Autor Tema: Triángulo equilátero

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16 Marzo, 2009, 04:31 pm
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Ranhia

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    Hola:

 Me gustaria ver si alguien me puede ayudar a demostrar lo siguiente:

 Al dibujar un triángulo considerando un segmento AB de medida cualquiera, dibujo una circunferencia de centro A y radio AB. Del mismo modo dibujo otra circunferencia de centro B y radio AB. Luego ambas circunferencias se intersectan en el punto C y D; (pero consideremos solo el punto C); al unir los puntos AC y BC se forma un triángulo, el cual es equilado ya que todos sus lados son iguales al ser estos radios de circunferencias de igual radio.

 El problema es que no se como justificar que todos los ángulos son iguales, para que de este modo sea un triángulo equilátero.

 Desde ya agradezco cualquier aporte, gracias  :-*


16 Marzo, 2009, 04:54 pm
Respuesta #1

craneolito

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Hola

Hace mucho que no veo geometria metrica.
Pero recuerdo un teorema que decia algo así:
A mayor lado, mayor angulo opuesto
y vise versa
A mayor angulo, mayor lado opuesto

Espero que por lo menos te de una idea de como
llegar a demostrar tu caso.

16 Marzo, 2009, 10:34 pm
Respuesta #2

Ranhia

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   Hola craneolito, muchas gracias ya me diste una idea . . . se me habia olvidado eso . . .  :D

 Gracias que estes bien  :-*

16 Marzo, 2009, 11:31 pm
Respuesta #3

Pablo007

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O si quieres, puedes berlo con el siguiente rasonamiento :
Sea \( $ H $ \) la projection orthogonal de \( $ C $ \) sobré \( $ (AB) $ \) :
Tenemos :
\( $ \widehat{ABC} + \widehat{ACB} + \widehat{BAC} = 180 $ \)
Por otra parté :
\( $ \widehat{BAC} + \widehat{ACH} + \widehat{AHC} = 180   $ \)
i.e :
\( $ \widehat{BAC} + \widehat{ACH} + 90 = 180   $ \)
i.e :
\( $ \widehat{BAC} + \widehat{ACH} = 90 $ \)
Por otra parté :
\( $ \widehat{ABC} + \widehat{HCB} + \widehat{CHB} = 180   $ \)
i.e :
\( $ \widehat{ABC} + \widehat{HCB} + 90 = 180   $ \)
i.e :
\( $ \widehat{ABC} + \widehat{HCB} = 90 $ \)
Por otra parté :
\( $ \widehat{ACH} + \widehat{HCB} = \widehat{ACB} $ \)
Asta aqui, todo esta claro no ?
Tienes en tu cuenta : \( $ 4 $ \) ecuaciones :
\( $ \widehat{ACH} + \widehat{HCB} = \widehat{ACB} $ \)
\( $ \widehat{ABC} + \widehat{ACB} + \widehat{BAC} = 180 $ \)
\( $ \widehat{BAC} + \widehat{ACH} = 90 $ \)
\( $ \widehat{ABC} + \widehat{HCB} = 90 $ \)
Ahora es facil de deducir por ejemplo , el angulo : \( $ \widehat{ABC} $ \) resolviendo esta systema de \( $ 4 $ \) ecuaciones !
Si no sabes continuar sola ! dimelo !
Un saludo !  ;D