Autor Tema: ¿Cómo se demuestra esta desigualdad?

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12 Diciembre, 2008, 06:49 am
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pepito

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La desigualdad que necesito probar es:

\(  {1 \over 1} + {1 \over 2} + ... + {1 \over n} > \ln {(n+1)} > {1 \over 2} + {1 \over 3} + ... + {1 \over n+1},  \) \(  n\in\mathbb{N}  \)

En la guía de ejercicios estaba marcado como un ejercicio difícil, y al parecer la advertencia no estaba de más.
"...parecido pero nada que ver"

12 Diciembre, 2008, 06:58 am
Respuesta #1

Rogelio Yoyontzin

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¿Sabes cálculo integral? 

1) Considera la función \( f(x)=\frac{1}{x} \)

2) Calcula la integral \( \int_1^{n+1} f(x)\, dx \)

3) Ahora aproxima esta misma integral con sumas de Riemann de  dos formas: 

   a) Considerando rectángulos de base uno, inscrito por debajo de la curva.

   b) Considerando rectángulos de base uno, inscrito por encima de la curva.

4) Compara estas sumas (Que aproximan el área bajo la curva) Con la integral en 2) ( Que es el área bajo la curva).

Suerte.
Yoyontzin.

12 Diciembre, 2008, 08:04 pm
Respuesta #2

pepito

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Es una muy buena idea. Gracias.
"...parecido pero nada que ver"