Autor Tema: envases

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08 Mayo, 2009, 06:44 am
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plc

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necesito que alguien me ayude con el siguiente problema
El granjero Paul tiene muchos envases para leche de cada uno de los siguientes tamaños:

tanque - 10 galones
cubo - 2 galones
galon
pomo - 1/4 galón
pinta - 1/8 galón
vaso - 1/16 galón

dado un numero n positivo, 1 <= n <= 50, saber de cuantas formas puedo almacenar n galones
se que para 5 es 1308 pero me hace falta una formula para saberla para otros numeros

ejemplo, el granjero Paul puede almacenar la cantidad de un pomo de cuatro formas:

1: 1 pomo
2: 2 pintas
3: 1 pinta + 2 vasos
4: 4 vasos

08 Mayo, 2009, 10:01 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Si \( n \) es el número de galones y \( x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6 \) es el número de envaes de cada tipo utilizados para almacenarlos se tiene:

\(  10x_1+2x_2+x_3+\dfrac{x_4}{4}+\dfrac{x_5}{8}+\dfrac{x_6}{16}=n \)

 Se trata de contar el número de soluciones enteras positivas de esa ecuación.

 Equivalentemente de la ecuación:

\(  160x_1+32x_2+16x_3+4x_4+2x_5+x_6=16n \)

 Ahora el problema es totalmente análogo a éste:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=15141.0

Saludos.

08 Mayo, 2009, 02:50 pm
Respuesta #2

plc

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No entiendo esto
\( \dfrac{p^{100)}(0)}{n!} \)

si se calcular el factorial de n por supuesto pero lo que no entiendo es lo de arriba, por alguna casualidad es p elevado a 100 evaluado en 0, aunque creo que por entonces no daria 4562????

12 Mayo, 2009, 09:35 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 \( \dfrac{p^{100)}(0)}{n!} \)

 representa la derivada \( 100 \)-\'esima del polinomio p(x) evaluada en cero.

 En tu caso:

\(  p(x)=\dfrac{1}{(1-x^{160})(1-x^{32})(1-x^{16})(1-x^{4})(1-x^2)(1-x)} \)

 y tendrías que calcular para cada \( n \):

\(  \dfrac{p^{16n)}(0)}{(16n)!} \)

 Los cálculos no son fáciles ni con ayuda de un ordenador (son lentos). Habría que pensar un algoritmo para acelerarlos.

 Los primeros resultados para \( n=1,2,3,4,5,6 \) son:

\(  26,108,302,673,1308,2304 \)

Saludos.

12 Mayo, 2009, 04:40 pm
Respuesta #4

plc

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con que programa calculaste eso, porque solamente la primera derivada del polinomio con derive me queda grandisima, mira
(215·x^159 + x^158 + 3·x^157 + x^156 + 7·x^155 + x^154 + 3·x^153 + x^152 + 7·x^151 + x^150 + 3·x^149 + x^148 + 7·x^147 + x^146 + 3·x^145 + x^144 + 23·x^143 + x^142 + 3·x^141 + x^140 + 7·x^139 + x^138 + 3·x^137 + x^136 + 7·x^135 + x^134 + 3·x^133 + x^132 + 7·x^131 + x^130 + 3·x^129 + x^128 + 55·x^127 + x^126 + 3·x^125 + x^124 + 7·x^123 + x^122 + 3·x^121 + x^120 + 7·x^119 + x^118 + 3·x^117 + x^116 + 7·x^115 + x^114 + 3·x^113 + x^112 + 23·x^111 + x^110 + 3·x^109 + x^108 + 7·x^107 + x^106 + 3·x^105 + x^104 + 7·x^103 + x^102 + 3·x^101 + x^100 + 7·x^99 + x^98 + 3·x^97 + x^96 + 55·x^95 + x^94 + 3·x^93 + x^92 + 7·x^91 + x^90 + 3·x^89 + x^88 + 7·x^87 + x^86 + 3·x^85 + x^84 + 7·x^83 + x^82 + 3·x^81 + x^80 + 23·x^79 + x^78 + 3·x^77 + x^76 + 7·x^75 + x^74 + 3·x^73 + x^72 + 7·x^71 + x^70 + 3·x^69 + x^68 + 7·x^67 + x^66 + 3·x^65 + x^64 + 55·x^63 + x^62 + 3·x^61 + x^60 + 7·x^59 + x^58 + 3·x^57 + x^56 + 7·x^55 + x^54 + 3·x^53 + x^52 + 7·x^51 + x^50 + 3·x^49 + x^48 + 23·x^47 + x^46 + 3·x^45 + x^44 + 7·x^43 + x^42 + 3·x^41 + x^40 + 7·x^39 + x^38 + 3·x^37 + x^36 + 7·x^35 + x^34 + 3·x^33 + x^32 + 55·x^31 + x^30 + 3·x^29 + x^28 + 7·x^27 + x^26 + 3·x^25 + x^24 + 7·x^23 + x^22 + 3·x^21 + x^20 + 7·x^19 + x^18 + 3·x^17 + x^16 + 23·x^15 + x^14 + 3·x^13 + x^12 + 7·x^11 + x^10 + 3·x^9 + x^8 + 7·x^7 + x^6 + 3·x^5 + x^4 + 7·x^3 + x^2 + 3·x + 1)/((1 - x)^3·(x^2 + 1)·(x^2 - 1)^2·(x^4 - 1)^2·(x^15 + x^14 + x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)^2·(x^16 + 1)·(x^28 + x^24 + x^20 + x^16 + x^12 + x^8 + x^4 + 1)^2·(x^128 + x^96 + x^64 + x^32 + 1)^2)

no se si derive las calculo bien, tendria que volver acordarme de las derivadas ahora que hace rato yo no derivo, realmente necesito las 50 primeras soluciones nada mas.

13 Mayo, 2009, 09:09 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

 Lo hice con el Mathematica.

 Como ya te dije las cuentas son "tremendas" incluso con ordenador. El Mathematica se me queda bloqueado si intento resolverlo, para \( n>6 \).

 Habría que ver si hay un algún algoritmo que facilite los cáclulos. Tendré que investigarlo.

Saludos.