Autor Tema: intersección de tres conjuntos

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30 Marzo, 2009, 05:38 am
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Jorge klan

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Hola

Tengo una duda acerca de una cardinalidad de conjuntos. El problema es el siguiente: Me dan datos a cerca de tres conjuntos y me piden calcular la cardinalidad de la intersección, mi pregunta es la siguiente: Si

\( |A|=90\quad;\quad |B|=65\quad;\quad|C|=70\quad;\quad|A \cap B|=30\quad;\quad|A \cap C|=15 \)

Entonces, calcule

\( |A \cap B \cap C | \)

Debo resolverla con recursos básicos, ya que es para unos alumnos de primer año de universidad.

Estaba tratando con la relación

\( |(A\cap B) \cup C| = |(A\cap B)| + |C| - |A \cap B \cap C| \)

pero me voy por las ramas y no concluyo mucho. Espero sus opiniones

Saludos

30 Marzo, 2009, 06:10 am
Respuesta #1

Pablo007

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Hola "Jorje" :  ;D
Haber si esto puede ayudarte un poco o no :
\( $ |A \bigcup B \bigcup C | = |A| + |B| + |C| - |A  \bigcap B| - |A \bigcap C| - | B \bigcap C | + |A \bigcap B \bigcap C | $ \)
Un saludo !  ;D

30 Marzo, 2009, 06:10 am
Respuesta #2

Pablo007

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Tienes a estos :
\( $ |A| $ \) , \( $ |B| $ \) , \( $ |C|$ \)  , \( $ |A  \bigcap B| $ \) , \( $ |A \bigcap C| $ \) ,  \( $ |A \bigcap B \bigcap C | $ \)
Te queda hallar a estos :
\( $ |A \bigcup B \bigcup C | $ \) y \( $ | B \bigcap C | $ \)
Entonces :
\( $ |A \bigcap B \bigcap C | = - |A| - |B| - |C| + |A  \bigcap B| + |A \bigcap C| + | B \bigcap C | + |A \bigcup B \bigcup C | $ \)
Yo aun no tengo la solucion !  :-\  ;D
Un saludo !  ;D

30 Marzo, 2009, 06:25 am
Respuesta #3

Jorge klan

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Gracias pablo007!!!

Estuve trabajando apartir de lo que mostré y como daba algo demasiado engoroso (para chicos de primer año), pensé que  debía ser más fácil, luego recurri a lo típico

http://es.wikipedia.org/wiki/Cardinal_de_una_uni%C3%B3n_de_conjuntos

De verdad se agradece tu ayuda, es de gran aporte

Saludos

PD: Con la "fórmula" basta, el cálculo es lo de menos

30 Marzo, 2009, 06:29 am
Respuesta #4

Pablo007

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30 Marzo, 2009, 06:30 am
Respuesta #5

EnRlquE

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Hola.

 Lo que ocurre es que con los datos del problema no es posible dar con el cardinal de \( A\cap B\cap C \), pues por ejemplo si

\( |A\setminus (B\cup C)|=50,\;|B\setminus (A\cup C)|=30,\;|C\setminus (A\cup B)|=50 \)

\( |(A\cap C)\setminus B|=10,\;|(A\cap B)\setminus C|=25,\;|A\cap B\cap C|=\color{blue}5 \) y \( |(B\cap C)\setminus A|=5 \)

 Se verifican todas las condiciones del problema, pero lo mismo ocurre si

\( |A\setminus (B\cup C)|=55,\;|B\setminus (A\cup C)|=30,\;|C\setminus (A\cup B)|=50 \)

\( |(A\cap C)\setminus B|=5,\;|(A\cap B)\setminus C|=20,\;|A\cap B\cap C|=\color{blue}10 \) y \( |(B\cap C)\setminus A|=5 \)

 Luego no podemos encontrar un único valor para \( |A\cap B\cap C| \).

Saludos.

18 Abril, 2009, 02:34 am
Respuesta #6

Teón

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Si bien no podemos calcular un valor único para:

\( \left |{A\cap B \cap C}\right | \)

Pero de acuerdo a los valores dados se puede dar el caso en que:

\( {A \cap C} \subset B \)

Y en tal caso

\( \left |{A\cap B \cap C}\right |=15 \)

Contrariamente puede darse:

\( B \cap C=\emptyset \)

Y en tal caso:
\( \left |{A\cap B \cap C}\right |=0 \)

Luego se tiene:
\( 0 \leq \left |{A\cap B \cap C}\right |\leq 15 \)
Eram quod es, eris quod sum.