Supongamos que \( i, i+1 \) e \( i+2 \) son los tres enteros consecutivos en cuestión y consideremos para \( a, b \in G \),
arbitrarios, la igualdad,
\( \begin{eqnarray} ab = (ab)^{-(i+1)}(ab)^{(i+2)}. \end{eqnarray} \)
Como
\( \begin{eqnarray*}(ab)^{-(i+1)}(ab)^{(i+2)} = ((ab)^{-1})^{i+1}a^{i+2}b^{i+2} = (b^{-1})^{i+1}(a^{-1})^{i+1}a^{i+2}b^{i+2} = (b^{-1})^{i+1}ab^{i+2},\end{eqnarray*} \)
se sigue de \( (1) \) que:
\( \[b^{i+1}ab = ab^{i+2}.\] \)
Luego, \( b^{i}ba = b^{i+1}a = ab^{i+1} = abb^{i} \). El resultado se obtiene ahora de las igualdades previas. En efecto:
\(
\begin{eqnarray*}
ab &=& b^{i}bab^{-i}\\ &=& b^{i+1}ab^{-i}\\ &=&
b^{i+1}a^{i+1}a^{-i}b^{-i}\\ &=&
(ba)^{i+1}(a^{-1})^{i}(b^{-1})^{i}\\ &=&
(ba)^{i+1}(a^{-1}b^{-1})^{i}\\ &=& (ba)^{i+1}((ba)^{-1})^{i}\\ &=&
ba
\end{eqnarray*} \)
y sería.
Espero que esto te sea de ayuda. Hasta pronto...
