Hola
Como bien dices se trata de calcular el número de soluciones enteras de la ecuación:
\( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7=31 \)
con \( 0\leq x_i\leq 9 \).
Fíjate que en general el número de soluciones no negativas de la ecuación:
\( x_1+\ldots+x_n=N \)
con \( x_i\geq 0 \) es:
\( \displaystyle\binom{N+n-1}{N} \)
(combinaciones con repeteción de \( n \) tipos de elementos tomados de \( N \) en \( N \)).
¿Algún problema con esto?.
Ahora, ¿cómo gestionamos la restricción \( x_i\leq 9 \)?.
Podemos hacer así:
\( A \)=Soluciones no negativas
\( A_i \)=Soluciones no negativas con \( x_i\geq 10 \)
\( A_{i,j} \)=Soluciones no negativas con \( x_i,x_j\geq 10 \)
\( A_{i,j,k} \) =Soluciones no negativas con \( x_i,x_j,x_k\geq 10 \)
Por el principio de inclusión-exclusión el número de soluciones que buscas es:
\( card(A)-\displaystyle\sum_{i=1}^7{}card(A_i)+\displaystyle\sum_{i,j=1,i\neq j}^n{}card(A_{i,j})-\displaystyle\sum_{i,j,k=1,i\neq j\neq k}^n{}card(A_{i,j,k}) \)
Teniendo en cuenta que \( card(A_i),card(A_{i,j}),card(A_{i,j,k}) \) no depende de los ínidices queda:
\( card(A)-\displaystyle\binom{7}{1}card(A_1)+\displaystyle\binom{7}{2}card(A_{1,2})-\displaystyle\binom{7}{3}card(A_{1,2,3}) \)
Sabemos que:
\( card(A)=\displaystyle\binom{31+7-1}{31} \)
Ahora para calcular \( A_1 \) es decir las soluciones con \( x_1\geq 10 \) es equivalente a las soluciones de:
\( y_1+x_2+\ldots+x_7=31-10 \)
con \( y_1,x_i\geq 0 \)
Por tanto:
\( card(A_1)=\displaystyle\binom{21+7-1}{21} \)
y análogamente:
\( card(A_{1,2})=\displaystyle\binom{11+7-1}{11} \)
\( card(A_{1,2,3})=\displaystyle\binom{1+7-1}{1} \)
Termina.
Saludos.
P.D. Te puede ser útil también echar un vistazo a este hilo:
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=13631.msg56881#msg56881
