Eso, que nos lo expliquen, porque yo me acabo de enterar que ZF no es consistente. ¿Existe algún modelo de TC que sea consistente?
Ja, ja. ¿No te habías enterado? Hace más de 70 años que la matemática anda en bambalinas.
Godel demostró metamatemáticamente, que ninguna teoría que contenga a un sistema con las propiedades de los números naturales puede tener una prueba de consistencia.
Un sistema matemáticamente interesante debe incluir a los números naturales, me temo.
Si alguien diera una tal prueba de consistencia, llevaría a alguna contradicción, que probaría en realidad que el sistema era inconsistente.
Si alguien diera una prueba de inconsistencia... cerramos el telón y nos dedicamos a bailar rap en las esquinas, que es más divertido y no necesita axiomas.
De por vida estamos condenados a usar un sistema que nunca sabremos si encierra alguna contradicción,
y con el eventual temor de que alguna vez alguien encuentre una contradicción en el sistema y tire todo abajo.
Es una condena a la incertidumbre, lo cual, para un matemático, es una ironía gigantesca, insoportable.
Desde el punto de vista moral, es un llamado a la humildad...
En todo caso, según lo que leí en el primer link de topo, parece que Cohen construyó un modelo, a la fuerza, en el que se satisface la negación de la hipotesis del continuo, junto con los otros axiomas de ZFC.
Me gustaría ver esa construcción, a lo mejor es lo que estoy tratando de ver o entender.
Otra posibilidad es cambiar los axiomas de la teoría de conjuntos por algo menos ''defectuoso'', pero no sé si el problema está en estos axiomas de ZF, o en los mismos números naturales. Alguien tiene la culpa.
Lo que sí está claro (para los lógicos, no para mí), es que el axioma de elección no tiene culpa alguna de los defectos de la teoría.
Por ahora, sin embargo, ZFC es lo que usamos, y es lo mejorcito que tenemos, sin paradojas a la vista.
He visto por ahí que alguien procura dar una prueba de consistencia de la lógica, apelando a propiedades más débiles de los números naturales.
Recordemos que las propiedades de los números naturales mismos se usan en la codificación de Godel para probar sus teoremas de incompletitud. Todo puede ser cuestionado en este terreno, pero yo no puedo hacerlo sin antes entender bien de qué diablos se está hablando. Algún día...
Mi problema es que lo que se entiende por metamatemática, fórmulas, y todo eso, no me termina de convencer del modo en que se hace, no me cierra. No es tan simple como debiera ser, para que sirva de fundamento de la lógica.
Estuve leyendo el libro de Ivorra, y en muchas ocasiones hace las mismas objeciones a la metamatemática que hago yo, con la diferencia de que él habla desde el entendimiento pleno del tema. Pero por lo menos no me siento tan errado en mis dudas.
Ivorra recalca que la
metamatemática debe regirse por leyes sencillas de razonamientos, que a todos nos parezcan obvias, y que así también lo estipuló Hilbert, como el único modo de confiar en un razonamiento que no tiene fundamentos.
Se necesita de procesos finitistas y que nos parezcan correctos, obvios, o algo por el estilo.
¿Y si uno no se convence? ¿Qué pasa?
A mí me suena a un hueco muy grande en los fundamentos. Pero de nada sirve quejarse si no sé aportar nada mejor.
Aunque a menudo me encuentro buscando una solución. Pero como es trabajo metamatemático, ni sé qué es lo que hago o pienso cuando hago o pienso algo al respecto.
Es una situación que me enoja un poco. Un matemático merece, por dignidad
, tener reglas del juego claras con qué vivir. (Un poco de melodrama al final, je, je,
)