Autor Tema: grupos y subgrupos

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21 Febrero, 2009, 11:00 pm
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edge

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Les agradecería si me ayudan con este ejercicio:

Si G es el grupo en el cual \( (ab)^i=a^ib^i \) para tres enteros consecutivos i , pruébese que G es abeliano.

23 Febrero, 2009, 05:42 pm
Respuesta #1

J. H. Stgo

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Supongamos que \( i, i+1 \) e \( i+2 \) son los tres enteros consecutivos en cuestión y consideremos para \( a, b \in G \), arbitrarios, la igualdad,

\( \begin{eqnarray} ab = (ab)^{-(i+1)}(ab)^{(i+2)}. \end{eqnarray} \)

Como

\( \begin{eqnarray*}(ab)^{-(i+1)}(ab)^{(i+2)} = ((ab)^{-1})^{i+1}a^{i+2}b^{i+2} = (b^{-1})^{i+1}(a^{-1})^{i+1}a^{i+2}b^{i+2} = (b^{-1})^{i+1}ab^{i+2},\end{eqnarray*} \)

se sigue de \( (1) \) que:

\( \[b^{i+1}ab = ab^{i+2}.\] \)

Luego, \( b^{i}ba = b^{i+1}a = ab^{i+1} = abb^{i} \). El resultado se obtiene ahora de las igualdades previas. En efecto:

\(
\begin{eqnarray*}
ab &=& b^{i}bab^{-i}\\ &=& b^{i+1}ab^{-i}\\ &=&
b^{i+1}a^{i+1}a^{-i}b^{-i}\\ &=&
(ba)^{i+1}(a^{-1})^{i}(b^{-1})^{i}\\ &=&
(ba)^{i+1}(a^{-1}b^{-1})^{i}\\ &=& (ba)^{i+1}((ba)^{-1})^{i}\\ &=&
ba
\end{eqnarray*}  \)

y sería.

Espero que esto te sea de ayuda. Hasta pronto...  ;)

24 Febrero, 2009, 02:39 am
Respuesta #2

edge

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gracias hermano creo que era lo que necesitaba

22 Agosto, 2012, 01:59 am
Respuesta #3

alejandra

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\( \begin{eqnarray*}(ab)^{-(i+1)}(ab)^{(i+2)} = ((ab)^{-1})^{i+1}a^{i+2}b^{i+2} = (b^{-1})^{i+1}(a^{-1})^{i+1}a^{i+2}b^{i+2} = (b^{-1})^{i+1}ab^{i+2},\end{eqnarray*} \)


Cómo te aseguras que  \( ((ab)^{-1})= (b^{-1})(a^{-1}) \)?

Gracias  :)

22 Agosto, 2012, 02:14 am
Respuesta #4

Tanius

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Eso es porque \( ab(b^{-1}a^{-1})=e \), luego como el inverso de un elemento es único, tenemos \( (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} \).

Un saludo  :)

22 Agosto, 2012, 02:16 am
Respuesta #5

alejandra

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