Autor Tema: Círculo trigonométrico, sec y tg

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27 Febrero, 2009, 12:53 am
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topo23

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En este mensaje, aparece este grafico:



Alguien me pregunto como se explican las marcas de \( \sec \theta \), \( \tg \theta \), a mi me parece que la pregunta puede ser interesante para otros asi que la agrego aqui.
.

27 Febrero, 2009, 08:12 pm
Respuesta #1

sugata

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Aqui una pequeña demostración de secante. No se si te referias a esto, topo23

Spoiler
Siendo triángulo rectángulo se cumple:
\( 1^2+tg^2 \theta=h^2 \)
siendo h la hipotenusa.
\( 1^2+\displaystyle\frac{sen^2 \theta}{cos^2 \theta}=\displaystyle\frac{cos^2\theta+sen^2\theta}{cos^2 \theta}=\displaystyle\frac{1}{cos^2\theta}=sec^2\theta \)
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27 Febrero, 2009, 09:36 pm
Respuesta #2

Jabato

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Pueden definirse tres puntos sobre la recta del radio vector:

Punto A: situado sobre la circunferencia, sus coordenadas son \( (Cos(\theta), Sen(\theta)) \)

Punto B: Sus coordenadas son \( (1, Tan(\theta)) \). Su radio es la secante, \( Sec(\theta) \)

Punto C: Sus coordenadas son \( (Ctg(\theta), 1) \). Su radio es la cosecante, \( Csc(\theta) \).





Saludos, Jabato. ;D



28 Febrero, 2009, 01:14 am
Respuesta #3

topo23

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La pregunta era mas bien, como justificar que los segmentos tienen las medidas \( \tg \theta \) y \( \sec \theta \), y tambien se podrian agregar las que aporta Jabato \( \cotg \theta \), \( \cosec \theta \).

A mi me parece un ejercicio interesante que no se da en clases, pero puede resultar muy util saberlo, y facil de resolver.
.

28 Febrero, 2009, 03:10 am
Respuesta #4

argentinator

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Lo que pasa es que los catetos del triángulo interior miden \( \cos\theta \) y \( \sen\theta \), y la recta que pasa por la hipotenusa tiene pendiente igual al cociente de dichos catetos, o sea \( m=\sen\theta/\cos\theta=\tan \theta \).
Luego, si el incremento en el eje x es 1, el respectivo incremento en el eje y es \( \tan\theta \), así que el lado vertical del triángulo exterior es \( \tan\theta \), ya que el lado horizontal mide 1.
Que la hipotenusa del triangulo exterior es \( \sec\theta \) sale por teorema de pitágoras, como ya explicó sugata.

Es verdad que esto es interesante y poco común.
Yo vi esta figura 3 años después de haber terminado mis estudios.



28 Febrero, 2009, 03:19 am
Respuesta #5

Jabato

  • Visitante
Con los datos que yo dí están perfectamente definidas geométricamente las seis funciones trigonométricas circulares. Esto lo estudié yo en bachillerato, siendo un chaval. Imagínate si me extrañé cuando me enteré que formalmente dichas funciones se definen por sus desarrollos en serie de potencias. Vaya tontería pensé yo para mis adentros, ¡que ganas de complicar las cosas!

Lo que es la vida.

Saludos, Jabato. ;D

28 Febrero, 2009, 03:32 am
Respuesta #6

aladan

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Es verdad que esto es interesante y poco común.
Yo vi esta figura 3 años después de haber terminado mis estudios.

Está claro que soy mucho más veterano en este mundo, me enseñaron esa gráfica en el mismo momento que las definiciones de las 6 funciones trigonométricas, justificando todas ellas a partir de la semejanza de triángulos, insistiendo mucho en la necesidad de que el radio de la circunferencia fuera la unidad de medida. Pero eso fue hace más de cinco décadas, hoy no recuerdo haberla visto en los "modernos" textos, una pena.

Saludos

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28 Febrero, 2009, 06:03 am
Respuesta #7

physlord

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En la figura que puso jabato, ¿das por sentada la relación \( \tan(90 - \theta) = \cot (\theta) \) para concluir que la cordenada \( x \) de \( C \) es \( \cot(\theta) \), o existe otro razonamiento a partir de la figura que nos conduzca a esa conclusión?

28 Febrero, 2009, 10:18 am
Respuesta #8

Jabato

  • Visitante
si, eso es, esta definido así por construcción geométrica.

Saludos, Jabato. ;D

28 Febrero, 2009, 01:24 pm
Respuesta #9

topo23

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Otra forma, similar a las mencionadas, es usar la semejanza entre los varios triangulos. Entonces los lados correspondientes estan en la misma proporcion.

Por ejemplo, entre el punto A y B del grafico de Jabato, tenemos esta relacion para los catetos \( \displaystyle\frac{1}{\cos\theta}=\frac{x}{\sen\theta} \), luego \( \displaystyle x=\frac{\sen\theta}{\cos\theta}=\tg\theta \).

Si hacemos la misma para la hipotenusa y la base \( \displaystyle\frac{1}{\cos\theta}=\frac{y}{1} \), entonces \( y=\frac{1}{\cos\theta}=\sec\theta \).


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28 Febrero, 2009, 01:57 pm
Respuesta #10

Jabato

  • Visitante
No hay nada que demostrar en esas definiciones, solo si acaso verificar que las identidades trigonométricas se cumplen. El mismo gráfico es la definición geométrica de las seis funciones trigonométricas tal y como yo os lo indiqué, funciones que se definen con las coordenadas y los radios de los tres puntos A, B, C. Se definen así, no hay que demostrar nada.

Saludos, Jabato.

28 Febrero, 2009, 03:12 pm
Respuesta #11

topo23

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Todo depende del punto de partida, cuando aprendi las funciones trigonometricas, solo seno y coseno eran definidas de forma grafica (cateto opuesto sobre hipotenusa, y cateto adyacente sobre hipotenusa), y el resto de las funciones trigonometricas usando relaciones entre los definiciones basicas, ie \( \tg\theta = \frac{\sen\theta}{\cos\theta} \), \( \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta} \) etc.

Son distintas formas de enseñar, es posible definir las funciones trigonometricas por cualquiera de sus muchas definiciones (forma grafica, desarrollo de series, ecuaciones diferenciales, integrales, etc), y luego probar que el resto de las definiciones son equivalentes.

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28 Febrero, 2009, 04:23 pm
Respuesta #12

aladan

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Todo depende del punto de partida, cuando aprendi las funciones trigonometricas, solo seno y coseno eran definidas de forma grafica (cateto opuesto sobre hipotenusa, y cateto adyacente sobre hipotenusa), y el resto de las funciones trigonometricas usando relaciones entre los definiciones basicas, ie \( \tg\theta = \frac{\sen\theta}{\cos\theta} \), \( \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta} \) etc.

Son distintas formas de enseñar, es posible definir las funciones trigonometricas por cualquiera de sus muchas definiciones (forma grafica, desarrollo de series, ecuaciones diferenciales, integrales, etc), y luego probar que el resto de las definiciones son equivalentes.

Topo, desde el punto de partida más elemental, a Jabato y a mí nos enseñaron esa gráfica, en mi caso hace 51 años, que como dije en mensaje anterior está perfectamente justificada, tras las definiciones como las que tu aprendiste, mediante las relaciones de semejanza que presentan los triángulos rectángulos, siendo el básico el que tiene de catetos coseno, seno ( horizontal, vertical respectivamente) y como hipotenusa el radio igual a 1.

Recuerdo que  la primera versión de está gráfica estaba restringida a ángulos en el primer cuadrante, permitiendo de un rápido vistazo detectar las relaciones cuantitativas de las diferentes funciones para dicho ángulo, fue algún tiempo más tarde, algunas clases después, cuando se nos dió esa interpretación para los ángulos multiplos de 90º,en los que el triángulo rectángulo básico queda deformado en un segmento.

En todo aquel curso, la profundidad de los conocimientos matemáticos no pasó de un nivel elemental

Saludos
Siempre a vuestra disposición

28 Febrero, 2009, 04:51 pm
Respuesta #13

topo23

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Hice esta pregunta porque puse esa imagen en una respuesta a otra pregunta, y alguien me pregunto como se justificaba que los segmentos marcados como \( \tg\theta \) y \( \cos\theta \).

A mi no me enseñaron el circulo trigonometrico completo, pues si me hubiesen enseñado como lo aprendieron Uds entonces no habria hecho la pregunta!! A mi me enseñaron que \( \tg\theta=\frac{\sen\theta}{\cos\theta} \), la construccion geometrica es un paso que aprendi mucho despues.

En otros temas se discutio bastante el significado de elemental, no quiero entrar en ese debate porque no tengo nada que aportar al mismo.

Si quieren que la pregunta tenga mas sentido para Uds, la podria cambiar por: Expresar \( \tg\theta \) y \( \sec\theta \), en funcion de \( \sen\theta \) y \( \cos\theta \) usando solo conocimientos basicos de geometria.

Pero creo que la pregunta esta contestada, y no creo que sea necesario extender mas este hilo.
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