Autor Tema: Problema teoría de números.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

04 Noviembre, 2005, 08:26 am
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Centro

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Hola!!!! A ver si alguien puede hacer este problema:

Hallar, razonadamente, los números naturales que son iguales a la diferencia entre el cubo y el cuadrado de la suma de sus cifras.

Saludos.

04 Noviembre, 2005, 04:09 pm
Respuesta #1

Numerarius

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Bueno. Yo he encontrado más fácilmente un número tal que es igual a la diferencia entre la cuarta potencia y la tercera potencia de la suma de sus cifras.

07 Noviembre, 2005, 06:28 pm
Respuesta #2

Numerarius

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Como no soy Ramanuyan, he avanzado algo con ayuda del ordenador.

Creo que en los números entre el 1 y el 10.000 sólo hay uno que cumple que es igual a la suma de sus cifras al cubo menos la suma de sus cifras al cuadrado.

13 Noviembre, 2005, 12:36 pm
Respuesta #3

Numerarius

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Creo que ya lo tengo.

16 Noviembre, 2005, 10:18 am
Respuesta #4

Centro

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Gracias por las respuestas, pero ha de haber alguna forma de llegar a esos resultados sin ayuda de ordenador....¿cuál será?....

01 Abril, 2006, 04:48 pm
Respuesta #5

rubenrosas

  • Visitante
   El cero parecería cumplir ésa condición.Pero el problema sería casi un chiste.

14 Mayo, 2006, 01:18 am
Respuesta #6

rubenrosas

  • Visitante

 Si 11 está escrito en una cierta base,como 2 es la suma de sus cifras resulta la diferencia del cubo menos su cuadrado 8-4= 4 = 11 en base tres
 Lo mismo en infinidad de ejmplos

05 Junio, 2006, 04:15 am
Respuesta #7

transmigrado

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si solucionas esto tienes tu respuesta:

\( a^3-a^2=x \)


\( a=\displaystyle\sum_{i=1}^b{ent(\displaystyle\frac{x}{10^(b-k)})-10ent(\displaystyle\frac{x}{10^(b+1-k)})} \)

b el numero de cifras de x

05 Junio, 2006, 09:28 am
Respuesta #8

pedroc71

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si solucionas esto tienes tu respuesta:

\( a^3-a^2=x \)


\( a=\displaystyle\sum_{i=1}^b{ent(\displaystyle\frac{x}{10^(b-k)})-10ent(\displaystyle\frac{x}{10^(b+1-k)})} \)

b el numero de cifras de x

Con i=k, ¿no? No acabo de ver como ese sumatorio elimina posibilidades y nos ayuda a calcular el número.

05 Junio, 2006, 09:52 am
Respuesta #9

pedroc71

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Podemos buscar metodos para eliminar posibilidades, que nos ayuden a encontrar antes la solución que ir probando una a una.

Sea el número natural   N=...fedcba     donde cada letra representa un dígito comprendido entre 1 y 9.
Planteemos en ecuación la condición que nos piden:

\( (...+f+e+d+c+b+a)^3-(...+f+e+d+c+b+a)^2=N \)

Sacando factor común:
\( (...+f+e+d+c+b+a)^2(...+f+e+d+c+b+a-1)=N \)

Despejando el cuadrado:
\( (...+f+e+d+c+b+a)^2=\displaystyle\frac{N}{(...+f+e+d+c+b+a-1)} \)

Osea que N divide a la suma de las cifras más uno y ademas el cociente es un cuadrado perfecto.
Ahora vas probando con una cifra, con 2, con 3 y encuentras antes las soluciones.
Puedes ir acotando valores, puesto que cada cifra está comprendida entre 1 y 9, la suma estará acotada tambien. A ver si luego vengo con mas tiempo y lo desarrollo entero