Autor Tema: Sobre numerabilidad de conjuntos

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04 Mayo, 2009, 01:46 am
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Jorge klan

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Hola amigos del foro, espero que me puedan ayudar con 2 problemas que tengo

\( 1. \) Pruebe que el conjunto de todas las rectas no verticales que pasan por el punto \( (0,1) \) no es numerable

Bueno en este ejercicio intenté algo y me gustaría que me ayudaran a complementar la idea. Lo que hice fue pensar en el conjunto

\( S_{1}:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+(y-1/2)^{2}=(1/2)^{2}\}- \{(0,0)\} \)

dibujé una circunferancia de radio \( 1/2 \) y con "polo norte" \( (0,1) \), lo cual se me vino a la mente  la superficie de Riemann, o sea, que al trazar una recta por el polo norte ésta me genera una biyección entre  \( S_{1} \) y \( \mathbb{R} -\{0\} \)  y a la vez con \( L \) (conjunto de rectas no verticales que pasan por el \( (0,1) \)).

Lo que se me complica es hacer la biyección explícitamente, para probar que \( L \) no es numerable, pues es biyectivo con \( \mathbb{R} - \{0\} \).

\( 2   \) Pruebe que el conjunto de todas las rectas no verticales que pasan por el punto \( (0,1) \) y cortan al eje \( 0X \) en una coordenada racional es un conjunto numerable

Mi idea es análoga al anterior, pero ahora tendremos que \( L \) es biyectivo a \( \mathbb{Q} - \{0\} \)

Me ayudaría bastante sus opiniones

Saludos

PD: Si tienen una idea más elemental de resolver estos problemas, me vendría de lujo, ya que lo tengo que enseñar a personas que están en primer año de Universidad, y por tanto no poseen tantas herramientas

04 Mayo, 2009, 02:53 am
Respuesta #1

Héctor Manuel

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Tal vez no estoy entendiendo bien el problema. En ambos casos me parece que es el mismo.  A escepcion de la  recta y=1, todas las rectas no verticales que pasan por el (0,1) son las mismas que cortan al eje OX

En todo caso, y repito que tal vez no veo bien el problema, ambos problemas constituyen conjuntos no numerables.

Geométricamente, por cada recta no vertical puedes establecer la biyección tal que a cada una de ellas le asocia su pendiente.  Esta serà una biyección, ya que cada recta queda determinada únicamente por un punto por el que pasa y una pendiente, y al tener todas el mismo punto en comùn, la familia de rectas que buscan se diferencian entre ellas solo por la pendiente.  Como hay tantas pendientes como números reales, tienes el resultado.

Saludos

04 Mayo, 2009, 03:01 am
Respuesta #2

Jorge klan

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Hola hector manuel, gracias por tu pronta respuesta...

Tienes razón me faltó porner algo más en el ejercicio 2 ahí lo corregí. Creo que me estaba complicando más de la cuenta con los ejercicios ya que me tomé la siguiente biyección

\( f:\mathbb{R}-\{0\}\longrightarrow{} L \)

donde \( f(t)=1-\frac{x}{t} \). Que es lo mismo que me dices tú. La dos es totalmente análoga.

Saludos