ZFC MK MK 
NBGLa motivación principal de este thread es que haya en el foro del rinconmatematico una lista con los sistemas axiomáticos estándar de conjuntos, enunciados en forma precisa, usando los signos y convenciones que se usan actualmente en la teoría moderna de lenguajes formales y lógica matemática.
Además se procura dejar una explicación intuitiva de lo que significa cada axioma.
No está demás discutir el porqué de dichas teorías, me parece que está bien hablar un poco de eso acá.
Si el debate se abre demasiado por otras ramas, se puede separar en otro hilo.
Te cuento cuál es mi impresión sobre las teorías de conjuntos tal como están especificadas actualmente.
Me ha quedado un post muy largo, pero no lo puedo reducir.
Me parece que todo lo que te voy a decir forma parte del panorama que explica por qué no hay una teoría unificada.
El creador de la teoría de conjuntos es George Cantor, un poco antes del año 1900.
El señor Cantor consideraba a los conjuntos como "colecciones" de cualquier cosa, en un sentido intuitivo.
Él no había dado una definición concreta de "conjunto" o de "clase", o de "elemento".
Sin embargo, el uso intuitivo y sin restricciones de la idea "intuitiva" de conjunto como una colección, conduce a paradojas inaceptables, como Bertrand Russell mostró con sus clásicos ejemplos.
No puede existir un conjunto que contenga a todos los conjuntos, pues debiera contenerse a sí mismo, y esto conduce a paradojas.
(A lo mejor sería bueno dejar fijo también un hilo donde se enumeren las paradojas clásicas de la lógica y la teoría de conjuntos).
Los matemáticos de los años 1900 reaccionaron de diversas formas ante la teoría de conjuntos.
Russell mostró que había paradojas, Hilbert simpatizaba enormemente con las ideas de Cantor, y sostuvo que valía la pena considerar a los conjuntos como parte fundamental de la matemática, y bastaba para ello andarse con cuidado para evitar paradojas.
Hubo otros matemáticos que se resistieron a Cantor considerando que su teoría era algo descabellado, o que de matemática no tenía nada.
El hecho es que los "conjuntos" sobrevivieron.
Pero para ello es necesario considerar que ciertas "clases" no son "conjuntos".
Es una distinción algo arbitraria, pero es un
requisito técnico ineludible, porque la matemática no puede darse el lujo de ser
autocontradictoria.
Todo esto muestra que, históricamente, la formalización de la teoría de conjuntos surgió como una
necesidad técnica ante todo, y fue posterior a su "implantación" inicial en el mundo matemático. Al principio se usaba sin formalización, o poca formalización, o con formalizaciones incompletas, o erróneas, o autocontradictorias.
Los matemáticos de aquellos tiempos en torno al 1900 y posterior, se preguntaban cuál era el mejor fundamento para la teoría de conjuntos. Eso requiere discutir cuáles son todos los axiomas necesarios para sostener el trabajo de los matemáticos, y a su vez asegurarse de que no haya paradojas.
Cuando los axiomas son demasiado potentes o arriesgados, afirman demasiado, y llega un momento que se obtiene una contradicción, o un disparate.
Si los axiomas dicen demasiado poco, entonces no alcanza para usar a la teoría de conjuntos como lenguaje para toda la matemática existente.
Un equilibrio entre ambos requisitos es un asunto muy delicado.De esta manera surgen varios enfoques distintos, y teorías alternativas, según el resultado del esfuerzo de cada investigador.
Los sistemas ZFC, NBG y MK son, hasta donde yo sé, los sistemas más estandarizados, y que uno puede usar en el trabajo matemático.
Unificar las teorías es algo deseable... pero también es deseable investigar alternativas.
Así como antes había una sola geometría, la euclidiana, y luego surgieron las variedades,
también con la teoría de conjuntos se pueden estudiar sistemas alternativos.
La diferencia está en que los conjuntos se usan como lenguaje de la matemática.
No son una teoría más. También está en relación estrecha con la lógica misma, y los detalles a veces se mezclan.
Los conjuntos se meten hasta los tuétanos en la matemática, así que hay que ir con cuidado acerca de lo que se permite ser conjunto, y lo que no, etc.
Con respecto a la consistencia de "una teoría de conjuntos dada", está el teorema de Godel para decirnos que jamás podremos probar si una tal teoría es consistente.
Estamos un poco en tinieblas con eso.
Pero eso no nos autoriza a poner cualquier cosa como axioma, porque dentro de nuestro conocimiento, debemos evitar las fuentes de inconsistencia.
Una teoría de conjuntos inconsistente significa dejar
toda la matemática inútil.
Es peor que el acelerador de partículas LHC.
Me parece que
no hay una teoría completamente unificada porque el campo de los fundamentos de la matemática y la teoría de conjuntos
es aún un tema de investigación en desarrollo.
El problema no es unificar y punto, sino que la gente no se pone de acuerdo sobre cuál debiera ser ese sistema único.
Es un gran logro tener tan sólo 3 teorías de conjuntos.
Cada una de esas teorías
ha unificado unas cuantas otras variantes que antes han sido propuestas por muchos investigadores.
Quizá algún día haya una sola teoría estándar fijada de una vez por todas, pero parece que no hay mucho apuro por eso.
Como ya se ha discutido unos posts antes, según explica Ivorra, el sistema ZFC se puede considerar como un subsistema de NBG o MK.
Sin embargo, cuando hablamos de
conjuntos y no de
clases, ambos sistemas prueban los mismos teoremas.
Lo que es cierto en uno, es también cierto en el otro.
Creo que eso te está dando bastante
unificación de teorías.
No hay peligro en considerar una u otra, porque en el trabajo matemático cotidiano ambas teorías conducen a los mismos resultados.
La diferencia está en las clases propias.
En la teoría ZFC las clases no existen. Esto es así porque se usan construcciones o enfoques "menos arriesgados" desde el punto de vista lógico.
Si alguna vez se probara que la teoría MK es inconsistente, aún tendríamos a mano la teoría ZFC, que prueba los mismos teoremas, pero que todavía tendría la chance de ser consistente, matemáticamente válida.
Sin embargo la teoría MK sobrevive porque mediante el "truquillo" de usar clases y conjuntos permite a los matemáticos trabajar de una manera más clara para ellos, sin tener que involucrarse en las restricciones expresivas que le impone la teoría ZFC.
Para ser más explícito.
Las
propiedades de los elementos x, NO SON ELEMENTOS básicos de la teoría de conjuntos.
No hay
propiedades.
En el lenguaje formal que se usa para la teoría de conjuntos, lo que se usa son fórmulas genéricas que actúan sobre variables.
Estas fórmulas se construyen en base a reglas mecánicas bien precisas.
De esta manera, los "conceptos" ya no son parte de la matemática.
Se han sustituido las "propiedades" por fórmulas vacías sin significado.
Ahora bien, ZFC trabaja exclusivamente con fórmulas (lógicas) actuando sobre cierta variable x, y uno las interpreta intuitivamente como "propiedades", pero son sólo signos encadenados sin significado previo.
En la teoría MK dada una fórmula (de la lógica formal) F(x), se introduce el Axioma de que "existe una clase C_F tal que sus elementos son todos aquellos que hacen verdadera la fórmula lógica F(x)".
El Axioma de Formación de clases no es, pues, un solo Axioma, sino una familia de infinitos axiomas, uno por cada fórmula F(x) que uno es capaz de construir.
En este momento, una fórmula dada F(x) se identifica con una clase, y entonces se puede hablar de la propiedad F, porque hay una clase C_F en el sistema que tiene una correspondencia directa con la fórmula F.
Así que en MK sí se puede hablar de propiedades.
Y es por esto que es difícil decidirse por ZFC o MK.
Si nos quedamos con MK, tenemos más riesgos de inconsistencia, pero lo bueno es que podemos hablar de propiedades, incluso cuantificar indirectamente sobre
propiedades, pues podemos cuantificar sobre las "clases" que definen esas
propiedades.
Con ZFC no podemos cuantificar sobre todas las propiedades (siempre de manera indirecta), sino sólo en aquellas que definen o determinan un conjunto (Axiomas de Especificación y de Reemplazo, no hay Axioma de Formación de "conjuntos").
La teoría ZFC hace "malabarismos" para evitar las clases propias, porque suponen una fuente posible de contradicciones.
Pero es una teoría que hace falta tener en cuenta, porque es
menos inconsistente...
A continuación hablaré de tus ideas de elementos y propiedades...
