Autor Tema: Grupo de Automorfismos

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20 Mayo, 2009, 06:48 am
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Jorge klan

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Hola Amigos del foro

Se me a presentado la siguiente pregunta:

¿Puedo obtener explícitamente el grupo \( Aut(\mathbb{Z}_{n}\times \mathbb{Z}_{m}) \) o establecer un isomorfismo con algún grupo clásico?

Esta pregunta me surgió cuando estaba estudiando grupos como \( Hom(\mathbb{Z}_{n},\mathbb{Z}_{m}) \), \( Hom(\mathbb{Z}_{n}\times \mathbb{Z}_{m},\mathbb{Z}_{r}) \), \( Aut(\mathbb{Z}_{n}) \), etc... Algunos de estos los pude decucir, por ejemplo

\( Hom(\mathbb{Z}_{n},\mathbb{Z}_{m})=\{\phi_{a}\mid a\in \frac{m}{d}\mathbb{Z}\} \)

donde \( d=(n,m) \) y \( \phi_{a}(x):=ax \). también concluí que

\( Aut(Z_{n})=\{\phi_{a}\mid a\in U(\mathbb{Z}_{n})\} \)

Pude obtener algunas trivialidades de la pregunta que me propuse, por ejemplo, si \( (n,m)=1 \) estaríamos en el caso
 
\(
Aut(\mathbb{Z}_{n}\times \mathbb{Z}_{m})\cong Aut(Z_{nm}) \)

y este caso ya es conocido. También un resultado conocido es que

\( Aut(\mathbb{Z}_{p}\times \mathbb{Z}_{p})\cong GL_{2}(\mathbb{Z}_{p}) \)

donde \( p \) es primo.

Bueno espero sus opiniones

Saludos