Voy a dar una primera aproximación,
Un lenguaje del primer orden, es una extensión de la lógica proposicional, a la que se agregan los cuantificadores, los cuantificadores, en este lenguaje, solo se pueden aplicar sobre variables de individuo (no se permite \( \forall{P} \) donde P es un predicado).
Con esta lógica se puede hacer casi todo, además está respaldada por los teoremas de completitud y de corrección.
Una fórmula en lenguaje del primer orden sería:
\( \forall x \exists yP(x,y) \)
Por supuesto que una fórmula proposicional sin cuantificadores, también pertenecería a este lenguaje.
La siguiente fórmula, no es una fórmula bien hecha (fbh) en LPO:
(1)\( \forall X (X0 \wedge \forall y(Xy \rightarrow X(sig(y)))\rightarrow \forall xXx) \)
Sin embargo, la fórmula aludida (1), es una fbh en un lenguaje del segundo orden.
Pero (1) es, nada menos que la formalización del principio de inducción completa.
Saludos.