Autor Tema: Círculo trigonométrico, sec y tg

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27 Febrero, 2009, 12:53 am
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topo23

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En este mensaje, aparece este grafico:



Alguien me pregunto como se explican las marcas de \( \sec \theta \), \( \tg \theta \), a mi me parece que la pregunta puede ser interesante para otros asi que la agrego aqui.
.

27 Febrero, 2009, 08:12 pm
Respuesta #1

sugata

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Aqui una pequeña demostración de secante. No se si te referias a esto, topo23

Spoiler
Siendo triángulo rectángulo se cumple:
\( 1^2+tg^2 \theta=h^2 \)
siendo h la hipotenusa.
\( 1^2+\displaystyle\frac{sen^2 \theta}{cos^2 \theta}=\displaystyle\frac{cos^2\theta+sen^2\theta}{cos^2 \theta}=\displaystyle\frac{1}{cos^2\theta}=sec^2\theta \)
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27 Febrero, 2009, 09:36 pm
Respuesta #2

Jabato

  • Visitante
Pueden definirse tres puntos sobre la recta del radio vector:

Punto A: situado sobre la circunferencia, sus coordenadas son \( (Cos(\theta), Sen(\theta)) \)

Punto B: Sus coordenadas son \( (1, Tan(\theta)) \). Su radio es la secante, \( Sec(\theta) \)

Punto C: Sus coordenadas son \( (Ctg(\theta), 1) \). Su radio es la cosecante, \( Csc(\theta) \).





Saludos, Jabato. ;D



28 Febrero, 2009, 01:14 am
Respuesta #3

topo23

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La pregunta era mas bien, como justificar que los segmentos tienen las medidas \( \tg \theta \) y \( \sec \theta \), y tambien se podrian agregar las que aporta Jabato \( \cotg \theta \), \( \cosec \theta \).

A mi me parece un ejercicio interesante que no se da en clases, pero puede resultar muy util saberlo, y facil de resolver.
.

28 Febrero, 2009, 03:10 am
Respuesta #4

argentinator

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Lo que pasa es que los catetos del triángulo interior miden \( \cos\theta \) y \( \sen\theta \), y la recta que pasa por la hipotenusa tiene pendiente igual al cociente de dichos catetos, o sea \( m=\sen\theta/\cos\theta=\tan \theta \).
Luego, si el incremento en el eje x es 1, el respectivo incremento en el eje y es \( \tan\theta \), así que el lado vertical del triángulo exterior es \( \tan\theta \), ya que el lado horizontal mide 1.
Que la hipotenusa del triangulo exterior es \( \sec\theta \) sale por teorema de pitágoras, como ya explicó sugata.

Es verdad que esto es interesante y poco común.
Yo vi esta figura 3 años después de haber terminado mis estudios.



28 Febrero, 2009, 03:19 am
Respuesta #5

Jabato

  • Visitante
Con los datos que yo dí están perfectamente definidas geométricamente las seis funciones trigonométricas circulares. Esto lo estudié yo en bachillerato, siendo un chaval. Imagínate si me extrañé cuando me enteré que formalmente dichas funciones se definen por sus desarrollos en serie de potencias. Vaya tontería pensé yo para mis adentros, ¡que ganas de complicar las cosas!

Lo que es la vida.

Saludos, Jabato. ;D

28 Febrero, 2009, 03:32 am
Respuesta #6

aladan

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Es verdad que esto es interesante y poco común.
Yo vi esta figura 3 años después de haber terminado mis estudios.

Está claro que soy mucho más veterano en este mundo, me enseñaron esa gráfica en el mismo momento que las definiciones de las 6 funciones trigonométricas, justificando todas ellas a partir de la semejanza de triángulos, insistiendo mucho en la necesidad de que el radio de la circunferencia fuera la unidad de medida. Pero eso fue hace más de cinco décadas, hoy no recuerdo haberla visto en los "modernos" textos, una pena.

Saludos

Siempre a vuestra disposición

28 Febrero, 2009, 06:03 am
Respuesta #7

physlord

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En la figura que puso jabato, ¿das por sentada la relación \( \tan(90 - \theta) = \cot (\theta) \) para concluir que la cordenada \( x \) de \( C \) es \( \cot(\theta) \), o existe otro razonamiento a partir de la figura que nos conduzca a esa conclusión?

28 Febrero, 2009, 10:18 am
Respuesta #8

Jabato

  • Visitante
si, eso es, esta definido así por construcción geométrica.

Saludos, Jabato. ;D

28 Febrero, 2009, 01:24 pm
Respuesta #9

topo23

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Otra forma, similar a las mencionadas, es usar la semejanza entre los varios triangulos. Entonces los lados correspondientes estan en la misma proporcion.

Por ejemplo, entre el punto A y B del grafico de Jabato, tenemos esta relacion para los catetos \( \displaystyle\frac{1}{\cos\theta}=\frac{x}{\sen\theta} \), luego \( \displaystyle x=\frac{\sen\theta}{\cos\theta}=\tg\theta \).

Si hacemos la misma para la hipotenusa y la base \( \displaystyle\frac{1}{\cos\theta}=\frac{y}{1} \), entonces \( y=\frac{1}{\cos\theta}=\sec\theta \).


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