Saludos! La contradicción surge por la manera en que escogemos a los racionales. Como dicen que \( r\in{\mathbb{Q}} \), entonces existen \( p,q\in{\mathbb{Z}},q\neq{0} \) tales que \( r=\displaystyle\frac{p}{q} \). Donde \( \displaystyle\frac{p}{q} \) esta simplificado hasta su mínima expresión, es decir, no existen factores comunes entre \( p \) y\( q \) (excepto cuando \( q=1 \)).
Por ejemplo, al número \( \displaystyle\frac{15}{9} \) lo llevamos a su mínima expresión, esto es \( \displaystyle\frac{15}{9}=\displaystyle\frac{5}{3} \).
Luego, llegas a que tanto \( p \) como \( q \) son pares, por lo que ambos tienen por factor común al número dos, es decir, es posible simplificar más al número \( \displaystyle\frac{p}{q} \). Eso contradice el hecho de que \( \displaystyle\frac{p}{q} \) esta simplificado hasta su mínima expresión.
Espero haya quedado claro...
