Autor Tema: Problema de geometría y combinatoria

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

15 Noviembre, 2008, 05:34 pm
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Kits

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Muy buenas a todos,
no sé como sacar este problema: Suponiendo que la razón geométrica de \( (A,B,C)=r \) (la razón definida como \( \overrightarrow{AB}=r\overrightarrow{AC} \)) consigo ver que la razón geométrica de \( (A,C,B)=\displaystyle\frac{1}{r} \) y que \( (B,A,C)=\displaystyle\frac{r}{r-1} \). Entonces sabiendo que las trasposiciones \( (1\quad2) \) y \( (2\quad3) \) generan el grupo simétrico \( S_3 \) me piden encontrar las razones geométricas de todas las permutaciones de la terna \( (A,B,C) \).
No lo logro sacar, no encuentro la relación entre esos hechos de combinatoria con la definición de razón geométrica.
Saludos, y muchas gracias.

18 Noviembre, 2008, 11:42 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 mmmm....Natchy tenía el mismo problema:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=16338.msg70099#msg70099

 Dice que ya lo resolvió. Sería bueno (para los dos) que ella te lo explicase. Sugerencia: envíale un mensaje privado y solicta su ayuda.

 En fin, si no lo hace (está en su pleno derecho), vuelve a preguntar.  ;)

Saludos.

18 Noviembre, 2008, 02:57 pm
Respuesta #2

Kits

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Hola, gracias por responder el_manco.
De hecho ayer por la noche intenté colgar mi solución, pero no me funcionaba bien el foro. Aquí está, a ver si Natchy o tú mismo lo podéis contrastar, saludos.

Spoiler
Antes de todo, demos nombres a cada cosa:
\( \tau_1=\left(1\quad 2\right),\tau_2=\left(2\quad 3\right) \)
Entonces dada una permutación \( \sigma \), esta se puede escribir como composición de \( \tau_1 \) y \( \tau_2 \).
Así que si 3! es el numero de permutaciones posibles, y ya tenemos 2, solo nos quedan ver cuatro.

\( \sigma_1=\tau_1\circ{\tau_2} \)
\( \sigma_2=\tau_2\circ{\tau_1} \)
\( \sigma_3=\tau_1\circ{\tau_2}\circ{\tau_1} \)
\( \sigma_4=\tau_1\circ{\tau_2}\circ{\tau_2} \)

Por tanto si hacemos las composiciones de funciones obtenemos cadauna de las razones geométricas de las permutaciones.
Por ejemplo:

\( \sigma_1=\tau_1\circ{\tau_2}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{r}}{\displaystyle\frac{1}{r}-1}=\displaystyle\frac{1}{1-r} \)
[cerrar]

18 Noviembre, 2008, 03:04 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Si, exacto esa es la idea.

 Solo una cosa. Has puesto:

\( \sigma_4=\tau_1\circ{\tau_2}\circ{\tau_2} \)

 Pero \( \tau_2\circ \tau_2=id \) es decir \( \sigma_4=\tau_1 \). Por tanto esa te sobra.

 Te en cuenta que hay seis permutaciones pero una de ellas es la identidad.

Saludos.

18 Noviembre, 2008, 03:31 pm
Respuesta #4

Kits

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Es verdad. Muchas gracias.

19 Noviembre, 2008, 01:44 pm
Respuesta #5

Natchy

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  • Gakusei !!
De hecho, hoy comentaba esto con tus compañeros y les he preguntado por ti... pero aún no se quién eres...
Mañana lo comentamos^^
Has anything escaped me?
I trust that there is nothing of consequence which I have overlooked?

19 Noviembre, 2008, 01:53 pm
Respuesta #6

Kits

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