Al igual que en las otras respuestas, e independientemente de cosas relacionadas, estaba viendo al revés la cuestión.

Seguro que tienes razón, pero, por aclararlo (porque quizá como lo digo se entiende otra cosa).

A lo que me refiero es a dos cosas en realidad: primero digo que dada una curva siempre podemos tomar un trozo tan pequeño como queramos (independientemente del que se considere después en un intervalo (a,b)) de tal forma que la tangente sólo toque en un punto al trozo. Tuve en cuenta eso, aunque yo no estaba pensando en la que pones, pero si estaba pensando en una función tipo la del seno, que la tangente puede tocar en varios máximos, sin embargo, puedo cortarla y quedarme sólo con una “onda”. Entonces, para poner la condición de que toque sólo en un punto, digo que siempre me puedo quedar con un trozo del tamaño necesario que sea (no infinitesimal, salvo una curva muy puñetera que no sé ni siquiera si se podría considerar normalmente). A ése es al trozo que me refiero yo. Así, puedo cortar en un punto dentro de (a,b) que esté cerca de “a”, lo que sea necesario para que la tangente no parta el “subtrozo”.

Ésa es la aclaración; y ahora una pregunta: con esa condición, ¿se puede hacer para y=x³ lo que digo? Porque he visto la gráfica en Wolfram y es tan recta por el centro que a lo mejor toca más de punto, no estoy seguro de ello; en cuyo caso mi restricción no sirve, claro. ¿Es posible que no se pueda elegir un trozo tan pequeño como se quiera -pero no infintesimalmente pequeño-  tal que la tangente siempre toque sólo en punto?

Hola otra vez, Luis.

Yo diría que en (0,0) existe la derivada, la función tangente, pero lo que es la recta en sí, no es tangente a la gráfica, (a la curva dibujada tal como está) es tangente por la simetría del lado convexo o bien del otro lado (por simetría al menos en un entorno cercano al punto) y por esa razón, intuyo (otra intuición) queda definida. ¿Puede tener sentido?




Saludos.

28 Octubre, 2019, 06:16 pm
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

Seguro que tienes razón, pero, por aclararlo (porque quizá como lo digo se entiende otra cosa).

A lo que me refiero es a dos cosas en realidad: primero digo que dada una curva siempre podemos tomar un trozo tan pequeño como queramos (independientemente del que se considere después en un intervalo (a,b)) de tal forma que la tangente sólo toque en un punto al trozo.

No estoy seguro de que significado estás dando a "toque"; si es simplemente "corte", es decir que tenga un único punto en común, eso pasa con la tangente y con cualquier recta. En un trozo suficientemente pequeño cualquier recta solo cortará en un punto (a no ser que la propia curva sea una recta y tomemos precisamente esa recta).

Citar
Hola otra vez, Luis.

Yo diría que en (0,0) existe la derivada, la función tangente, pero lo que es la recta en sí, no es tangente a la gráfica, (a la curva dibujada tal como está) es tangente por la simetría del lado convexo o bien del otro lado (por simetría al menos en un entorno cercano al punto) y por esa razón, intuyo (otra intuición) queda definida. ¿Puede tener sentido?



Esto confirma que tu noción intuitiva de tangente es totalmente errada; la recta \( y=0 \) es tangente a \( y=x^3 \) en el origen con cualquier noción de recta tangente conocida: geométrica, analítica, algebraica,... A mi me parece que estás entendiendo que para una tangente toda la curva en un entorno del punto debe de quedar en uno sólo de los dos semiplanos definidos por la recta y esto no tiene porque ser así.

Como he dicho la noción más intuitiva de tangente es como límite de secantes.

Saludos.

28 Octubre, 2019, 07:03 pm
Respuesta #11

feriva

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Esto confirma que tu noción intuitiva de tangente es totalmente errada; la recta \( y=0 \) es tangente a \( y=x^3 \) en el origen con cualquier noción de recta tangente conocida: geométrica, analítica, algebraica,... A mi me parece que estás entendiendo que para una tangente toda la curva en un entorno del punto debe de quedar en uno sólo de los dos semiplanos definidos por la recta y esto no tiene porque ser así.



EDITADO

Muchas gracias, Luis.

Veo que lo de trocear rectas no sirve para distinguir la tangente; pero puedo suprimirlo y decirlo de otra manera sin cortes ni "tocamientos", no me rindo tan fácilmente :)

Vuelvo a considerar como posibilidad la recta tangente que pasa por un extremo cualquiera del trozo [a,b].



Lo que digo aquí es producto de ver al revés el encaje de los intervalos; por tanto, independientemente del concepto de tangente y todo lo demás, lo dicho no sirve para nada porque es un ERROR MÍO DE INTERPRETACIÓN en la cuestión principal del hilo


Como no se sabe cómo sigue la curva (o no queremos saberlo porque hemos definido sólo ese trozo) podría continuar, a partir de los extremos, curvándose de distintas maneras, de tal forma que la tangente podría ser la recta verde, la azul u otras. En esos esos casos será derivable sea cual sea la función porque estamos diciendo que hay alguna tangente, sin embargo, existen infinitos casos en los cuales a partir del último punto puede seguir una recta formando un pico. En estas condiciones, se puede decir que no es cierto en general que exista la recta tangente (y en consecuencia tampoco la función en general). Con ello, por falta de la necesaria definición en ese caso, en general no es derivable en los extremos a,b; simplmente porque no sabemos enteramente de qué función estamos hablamos. Opino que puede ser por eso que entonces se escriba el intervalo así [a,b], para indicar esa falta de generalidad ante las distintas posibilidades. Creo que lo razonable es que, si se sabe que la función es alguna función derivable en esos puntos, se escriba (a,b) y no [a,b].

Aunque sea una redudancia, la función es derivable en los puntos a,b cuando la función es derivable en los puntos “a,b” (y siempre cabe escribir (a,b)) y la función no es derivable en a,b cuando la función no es derivable en a,b; circunstancia en la cual opino que no cabe en ninǵun caso escribir (a,b).

¿Puede valer? Espero que, aunque sea, esté menos mal que antes.

Saludos.

29 Octubre, 2019, 07:40 am
Respuesta #12

Luis Fuentes

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Hola

Como no se sabe cómo sigue la curva (o no queremos saberlo porque hemos definido sólo ese trozo) podría continuar, a partir de los extremos, curvándose de distintas maneras, de tal forma que la tangente podría ser la recta verde, la azul u otras.

Si no se sabe como se comporta la curva por un lado, lo razonable es utilizar como se comporta por el otro y ahí su puede tomar uno perfectamente la tangente como límite de secantes.

Citar
No existe la recta tangente (y en consecuencia tampoco la función) en ese punto o, como poco, se puede afirmar que, si existe, no es única. Con ello la función no es derivable en los extremos a,b y ,por tanto, no lo es en todos los puntos de [a,b].

Aquí no se que decirte; todo depende de la definición rigurosa que quieras dar de "tangente" y "derivable".

Citar
¿Puede valer? Espero que, aunque sea, esté menos mal que antes.

Ahí parece que quieres encajar si o si un argumento que te permita defender que no existe tangente en el extremo. ¡Allá cada uno!. En este caso no te digo ni si ni no; depende de la definición. Lo de los mensajes anteriores estaba mal porque usabas ideas que ni siquiera encajaban en puntos del interior del intervalo. Aquí si quieres basarte en que no conocemos el comportamiento de la curva en el extremos por uno de sus lados... pues vale.

Saludos.

29 Octubre, 2019, 08:24 am
Respuesta #13

feriva

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Ahí parece que quieres encajar si o si un argumento que te permita defender que no existe tangente en el extremo. ¡Allá cada uno!. En este caso no te digo ni si ni no; depende de la definición. Lo de los mensajes anteriores estaba mal porque usabas ideas que ni siquiera encajaban en puntos del interior del intervalo. Aquí si quieres basarte en que no conocemos el comportamiento de la curva en el extremos por uno de sus lados... pues vale.

Saludos.

Muchas gracias, Luis. De acuerdo.

Un saludo.

30 Octubre, 2019, 06:06 pm
Respuesta #14

Marcos Castillo

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Hola feriva, Masacroso, Luis
He estado con el tutor de la Uned del curso de acceso a la universidad para acceder al grado de Matemáticas, y le he hecho la misma pregunta con la que Brandinton empezaba el hilo: "En todos los teoremas de cálculo que he visto, siempre dicen: \( f(x) \) continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \). Mi pregunta es: ¿por qué cuando expresamos derivabilidad en ese intervalo, lo escribimos como intervalo abierto y no cerrado?."
Y el tutor me ha respondido: derivadas laterales.
Me ha estado explicando funciones y puntos donde dichas funciones no son derivables. Y ese ha sido el germen de mis reflexiones. No sé si están correctas, son de mi cosecha. Ahí van:
La derivabilidad sólo puede ser afirmada en intervalos abiertos. Si es en todo \( \mathbf{R} \), es derivable en \( (-\infty,+\infty) \). Si está definida en \( [a,b] \), no está definida fuera de su dominio, es decir, \( a\leq{x}\leq{b} \). Esto quiere decir que no es posible acercarse por la izquierda de \( a \) ni por la derecha de \( b \) en el límite del cociente incremental. Afirmo que para expresar la derivabilidad de un intervalo \( [a,b] \), éste es derivable en \( (a,b) \). El motivo es que si no conozco, por ejemplo, en el caso de \( x=a \) (análogamente por la derecha en \( x=b \)) el límite del cociente incremental a su izquierda, no sé si es derivable. Puede serlo, y puede no serlo. Pongamos
\( \begin{array}{rccc}f&:[1,+\infty)&\longrightarrow&\mathbf{R}\\&x&\mapsto&x^2\end{array} \).
Pongamos que a la izquierda de \( x=1 \) siga siendo \( f(x)=x^2 \). Entonces lo es en \( x=1 \). Pongamos sin embargo la función definida a trozos
\( f(x)=\begin{cases}{|x|}&\text{si}&-\infty<x<1\\x^2&\text{si}&1\leq{x}<+\infty\end{cases} \).
Entonces no lo es en \( x=1 \). En resumen, no sabemos si la función \( f(x)=x^2 \) es derivable en \( x=1 \), porque no tenemos información. Por eso debe ser derivable en \( (1,+\infty) \).
¿Correcto?
Un saludo
No man is an island (John Donne)

30 Octubre, 2019, 06:41 pm
Respuesta #15

feriva

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Hola, Marcos.


Entonces no lo es en \( x=1 \). En resumen, no sabemos si la función \( f(x)=x^2 \) es derivable en \( x=1 \), porque no tenemos información. Por eso debe ser derivable en \( (1,+\infty) \).
¿Correcto?
Un saludo

Esto del spoiler no tenía nada que ver con lo que se trataba en el hilo, estaba viendo al revés la interpretación de los intervalos por pura dislexia mental

Spoiler
Claro, entiendo que sí, porque, de hecho, esto \( f(x)=x^2 \) es la fórmula de un trozo de función, no tiene por qué ser la de toda la función; después, en los otros trozos, puede venir esa misma u otras.

Mira, la curva del dibujo es la misma desde arriba hasta los puntos rojos; y ahí está claro lo que pasa. Pues ahora imagina que existen ambas posibilidades; y otras muchas más, como que la función sea discontinua en esos puntos o que siga la curva de otra manera. Ante la duda, esto [a,b] vale, porque los puntos, estar están en cualquiera de los casos, sea derivable o no puedes considerar ese intervalo, pero si consideras esto, (a,b) ante la posibilidad de que no sea derivable (que existe tanto como la otra posibilidad) no es admisible, porque en ese caso no existen esas "prolongaciones suaves" más allá de los puntos



[cerrar]


Saludos.

31 Octubre, 2019, 09:36 am
Respuesta #16

Luis Fuentes

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Hola

Hola feriva, Masacroso, Luis
He estado con el tutor de la Uned del curso de acceso a la universidad para acceder al grado de Matemáticas, y le he hecho la misma pregunta con la que Brandinton empezaba el hilo: "En todos los teoremas de cálculo que he visto, siempre dicen: \( f(x) \) continua en \( [a,b] \) y derivable en \( (a,b) \). Mi pregunta es: ¿por qué cuando expresamos derivabilidad en ese intervalo, lo escribimos como intervalo abierto y no cerrado?."
Y el tutor me ha respondido: derivadas laterales.
Me ha estado explicando funciones y puntos donde dichas funciones no son derivables. Y ese ha sido el germen de mis reflexiones. No sé si están correctas, son de mi cosecha. Ahí van:
La derivabilidad sólo puede ser afirmada en intervalos abiertos.

Eso es a gusto del consumidor. Como he venido diciendo no hay ningún inconveniente en definir la derivada en un extremo de un intervalo, tomando el límite lateral o incluso simplemente tomando el límite restringido al domino de la función.

Todas las disquisiciones que haces después y que hace también feriva, no me convencen demasiado en el sentido que explicaré ahora:

Spoiler
Si es en todo \( \mathbf{R} \), es derivable en \( (-\infty,+\infty) \). Si está definida en \( [a,b] \), no está definida fuera de su dominio, es decir, \( a\leq{x}\leq{b} \). Esto quiere decir que no es posible acercarse por la izquierda de \( a \) ni por la derecha de \( b \) en el límite del cociente incremental. Afirmo que para expresar la derivabilidad de un intervalo \( [a,b] \), éste es derivable en \( (a,b) \). El motivo es que si no conozco, por ejemplo, en el caso de \( x=a \) (análogamente por la derecha en \( x=b \)) el límite del cociente incremental a su izquierda, no sé si es derivable. Puede serlo, y puede no serlo. Pongamos
\( \begin{array}{rccc}f&:[1,+\infty)&\longrightarrow&\mathbf{R}\\&x&\mapsto&x^2\end{array} \).
Pongamos que a la izquierda de \( x=1 \) siga siendo \( f(x)=x^2 \). Entonces lo es en \( x=1 \). Pongamos sin embargo la función definida a trozos
\( f(x)=\begin{cases}{|x|}&\text{si}&-\infty<x<1\\x^2&\text{si}&1\leq{x}<+\infty\end{cases} \).
Entonces no lo es en \( x=1 \). En resumen, no sabemos si la función \( f(x)=x^2 \) es derivable en \( x=1 \), porque no tenemos información. Por eso debe ser derivable en \( (1,+\infty) \).
[cerrar]

Spoiler
Claro, entiendo que sí, porque, de hecho, esto \( f(x)=x^2 \) es la fórmula de un trozo de función, no tiene por qué ser la de toda la función; después, en los otros trozos, puede venir esa misma u otras.

Mira, la curva del dibujo es la misma desde arriba hasta los puntos rojos; y ahí está claro lo que pasa. Pues ahora imagina que existen ambas posibilidades; y otras muchas más, como que la función sea discontinua en esos puntos o que siga la curva de otra manera. Ante la duda, esto [a,b] vale, porque los puntos, estar están en cualquiera de los casos, sea derivable o no puedes considerar ese intervalo, pero si consideras esto, (a,b) ante la posibilidad de que no sea derivable (que existe tanto como la otra posibilidad) no es admisible, porque en ese caso no existen esas "prolongaciones suaves" más allá de los puntos

[cerrar]

Siguiendo esa lógica habría exactamente el mismo problema con la continuidad. Si uno tiene la función \( x^2 \) definida en \( [1,+\infty) \) uno puede extenderla a la izquierda con continuidad o sin continuidad. Un ejemplo de esto último sería:

\( f(x)=\begin{cases} -2& \text{si}& x<1\\x^2 & \text{si}& x>1\end{cases} \)

¿Impide eso hablar de continuidad de una función \( f:[a,b]\to \Bbb R \) en los extremos del intervalo?. No.

Yo sigo en mis trece: la razón esencial porque en todos esos teorema habla de derivable en el abierto \( (a,b) \), y no en \( [a,b] \) básicamente es porque NO es necesario exigir derivabilidad en los extremos \( a,b \).

Si entendemos que definimos la derivabilidad en los extremos atendiendo a los correspondientes límites laterales o simplemente a restringir el límite al dominio, todos esos teoremas seguirían siendo ciertos poniendo en las hipótesis derivable en \( [a,b] \), ahora estaríamos debilitando absurdamente los resultados porque estaríamos exigiendo unas hipótesis más fuertes de lo necesario. En todos ellos es suficiente exigir derivabilidad en \( (a,b) \).

Con todo esto yo no niego que hablar de la derivabilidad en los extremos del intervalo requiera hacer un matiz o una puntualización a la definición usual de derivada; pero es un inconveniente muy salvable, fácilmente solucionable, y por eso no me parece la razón esencial de que tales extremos sean excluidos de los enunciados de los teoremas.

Saludos.

31 Octubre, 2019, 10:47 am
Respuesta #17

feriva

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\( f(x)=\begin{cases} -2& \text{si}& x<1\\x^2 & \text{si}& x>1\end{cases} \)

¿Impide eso hablar de continuidad de una función \( f:[a,b]\to \Bbb R \) en los extremos del intervalo?. No.

Yo sigo en mis trece: la razón esencial porque en todos esos teorema habla de derivable en el abierto \( (a,b) \), y no en \( [a,b] \) básicamente es porque NO es necesario exigir derivabilidad en los extremos \( a,b \).


Es verdad, Luis, he estado despistado todo el post por pensar sólo en los dibujos, quería decir eso mismo, lo que pasa es que lo “traducía al revés”. Claro, ocurre que esto (a,b) está dentro de esto [a,b] y no al contrario, por tanto, si la función es continua en [a,b], entonces es derivable en (a,b) logiquísimo. Con lo que basta exigir continuidad en [a,b] para que sea derivable en (a,b); que, ahora que me fijo, es lo que se pregunta en la entrada principal del post y es lo que me habías señalado que había dicho Argentinator; por tanto, si la función es derivable en [a,b], entonces es derivable en (a,b) necesariamente. Sin embargo, si es derivable en (a,b) no tiene por qué serlo en [a,b]. A partir de ahí, si es derivable en (a,b) tiene que ser continua en [a,b] para que la tangente se apoye por los dos lados.  y yo venga y venga a verlo al revés. Ahora editaré.

Muchas gracias, Luis; perdonadme, que he estado bloqueado más tiempo de la cuenta, toda la culpa del lío ha sido mía.

Saludos.

31 Octubre, 2019, 11:52 am
Respuesta #18

Fernando Revilla

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Aunque ha sido debatido suficientemente el tema, no puedo dejar de comentar que la primera vez que vi (en la carrera, no en bachillerato) la definición de derivada fue en el Análisis Matemático de Apostol, donde el dominio de definición es un intervalo abierto \( (a,b) \). Posteriormente, leí en el Principios de Análisis Matemático de Rudin que el dominio de definición es un intervalo cerrado \( [a,b] \). Bien, comprendí que no había problemas con el asunto pero me pregunté a mí mismo el por qué no se definía \( f^\prime (x_0) \) en un dominio más genérico i.e. en un dominio \( A\subset \mathbb{R} \) con \( x_0\in A \) y \( x_0 \) punto de acumulación de \( A \). En este caso tiene sentido decir que \( \displaystyle\lim_{x \to x_0, \; x\in A\setminus \{x_0\}}{\displaystyle\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \) tiene límite y es finito o su negación. Me quedé para mí con esa definición más general.

Posteriormente en una clase de problemas, en un determinado ejercicio sobre un función derivable en un punto (sólo recuerdo el hecho, no la literalidad), el profesor eligió un intervalo que contenía a \( x_0 \) en donde estaba definida la función. Yo le pregunté por qué tal intervalo existía, y me contestó que el concepto de derivada es local y requiere que la función estuviera definida en un intervalo que contiene a \( x_0 \). Le comenté lo del punto de acumulación y me dijo que así la derivada no tiene interés, respuesta a todas luces insatisfactoria.

31 Octubre, 2019, 12:12 pm
Respuesta #19

Luis Fuentes

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Hola

Es verdad, Luis, he estado despistado todo el post por pensar sólo en los dibujos, quería decir eso mismo, lo que pasa es que lo “traducía al revés”. Claro, ocurre que esto (a,b) está dentro de esto [a,b] y no al contrario, por tanto, si la función es continua en [a,b], entonces es derivable en (a,b) logiquísimo. Con lo que basta exigir continuidad en [a,b] para que sea derivable en (a,b); que, ahora que me fijo, es lo que se pregunta en la entrada principal del post y es lo que me habías señalado que había dicho Argentinator; y yo venga y venga a verlo al revés. Ahora editaré.

No se muy bien que has querido decir ahí, pero no es cierto que si una función es continua en \( [a,b] \) necesariamente sea derivable en \( (a,b). \)

Saludos.