Autor Tema: Cada una de las caras de un triedro es menor que la suma de las restantes

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

07 Julio, 2009, 11:04 pm
Leído 1966 veces

zhiiniitho

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 3
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Estudiante de Pedagogía en Matemáticas
    • Jo
Demostración..

Cada una de las caras de un triedros es menor que la suma de las restantes.

Necesito demostrarlo pero no sé cómo..!

08 Julio, 2009, 07:35 am
Respuesta #1

EnRlquE

  • Lathi
  • Mensajes: 5,869
  • País: br
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola.

 Consideremos el triedro \( OABC \), supongamos que \( m\angle BOC=\alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} \), \( m\angle AOC=\beta \) y \( m\angle AOB=\theta \) como se muestra en la siguiente figura


 Mostremos por ejemplo que \( \alpha<\beta+\theta \), observa que bastara mostrar que \( \alpha_{1}<\beta \), pues análogamente se puede mostrar que \( \alpha_{2}<\theta \) y sumando se obtiene lo que queremos.

 Notemos también que si \( \beta\geq90^{\circ} \) la desigualdad que queremos es clara pues siempre \( \alpha_{1}<90^{\circ} \). Supongamos entonces que \( r=OP \) y \( \beta<90^{\circ} \), entonces \( OC=r\cos\alpha_{1} \), luego \( OA=\dfrac{OC}{\cos\beta}=r\dfrac{\cos\alpha_{1}}{\cos\beta} \), entonces en el triángulo rectángulo \( OAP \) tenemos que

\( 1<\dfrac{OA}{OP}=\dfrac{r\dfrac{\cos\alpha_{1}}{\cos\beta}}{r}=\dfrac{\cos\alpha_{1}}{\cos\beta} \),

de donde deducimos que \( \cos\beta<\cos\alpha_{1} \) y por tanto \( \alpha_{1}<\beta \) como queríamos mostrar.

Saludos.

10 Julio, 2009, 06:42 pm
Respuesta #2

zhiiniitho

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 3
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Estudiante de Pedagogía en Matemáticas
    • Jo