El problema está mal planteado, de hecho puedo poner un contraejemplo. Veamos
Sea f(x)=1 si x=/0, f(0)=1/2. f cumple las dos condiciones (no es idénticamente nula, de hecho nunca toma el valor 0, y su valor absoluto siempre es <=1. No se pone como condición que sea ni derivable ni contínua, aunque también puedo poner ejemplos que cumplan esas condiciones)
Tomando x=0, y=1 por ejemplo, nos queda que f(0+1)+f(0-1)=2f(0)g(1); o sea: 2=2*(1/2)g(1), es decir, g(1)=2, luego existe un punto y de R tal que |g(y)|>1
