Hola amigos del foro, espero que me puedan ayudar con 2 problemas que tengo
\( 1. \) Pruebe que el conjunto de todas las rectas no verticales que pasan por el punto \( (0,1) \) no es numerable
Bueno en este ejercicio intenté algo y me gustaría que me ayudaran a complementar la idea. Lo que hice fue pensar en el conjunto
\( S_{1}:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+(y-1/2)^{2}=(1/2)^{2}\}- \{(0,0)\} \)
dibujé una circunferancia de radio \( 1/2 \) y con "polo norte" \( (0,1) \), lo cual se me vino a la mente la superficie de Riemann, o sea, que al trazar una recta por el polo norte ésta me genera una biyección entre \( S_{1} \) y \( \mathbb{R} -\{0\} \) y a la vez con \( L \) (conjunto de rectas no verticales que pasan por el \( (0,1) \)).
Lo que se me complica es hacer la biyección explícitamente, para probar que \( L \) no es numerable, pues es biyectivo con \( \mathbb{R} - \{0\} \).
\( 2 \) Pruebe que el conjunto de todas las rectas no verticales que pasan por el punto \( (0,1) \) y cortan al eje \( 0X \) en una coordenada racional es un conjunto numerable
Mi idea es análoga al anterior, pero ahora tendremos que \( L \) es biyectivo a \( \mathbb{Q} - \{0\} \)
Me ayudaría bastante sus opiniones
Saludos
PD: Si tienen una idea más elemental de resolver estos problemas, me vendría de lujo, ya que lo tengo que enseñar a personas que están en primer año de Universidad, y por tanto no poseen tantas herramientas
