Autor Tema: Dimensión Fractal

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11 Noviembre, 2008, 09:27
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super_eman

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Hola debo calcular la dimensión Fractal de:
a-Dragón.
b-Curva de Von Koch y del Copo de Nieve.
c- Triángulo y Carpeta de Sierpinski.
d-Conjunto del quinto medio de Cantor.
e- Conjunto del tercio medio de Cantor.
 Su ayuda será muy bien recibida, mi tiempo es escaso y mi capacidad de aprendizaje a esta altura del año es directamente proporcional a mi tiempo.
Saludos y Muchas Gracias.

11 Noviembre, 2008, 18:12
Respuesta #1

Jabato

  • Visitante
Son todos fractales autosemejantes, la idea es calcular su dimensión para que su medida, \[ M \], sea finita no nula.

1º Curva del dragon: Cada iteración dobla el número de tramos y divide su longitud por\[ \sqrt[ ]{2} \]. Su longitud es por lo tanto la correspondiente a \[ 2^{n} \] tramos de longitud \[ \displaystyle\frac {L}{\sqrt[ ]{2^n}} \]. Bastará pues calcular el valor de \[ d \] que hace finita su medida:

\[ M=\displaystyle\lim_{\quad n \to\infty}{}2^{n}\cdot \left(\displaystyle\frac{L}{\sqrt[ ]{2^n}}\right)^d\in{(0,\infty)}\longrightarrow{d=2},\quad M=L^d \]

Por lo tanto recubre el plano totalmente al ser su dimensión 2.

2º Curva de Von Koch y Copo de nieve: Para ambas curvas cada iteración multiplica el número de tramos por 4 y divide su longitud por 3. Su longitud es por lo tanto la correspondiente a \[ 4^n \] tramos de longitud \[ \displaystyle\frac {L}{3^n} \]. Bastará pues calcular el valor de \[ d \] que hace finita su medida:

\[ M=\displaystyle\lim_{\quad n \to\infty}{}4^n\cdot \left(\displaystyle\frac{L}{3^n}\right)^d\in{(0,\infty)}\longrightarrow{d=log_3\ 4=\displaystyle\frac{log\ 4}{log\ 3}},\quad M=L^d \]

3º Triángulo de Sierpinski: Cada iteración multiplica el número de piezas por 3 y divide su área por 4. Su área es por lo tanto la correspondiente a \[ 3^{n} \] piezas de área \[ \displaystyle\frac {S}{4^n} \]. Bastará pues calcular el valor de \[ d \] que hace finita su medida:

\[ M=\displaystyle\lim_{\quad n \to\infty}{}3^{n}\cdot \left(\displaystyle\frac{S}{4^n}\right)^{d/2}\in{(0,\infty)}\longrightarrow{d=log_2\ 3=\displaystyle\frac{log\ 3}{log\ 2}},\quad M=S^{d/2}{ \]

4º Carpeta ó alfombra de Sierpinski: Cada iteración multiplica el número de piezas por 8 y divide su área por 9. Su área es por lo tanto la correspondiente a \[ 8^{n} \] piezas de área \[ \displaystyle\frac {S}{9^n} \]. Bastará pues calcular el valor de \[ d \] que hace finita su medida:

\[ M=\displaystyle\lim_{\quad n \to\infty}{}8^{n}\cdot \left(\displaystyle\frac{S}{9^n}\right)^{d/2}\in{(0,\infty)}\longrightarrow{d=log_3\ 8=\displaystyle\frac{log\ 8}{log\ 3}},\quad M=S^{d/2} \]

¿Hace falta que siga? Si hace falta sigo.

Bueno, como no me gusta dejar las cosas a medias acabaré.

5º Conjunto del quinto medio de Cantor: Cada iteración multiplica el número de piezas por 4 y divide su longitud por 5. Su longitud es por lo tanto la correspondiente a \[ 4^{n} \] piezas de longitud \[ \displaystyle\frac {L}{5^n} \]. Bastará pues calcular el valor de \[ d \] que hace finita su medida:

\[ M=\displaystyle\lim_{\quad n \to\infty}{}4^{n}\cdot \left(\displaystyle\frac{L}{5^n}\right)^{d}\in{(0,\infty)}\longrightarrow{d=log_5\ 4=\displaystyle\frac{log\ 4}{log\ 5}},\quad M=L^{d} \]

6º Conjunto del tercer medio de Cantor: Cada iteración multiplica el número de piezas por 2 y divide su longitud por 3. Su longitud es por lo tanto la correspondiente a \[ 2^{n} \] piezas de longitud \[ \displaystyle\frac {L}{3^n} \]. Bastará pues calcular el valor de \[ d \] que hace finita su medida:

\[ M=\displaystyle\lim_{\quad n \to\infty}{}2^{n}\cdot \left(\displaystyle\frac{L}{3^n}\right)^{d}\in{(0,\infty)}\longrightarrow{d=log_3\ 2=\displaystyle\frac{log\ 2}{log\ 3}},\quad M=L^{d} \]

NOTA: Todas las dimensiones y medidas calculadas en este artículo se corresponden con dimensiones y medidas Hausdorff.

Saludos, Jabato.

11 Noviembre, 2008, 19:16
Respuesta #2

super_eman

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Hola Jabato, Muchísimas Gracias muy claras tus apreciaciones.
Saludos.

12 Noviembre, 2008, 01:42
Respuesta #3

Jabato

  • Visitante
Te recomiendo la lectura de esta página, sobretodo el capítulo dedicado a fractales, es realmente buena, aunque está en francés, pero se entiende bien.

http://www.mathcurve.com/index.htm

Saludos, Jabato.