Autor Tema: Problema de Agosto

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11 Octubre, 2003, 08:05 pm
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xhant

  • Visitante
Bueno, como nadie quiere poner su solucion, tuve que pensar una yo mismo.

El problema decia sean f, g: R -> R, tales que f(x + y) + f(x - y) = 2 f(x) g(y) para todo x, y \in R. Si |f(x)| <= 1, para todo x, entonces |g(y)| <= 1, para todo y.

Supongamos que existe y \in R, tal que |g(y)| > 1. Si |g(y)| = 1 + s, con s > 0.
Entonces  2 |f(x)|(1 + s) = |f(x + y) + f(x - y)| <=  |f(x + y)| + |f(x - y)|, para todo x.

Si y = 0, llegamos rapidamente a una contradiccion (f es no nula). Luego y <> 0, y tenemos algo parecido a que |f(x)| es convexa.

Aqui viene el ejercicio para terminar el problema:
Ver que 2 |f(x)| (1 + s) <= |f(x + y)| + |f(x - y)|, para todo x, (con y <> 0, fijo y s > 0), implica que |f(x)| no esta acotada.