Autor Tema: Método por Contradicción

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13 Diciembre, 2008, 04:16 am
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Joaquin_Phi

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Saludos, intento desarrollar un Tutorial de internet que enseña como realizar y entender demostraciones matematicas.

En general lo encuentro tan confuso como las mismas demostraciones de los libros, sin embargo, espero encontrar, con la lectura completa, una mejor idea de las demostraciones.

En este caso agradeceria si alguien respondiera la siguiete interrogante:

En el tutorial esta el siguiente ejercicio:

Si r es un nùmero real tal que r^2 = 2, entonces r es irracional.

El ejercicio pretende explicar el funcionamiento del Metodo de Contradicciòn, de esta manera supone:

A y NO B son verdaderos ,es decir:

r^2 = 2, y r es racional.

Y hace: r = p/q, el desarrollo termina demostrando que tanto "p" como "q" son nùmeros pares.

Pero no comprendo como demostrar que "p" y "q" son pares demuestra el enunciado:

Si r es un nùmero real tal que r^2 = 2, entonces r es irracional.

Agradeceria si alguien respondiera-explicara esta duda.

Gracias por la ayuda.
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El Tutorial que menciono esta en este link y el ejercicio se encuentra en la pagina 79, Ejemplo 9.
http://www.taringa.net/posts/downloads/829207/Como-entender-y-hacer-demostraciones-matematicas.html
Descarga en:
http://rapidshare.com/files/34915007/text.zip


MetodoMétodo

13 Diciembre, 2008, 04:29 am
Respuesta #1

Oramys

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Saludos! La contradicción surge por la manera en que escogemos a los racionales. Como dicen que \( r\in{\mathbb{Q}} \), entonces existen \( p,q\in{\mathbb{Z}},q\neq{0} \) tales que \( r=\displaystyle\frac{p}{q} \). Donde \( \displaystyle\frac{p}{q} \) esta simplificado hasta su mínima expresión, es decir, no existen factores comunes entre \( p \) y\( q \) (excepto cuando \( q=1 \)).

Por ejemplo, al número \( \displaystyle\frac{15}{9} \) lo llevamos a su  mínima expresión, esto es \( \displaystyle\frac{15}{9}=\displaystyle\frac{5}{3} \).

Luego, llegas a que tanto \( p \) como \( q \) son pares, por lo que ambos tienen por factor común al número dos, es decir, es posible simplificar más al número \( \displaystyle\frac{p}{q} \). Eso contradice el hecho de que \( \displaystyle\frac{p}{q} \) esta simplificado hasta su mínima expresión.

Espero haya quedado claro...
"La inteligencia sin conciencia es un peligro para la humanidad"

13 Diciembre, 2008, 06:20 am
Respuesta #2

Joaquin_Phi

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Gracias Oramys, lo he comprendido...¡¡¡¡


Saludos.