Autor Tema: Hipótesis del continuo

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

18 Marzo, 2009, 06:25 am
Leído 7292 veces

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,725
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Paul Cohen probó que existe algún modelo de la teoría de conjuntos, con los axiomas ZFC, tal que la hipótesis del continuo es falsa en dicho sistema.

O sea que en ese modelo, existe un conjunto con cardinal intermedio entre los naturales y los reales.

La cuestión es que estoy demasiado acostumbrada a ver la teoría de conjuntos como una herramienta, y me cuesta entender el contexto, las reglas del juego en este terreno de los modelos y las diferentes axiomáticas.

Por otro lado, quisiera saber cuál es ese modelo en donde la HC es falsa, y en ese caso, cuál es ese dichoso conjunto (si es que puede darse uno) que cumple esa propiedad de cardinalidad intermedia entre N y R.

¿Puede esto explicarse de modo sencillo y natural para que los mortales lo entendamos?
¿Alguien sabe?



18 Marzo, 2009, 06:31 am
Respuesta #1

jonatan

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 86
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
estoy totalmente de acuerdo.
Las matemáticas no mienten, lo que hay son muchos matemáticos mentirosos.
 Henry David Thoreau

18 Marzo, 2009, 06:36 am
Respuesta #2

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,725
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)

18 Marzo, 2009, 08:10 pm
Respuesta #3

Fernando Revilla

  • "Há tantos burros mandando em homens de inteligência, que, às vezes, fico pensando que a burrice é uma ciência." -Antonio Aleixo.
  • Administrador
  • Mensajes: 12,253
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • "Las matemáticas son demasiado humanas."- Brouwer
    • Fernando Revilla
Por otro lado, quisiera saber cuál es ese modelo en donde la HC es falsa, y en ese caso, cuál es ese dichoso conjunto (si es que puede darse uno) que cumple esa propiedad de cardinalidad intermedia entre N y R.

¿Puede esto explicarse de modo sencillo y natural para que los mortales lo entendamos?
¿Alguien sabe?

La cuestión es que un sistema formal es consistente si y solo sí, el sistema tiene un modelo. No sabemos si \( ZF \) es consistente, solo lo intuimos. Dado que ni \( HC \) ni \( \sim{(HC)} \) son teoremas ni de \( ZF(C) \) ni de \( ZF(\sim{C}) \) el hipotético modelo al que te refieres no  le conocemos, caso contrario estaría demostrado que \( ZF \) es consistente.

Saludos.

18 Marzo, 2009, 08:36 pm
Respuesta #4

Jabato

  • Visitante
Eso, que nos lo expliquen, porque yo me acabo de enterar que ZF no es consistente. ¿Existe algún modelo de TC que sea consistente? Entre paradojas y axiomas, no sabe uno realmente por donde tirar.

Que lío con las teorías axiomáticas de conjuntos.

Saludos, Jabato. ???

18 Marzo, 2009, 09:00 pm
Respuesta #5

Fernando Revilla

  • "Há tantos burros mandando em homens de inteligência, que, às vezes, fico pensando que a burrice é uma ciência." -Antonio Aleixo.
  • Administrador
  • Mensajes: 12,253
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • "Las matemáticas son demasiado humanas."- Brouwer
    • Fernando Revilla
Eso, que nos lo expliquen, porque yo me acabo de enterar que ZF no es consistente.

No será porque lo he dicho yo. Nadie ha demostrado que \( ZF \) es consistente, que no es lo mismo que no lo sea. De la misma manera que nadie ha demostrado que la aritmética de Peano lo sea, ni nadie lo demostrará dentro del propio sistema.

Saludos.

18 Marzo, 2009, 09:26 pm
Respuesta #6

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,725
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)

Será que no entiendo la teoría de modelos.
Porque resulta que supuestamente la metamatemática es tan simple que debiera convencer a cualquier matemático, pero cada vez que me pongo a leer sobre el tema, me enredo en las ristras de signos, y llega un momento que no entiendo más nada.
Como sea, culpar a otros de mi incapacidad no es en lo que me quiero enfocar...

La cuestión que quiero entender es esta.
Supongamos que una teoría T es consistente.
Supongamos que una afirmación A no es demostrable en T.
Supongamos que tanto A como no-A son compatibles con T, dando teorías consistentes T1 y T2.
¿Existen modelos de las teorías T1 y T2? Parece ser que la respuesta a esto es sí, porque una teoría es consistente si y sólo si tienen un modelo.

Ahora supongamos que no sabemos si T es consistente.
Supongamos que hemos mostrado un modelo tanto para T1 o para T2.
¿Esto prueba que T es consistente?
Yo creería que son cosas que no están relacionadas.

Nada impide que yo exhiba un modelo concreto que satisfaga ciertos axiomas.

Lo pongo más gráfico.
El axioma P de las paralelas es compatible con el resto de los axiomas de la geometría, que llamamos teoría G.
Pero no-P también es compatible con G.
De manera que P es indecidible en G.

Sin embargo, existen ejemplos bien concretos de G+P y de G+no-P, se trata de las variedades planas en el primer casa, y las variedades con curvatura en el segundo caso.
Eso no afecta nada a nuestro conocimiento sobre si los axiomas de la geometría son consistentes o no.

¿Por qué no ocurre lo mismo con la hipótesis del continuo?
¿No puedo pensarlo como un axioma del tipo ''de las paralelas'', y exhibir modelos que lo cumplan, y otros que no lo cumplan?
¿Por qué eso tiene que afectar a la consistencia de los axiomas de la teoría de conjuntos?
No le veo la relación.



18 Marzo, 2009, 09:39 pm
Respuesta #7

topo23

  • $$\Large \color{#c88359}\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 937
  • Karma: +0/-0
Segun algunos links

http://www.ii.com/math/ch/
http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis

argentinstor tiene razon, nada impide hacer otra TC que tenga HC o ~HC.
.

18 Marzo, 2009, 10:36 pm
Respuesta #8

Fernando Revilla

  • "Há tantos burros mandando em homens de inteligência, que, às vezes, fico pensando que a burrice é uma ciência." -Antonio Aleixo.
  • Administrador
  • Mensajes: 12,253
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • "Las matemáticas son demasiado humanas."- Brouwer
    • Fernando Revilla
Supongamos que una teoría T es consistente.
Supongamos que una afirmación A no es demostrable en T.

Bien, si \( T \) es un sistema de primer orden consistente y \( \mathcal{A} \) es una fórmula bien formada y cerrada que no es un teorema de \( T \), entonces, \( T^* \) es consistente, siendo \( T^* \) la extensión de \( T \) obtenida incluyendo \( \sim{\mathcal{A}} \) como axioma adicional.

Citar
Supongamos que tanto A como no-A son compatibles con T, dando teorías consistentes T1 y T2.
¿Existen modelos de las teorías T1 y T2? Parece ser que la respuesta a esto es sí, porque una teoría es consistente si y sólo si tienen un modelo.

Interpreto que quieres decir que \( \mathcal{A} \) y  \( \sim{\mathcal{A}} \) no son teoremas de \( T \). En tal caso, es cierto que  \( T_1 \) y \( T_2 \) serían consistentes.

Citar
Ahora supongamos que no sabemos si T es consistente.
Supongamos que hemos mostrado un modelo tanto para T1 o para T2.
¿Esto prueba que T es consistente?

Si, por ejemplo si \( T \) fuera inconsistente, existiría fórmula bien formada  \( \mathcal{A} \) tal que \( \mathcal{A} \) y \( \sim{\mathcal{A}} \) serian teoremas de \( T \) y en consecuencia de \( T_1 \) al contener todos los axiomas de \( T \), en contradicción con ser \( T_1 \) consistente.

Saludos.

19 Marzo, 2009, 04:51 am
Respuesta #9

argentinator

  • Consultar la FIRMAPEDIA
  • Administrador
  • Mensajes: 7,725
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
  • Vean mis posts activos en mi página personal
    • Mis posts activos (click aquí)
Eso, que nos lo expliquen, porque yo me acabo de enterar que ZF no es consistente. ¿Existe algún modelo de TC que sea consistente?

Ja, ja. ¿No te habías enterado? Hace más de 70 años que la matemática anda en bambalinas.  >:D

Godel demostró metamatemáticamente, que ninguna teoría que contenga a un sistema con las propiedades de los números naturales puede tener una prueba de consistencia.
Un sistema matemáticamente interesante debe incluir a los números naturales, me temo.  :o

Si alguien diera una tal prueba de consistencia, llevaría a alguna contradicción, que probaría en realidad que el sistema era inconsistente.
Si alguien diera una prueba de inconsistencia... cerramos el telón y nos dedicamos a bailar rap en las esquinas, que es más divertido y no necesita axiomas.

De por vida estamos condenados a usar un sistema que nunca sabremos si encierra alguna contradicción,
y con el eventual temor de que alguna vez alguien encuentre una contradicción en el sistema y tire todo abajo.
Es una condena a la incertidumbre, lo cual, para un matemático, es una ironía gigantesca, insoportable.

Desde el punto de vista moral, es un llamado a la humildad...

En todo caso, según lo que leí en el primer link de topo, parece que Cohen construyó un modelo, a la fuerza, en el que se satisface la negación de la hipotesis del continuo, junto con los otros axiomas de ZFC.
Me gustaría ver esa construcción, a lo mejor es lo que estoy tratando de ver o entender.

Otra posibilidad es cambiar los axiomas de la teoría de conjuntos por algo menos ''defectuoso'', pero no sé si el problema está en estos axiomas de ZF, o en los mismos números naturales. Alguien tiene la culpa.
Lo que sí está claro (para los lógicos, no para mí), es que el axioma de elección no tiene culpa alguna de los defectos de la teoría.

Por ahora, sin embargo, ZFC es lo que usamos, y es lo mejorcito que tenemos, sin paradojas a la vista.

He visto por ahí que alguien procura dar una prueba de consistencia de la lógica, apelando a propiedades más débiles de los números naturales.
Recordemos que las propiedades de los números naturales mismos se usan en la codificación de Godel para probar sus teoremas de incompletitud. Todo puede ser cuestionado en este terreno, pero yo no puedo hacerlo sin antes entender bien de qué diablos se está hablando. Algún día...
Mi problema es que lo que se entiende por metamatemática, fórmulas, y todo eso, no me termina de convencer del modo en que se hace, no me cierra. No es tan simple como debiera ser, para que sirva de fundamento de la lógica.

Estuve leyendo el libro de Ivorra, y en muchas ocasiones hace las mismas objeciones a la metamatemática que hago yo, con la diferencia de que él habla desde el entendimiento pleno del tema. Pero por lo menos no me siento tan errado en mis dudas.
Ivorra recalca que la metamatemática debe regirse por leyes sencillas de razonamientos, que a todos nos parezcan obvias, y que así también lo estipuló Hilbert, como el único modo de confiar en un razonamiento que no tiene fundamentos.
Se necesita de procesos finitistas y que nos parezcan correctos, obvios, o algo por el estilo.
¿Y si uno no se convence? ¿Qué pasa?  :-\  :P
A mí me suena a un hueco muy grande en los fundamentos. Pero de nada sirve quejarse si no sé aportar nada mejor.
Aunque a menudo me encuentro buscando una solución. Pero como es trabajo metamatemático, ni sé qué es lo que hago o pienso cuando hago o pienso algo al respecto.  :banghead:

Es una situación que me enoja un poco. Un matemático merece, por dignidad  :'( , tener reglas del juego claras con qué vivir. (Un poco de melodrama al final, je, je,  :laugh:)