[chispi26]

tengo una preg sobre funciones que ando medio perdido

es verdad o no que justificar:
No existe ninguna función que sea creciente en todo su dominio y cuyo conjunto imagen sea R− (reales negativos) . (Dato: pensar en la noción de asíntota).

c) Toda función logarítmica de la forma f(x)=LOGa X  , donde a y x >0 y a es distinto de 1, corta al eje x=1.
cualq dato desee ya gracias
salu2
atte
alejandro.
alejandroramos_2@hotmail.com

a la gente en general si no se entendio mi consigna es pq no encotraba la forma de escribir los simbolos o para el caso del logaritmo a la gente que me aduvo preg. que no entendia bien el enunciado  tengo el enunciado en formato de imagen para que se entienda mejor lo que quiero saber como no lo puedo subir al foro pq no tiene la opcion de subir archivos adjuntos contactense a alejandroramos_2@hotmail.com para mandarles el enunciado tal cual esta salu2 y disculpen el inconveniente.

[Héctor Manuel]

Bienvenido chispi26.

Para la primera, es verdad.  Pero no entiendo cuál es el problema.  Simplemente definiendo \( f:[0,\infty)\rightarrow{\mathbb{R}} \) como \( f(x)=e^x-1 \).  Nota que su dominio es \( [0,\infty) \) y su imagen también.

Si quieres que la propiedad se cumpla en toda la recta, basta entonces con tomar \( g(x)=e^x \)

Para el segundo:

¿te refieres a que si corta a la recta vertical que pasa por el punto (1,0), o que cada una de esas funciones pasan por el punto (1,0)?

Para los dos la respuesta es si por la misma razon.
Primero, el significado del simbolo \( log_ab=c \) es que \( b,c \) cumplen que \( a^c=b \).  Luego, para \( c=0 \) se tiene que \( b=1 \) (pues \( a>0 \)).  Luego, sin importar el valor de \( a \) se tiene \( log_a1=0 \), asi que f(1)=0, por lo que cualquiera de esas funciones pasa por el punto (1,0) que pertenece al eje X.

Saludos

[Jjjuan]

Buenas,
Disculpas Hector, ¿no habrá querido usted decir que la afirmación primera es Falsa, poniendo como contra ejemplo: \( f:(-\infty,0)\rightarrow{\mathbb{R^-}} \), con la misma \( f(x)=e^x-1 \)? Supongo que solo es una cuestión de enunciado. Saludo

[Héctor Manuel]

No.  Lo que dije es correcto.  Formalmente hablando, la funciòn \( f:[0,\infty)\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=e^x-1 \) es diferente de la función \( g:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( g(x)=e^x-1 \).  Esto es porque aunque las dos tienen la misma regla de asociación, los dominios son diferentes.  En la primera no tiene sentido hablar de \( f(-1) \) (aunque el número \( e^{-1}-1 \) exista), pues no -1 no está en el dominio.

Por eso es que mi argumento es matemáticamente correcto, ya que no pides qué dominio quieres.  En caso contrario, pueden suceder varias cosas:

1)Si el dominio puede ser cualquier conjunto, entonces la solución es la que propongo, pues claramente \( f \) es creciente y su imagen es \( [0,\infty) \).

2)Si el dominio debe ser toda la recta real, que tal vez sea el caso que quieres analizar, entonces con esta idea verificas que existe dicha función:

\( h(x)=\begin{Bmatrix} e^x-1 & \mbox{ si }& x\geq{0}\\0 & \mbox{si}& x<0\end{matrix} \)

Claramente es una función, de hecho continua, que es creciente (ojo: no es estrictamente creciente) cuya imagen es \( [0,\infty) \).

3)Si el dominio debe ser toda la recta real, y la función debe ser creciente estricta, entonces no se puede.
En efecto:   supongamos que si. Sea \( h \) dicha función.  Como 0 está en la imagen de\( h \), entonces existe un \( x\in{\mathbb{R}} \) (que es dominio) tal que \( h(x)=0 \).  Como \( h \) es creciente estricta, esta \( x \) es única.  Sea \( y\in{\mathbb{R}} \) con \( y<x \). Como \( y \) está en el dominio, entonces \( h(y) \) existe.  Pero al ser \( h \) estrictamente creciente, se ha de cumplir que \( h(y)<h(x)=0 \), lo que contradice la definción de la imagen.  Luego, no puede existir dicha función.

Saludos

[Jjjuan]

No termino de comprender lo suyo. Su conclusión es que la afirmación: "No existe ninguna función que sea creciente en todo su dominio y cuyo conjunto imagen sea R− (reales negativos)." ¿Es verdadera? Yo digo que es falsa, dando el contraejemplo que puse antes, o el que escribo abajo.
En cuanto a 3) ¿no cumple acaso \( -e^{-x} \) la condición de ser creciente estricta y negativa para todo valor real?
Lo digo con todo respeto Hector, quizá no he entendido la forma de expresar su argumento.
Un saludo

[Héctor Manuel]

jajaja... ya veo.  Es que estaba entendiendo lo siguiente:  la imagen debe ser \( \mathbb{R}-(-\infty,0] \), pues yo lo que escribiste, a falta del uso de Latex, es \( \mathbb{R} \) menos los reales negativos.  Es decir, a todo el conjunto de reales quitarle todos los negativo.  Pero entonces lo que quieres es que la imagen sea \( (-\infty,0) \) (sin el 0).  Jajaja, este ya es otro problema.

Antes una aclaraciones de formalismo.  Hay textos en los que dice, por ejemplo, el dominio de la funciòn exponencial (\( f(x)=e^x \)) es toda la recta real.  Pero eso no se debe entender literalmente.  Eso lo que significa es que el dominio máximo de definición es toda la recta real.  O sea que ese valor existe para cualquier real.  Sin embargo, el dominio que tu quieras elegir no tiene que coincidir con el máximo de defnición.  De hecho, lo que se debe cumplir siempre es que el dominio que elijas sea subconjunto del dominio máximo.  Por ejemplo, para \( f(x)=\sqrt[ ]{x} \) el dominio máximo de definiciòn es \( [0,\infty) \).  Esto significa que la raíz de un número solo existe si ese número es mayor o igual que cero.  Pero puedes elegir tú cualquier subconjunto de ese intervalo como dominio.  Por ejemplo puedes pedir que tu dominio sea solamente el intervalo (1,2) y entonces estás diciendo que tu función solo toma su argumento en el (1,2); aunque exista la raíz de 3, la función no puede evaluarse ahí, por que tu pediste que tu dominio solo fuera el (1,2).

Mientras tanto:
Usando los mismos casos que utilicé:
1) Nos basta tomar la función \( f:(0,\infty)\rightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \( f(x)=-\displaystyle\frac{1}{x} \).  Intenta probar que esta función sirve en este caso.  Nota que el domino máximo de definición es toda la recta sin el 0, pero nosotros solo queremos que sean los reales positivos, pues ahí se cumple lo que nos están pidiendo.

2,3) Se soluciona con el ejemplo que estás dando en tu anterior mensaje. Pues al ser estrictamente creciente, entonces es creciente así que funciona para ambos casos.

Saludos.
PD: Para evitar este tipo de confusiones lee el manual de Latex.  Date cuenta de que llevamos 5 posts para contestar una duda que de haber sido bien escrita, hubiera salido en uno solo.