[enloalto]

Hola amigos, estuve viendo el tema de ecuaciones, antes aceptaba las cosas como, "sea el cambio de variable", sin preguntarlas, pero ahora, al resolver la ecuacion de tercer grado
\( x^3+bx^2+cx+d=0 \) dicen que haciendo el cambio de variable \( x=t-\displaystyle\frac{b}{3} \) se obtiene otra ecuacion cubica de la forma \( t^3+pt+q=0 \), donde p y q son dados por unas expresiones, mis dudas son:

1) ¿Por qué el cambio de variable?
     En los libros dice que es para eliminer el factor cuadratico,
3) ¿Por qué se toma \( x=t-\displaystyle\frac{b}{3} \)?
2) ¿Para qué eliminar el factor cuadratico?

Muchas gracias

[topo23]

Un poco en broma:

1) para simplificar el factor cuadratico.
2) porque con esa sustitucion se simplifica el factor cuadratico, ademas no se pierde informacion.
3) porque existe un metodo de resolver una ecuacion de la forma \( t^3+pt+q=0 \).

Ahora fuera de broma, si queremos resolver el caso general de una ecuacion , por ejemplo \( x^3+ax^2+bx+c=0 \), conviene empezar con casos particulares, que son mas facil de resolver. Por ejemplo \( x^3+q=0 \), o \( x^3+px=0 \), etc. Luego  se trata de llevar los casos mas generales a alguna de las formas que sabemos resolver.

Hay varias tecnicas mas, pero la que siempre me llamo la atencion es que a veces la solucion es tener una idea brillante.