Autor Tema: ¿Por qué una función se escribe con intervalo abierto cuando es derivable?

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04 Agosto, 2009, 04:07 pm
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Branditon

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Hola, muchas gracias por vuestra atención. En todos los teoremas de cálculo que he visto, siempre dicen: f(x) continua en [a,b] y derivable en (a,b). Mi pregunta es: ¿por qué cuando expresamos derivabilidad en ese intervalo, lo escribimos como intervalo abierto y no cerrado?

Saluditos y muchas gracias por vuestro tiempo.

04 Agosto, 2009, 05:02 pm
Respuesta #1

argentinator

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Es una sutileza, que siempre aparece.
Un motivo podría ser la definición de derivada, que necesita que uno se acerque a ambos lados del punto donde está calculando la derivada.
Si x = a, el extremo del intervalo, no puedo acercarme por izquierda en el límite del cociente incremental.

Aún así eso no sería mayor problema, porque uno podría aceptar que en el extremo la función sea derivable tan sólo por derecha, lo cual tiene sentido.

Así que el otro motivo que se me ocurre es que, para los teoremas que se están demostrando, es suficiente pedir continuidad en el intervalo para que el teorema sea cierto.
O sea, no hace falta pedir la condición más fuerte de derivabilidad, y el teorema es aún cierto.

Como consecuencia de eso, hay que tener cuidado dentro de la demostración del teorema, de que cuando se habla de la derivada de un punto, prestar atención a que ese punto no sea uno de los extremos.
Es algo técnico.

Un ejemplo concreto sería la función \( f(x)=[sen(x)]^{1/2} \), en el intervalo \( [0,\pi] \).
Fijate que es continua en el intervalo \( [0,\pi] \) pero es derivable solamente en \( (0,\pi) \).
Si quisiéramos calcular su derivada en los extremos, nos da pendiente vertical (derivada infinita), o sea que no existe.
Podrías comprobarlo en detalle.

Aún así, los teoremas correspondientes deben ser válidos para esa función.

05 Agosto, 2009, 02:41 pm
Respuesta #2

Branditon

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Hola, de verdad te agradezco mucho tu ayuda. Estudio arqutiectura y estoy estudiando muchas cosas estas vacaciones para llegar al nivel. Soy autodidacta. Gracias por tu tiempo.

Saluditos.

06 Agosto, 2009, 12:10 am
Respuesta #3

marcos

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Hola

Por complementar un poco más lo de argentinator, aunque está perfectamente explicado ya por él, date cuenta, que cuando te dicen:

Es derivable en (a,b) significa que existe la derivada en todos y cada uno de los puntos pertenecientes al intervalo.

La derivada, es  un límite, aunque en el colegio te enseñan (nos) a derivar con reglas, después (seguro que ya te lo han explicado mejor que yo) se define derivada como un límite.

Y esto es lo importante: Existe un teorema denominado de unicidad del  límite, es decir: un límite sólo existe si sus límites laterales existen y tienen el mismo valor.

Entonces, en un intervalo cerrado, como argentinator te ha comentado, en los extremos, que en tu caso son dos puntos, no existe la derivada en ninguno de ellos, ya que trivialmente se ve que no puedes "acercarte" lateralmente y todo esto implica, que no puedas considerar un intervalo cerrado como el que has puesto como derivable.

Aunque se podría redefinir la función de tal modo que los extremos no fueran problema, en general, suele ser esta la causa de imponer derivable en un abierto. Aunque depende del contexto donde te encuentres esto, es decir, no es una norma general.

un saludo

25 Octubre, 2019, 07:36 pm
Respuesta #4

Marcos Castillo

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Es una sutileza, que siempre aparece.
Un motivo podría ser la definición de derivada, que necesita que uno se acerque a ambos lados del punto donde está calculando la derivada.
Si x = a, el extremo del intervalo, no puedo acercarme por izquierda en el límite del cociente incremental.
Hola argentinator
¿Me puedes explicar esta última frase?. No la entiendo. Si el intervalo es \( [a,b] \), son dos números. ¿Qué relación tiene con el hecho de que si \( x=a \) en el extremo del intervalo, no pueda acercarme por la izquierda en el límite del cociente incremental?; ¿cómo puedo entender la frase?.
Me presento: estoy estudiando un libro de matemáticas de acceso a la universidad. Estoy matriculado en la Universidad Nacional de Educación a Distancia. Desde la adolescencia tengo afición por las matemáticas.
Y eso, a ver si puedo robarte un poco de tu tiempo. Tengo la misma duda que tuvo Brandinton, y he leido este hilo un montón de veces, y al final he decidido escribirte.
Un saludo
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26 Octubre, 2019, 03:03 pm
Respuesta #5

Masacroso

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Es una sutileza, que siempre aparece.
Un motivo podría ser la definición de derivada, que necesita que uno se acerque a ambos lados del punto donde está calculando la derivada.
Si x = a, el extremo del intervalo, no puedo acercarme por izquierda en el límite del cociente incremental.
Hola argentinator
¿Me puedes explicar esta última frase?. No la entiendo. Si el intervalo es \( [a,b] \), son dos números. ¿Qué relación tiene con el hecho de que si \( x=a \) en el extremo del intervalo, no pueda acercarme por la izquierda en el límite del cociente incremental?; ¿cómo puedo entender la frase?.
Me presento: estoy estudiando un libro de matemáticas de acceso a la universidad. Estoy matriculado en la Universidad Nacional de Educación a Distancia. Desde la adolescencia tengo afición por las matemáticas.
Y eso, a ver si puedo robarte un poco de tu tiempo. Tengo la misma duda que tuvo Brandinton, y he leido este hilo un montón de veces, y al final he decidido escribirte.
Un saludo

Argentinator ahí se refiere a que no es posible acercarse por la izquierda de \( a \) si la función tiene dominio \( [a,b] \), ya que la función no está definida fuera de su dominio.

26 Octubre, 2019, 04:52 pm
Respuesta #6

feriva

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Hola, Marcos.


Esto del spoiler no vale

Spoiler

Una condición necesaria de la tangente a una curva es que siempre podamos tomar un trozo de dicha curva, tan corto como sea necesario, de manera que la tangente sólo toque en ese punto del trozo de curva sin cortarlo (sin atraversarlo, rozándolo).

Si existieran otras rectas que tocaran a la curva en ese punto sin cortarla tal como entendemos, la unicidad de la tangente sería difícil de asegurar, quizá habría que definir algo nuevo, considerar alguna restricción.... Como se ve en el dibujo, eso es lo que ocurre si pensamos en la recta “tangente” que pasa justo por un punto donde termina la curva, habría muchas que, sin atravesar la sección elegida de la curva, tocarían en el mismo punto.



Si dejamos un margen a ambos lados, eso no pasa; pues esas rectas ajenas cortarían, partirían en dos trozos, por pequeños o grandes que fueran, la porción de curva.
Y esos márgenes a ambos lados se representan así (a,b) como también así otras veces ]a,b[;

intuitivamente es eso.
[cerrar]

Lo que se pregunta, y lo que ocurre, es esto:



Lo cual es evidente por sí mismo.

Saludos.

27 Octubre, 2019, 03:27 pm
Respuesta #7

Marcos Castillo

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Hola feriva, Masacroso
Voy a imprimir este hilo y voy a preguntarle al tutor el martes. Os contaré
Un saludo
No man is an island (John Donne)

28 Octubre, 2019, 09:48 am
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Una condición necesaria de la tangente a una curva es que siempre podamos tomar un trozo de dicha curva, tan corto como sea necesario, de manera que la tangente sólo toque en ese punto del trozo de curva sin cortarlo (sin atraversarlo, rozándolo).

Si existieran otras rectas que tocaran a la curva en ese punto sin cortarla tal como entendemos, la unicidad de la tangente sería difícil de asegurar, quizá habría que definir algo nuevo, considerar alguna restricción.... Como se ve en el dibujo, eso es lo que ocurre si pensamos en la recta “tangente” que pasa justo por un punto donde termina la curva, habría muchas que, sin atravesar la sección elegida de la curva, tocarían en el mismo punto.



Si dejamos un margen a ambos lados, eso no pasa; pues esas rectas ajenas cortarían, partirían en dos trozos, por pequeños o grandes que fueran, la porción de curva.
Y esos márgenes a ambos lados se representan así (a,b) como también así otras veces ]a,b[;

intuitivamente es eso.

Esta idea intuitiva está MAL.

Si consideras la curva \( y=x^3 \), en el punto \( x_0=0 \) la tangente es la recta \( y=0 \) que corta en "dos trozos" a la curva igual que cualquier otra recta en ese punto.

La noción más intuitiva de tangente (o al menos una de ellas) es como límite de secantes. Es decir si fijamos un punto de una curva \( P_0=(x_0,f(x_0)) \) y consideramos otros puntos de la misma \( P_n=(x_n,f(x_n)) \) las rectas secantes \( P_0P_n \) se aproximan a la tangente cuando \( x_n  \)se aproxima a \( x_0 \).

Y no hay ningún problema para definir la noción de recta tangente en el extremo del dominio de una curva definida sobre un intervalo cerrado; no hay ningún problema para aplicar esa noción intuitiva ni la formalización analítica que hay detrás.

La razón más fuerte por la que no se exige derivabilidad en los extremos del intervalo en esos teoremas es la segunda que apuntaba argentinator: porque no hace falta.

Un motivo podría ser la definición de derivada, que necesita que uno se acerque a ambos lados del punto donde está calculando la derivada.
Si x = a, el extremo del intervalo, no puedo acercarme por izquierda en el límite del cociente incremental.

Aún así eso no sería mayor problema, porque uno podría aceptar que en el extremo la función sea derivable tan sólo por derecha, lo cual tiene sentido.

Así que el otro motivo que se me ocurre es que, para los teoremas que se están demostrando, es suficiente pedir continuidad en el intervalo para que el teorema sea cierto.
O sea, no hace falta pedir la condición más fuerte de derivabilidad, y el teorema es aún cierto.


Saludos.

28 Octubre, 2019, 12:13 pm
Respuesta #9

feriva

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Hola, Luis.


Esta idea intuitiva está MAL.

Si consideras la curva \( y=x^3 \), en el punto \( x_0=0 \) la tangente es la recta \( y=0 \) que corta en "dos trozos" a la curva igual que cualquier otra recta en ese punto.


Al igual que en las otras respuestas, e independientemente de cosas relacionadas, estaba viendo al revés la cuestión.

Seguro que tienes razón, pero, por aclararlo (porque quizá como lo digo se entiende otra cosa).

A lo que me refiero es a dos cosas en realidad: primero digo que dada una curva siempre podemos tomar un trozo tan pequeño como queramos (independientemente del que se considere después en un intervalo (a,b)) de tal forma que la tangente sólo toque en un punto al trozo. Tuve en cuenta eso, aunque yo no estaba pensando en la que pones, pero si estaba pensando en una función tipo la del seno, que la tangente puede tocar en varios máximos, sin embargo, puedo cortarla y quedarme sólo con una “onda”. Entonces, para poner la condición de que toque sólo en un punto, digo que siempre me puedo quedar con un trozo del tamaño necesario que sea (no infinitesimal, salvo una curva muy puñetera que no sé ni siquiera si se podría considerar normalmente). A ése es al trozo que me refiero yo. Así, puedo cortar en un punto dentro de (a,b) que esté cerca de “a”, lo que sea necesario para que la tangente no parta el “subtrozo”.

Ésa es la aclaración; y ahora una pregunta: con esa condición, ¿se puede hacer para y=x³ lo que digo? Porque he visto la gráfica en Wolfram y es tan recta por el centro que a lo mejor toca más de punto, no estoy seguro de ello; en cuyo caso mi restricción no sirve, claro. ¿Es posible que no se pueda elegir un trozo tan pequeño como se quiera -pero no infintesimalmente pequeño-  tal que la tangente siempre toque sólo en punto?

Hola otra vez, Luis.

Yo diría que en (0,0) existe la derivada, la función tangente, pero lo que es la recta en sí, no es tangente a la gráfica, (a la curva dibujada tal como está) es tangente por la simetría del lado convexo o bien del otro lado (por simetría al menos en un entorno cercano al punto) y por esa razón, intuyo (otra intuición) queda definida. ¿Puede tener sentido?




Saludos.