[Jorge klan]

Por favor amigos de foro podran ayudarme con un ejercicio de representaciones de grupos. Se los agradecería bastante.

Sabemos que si \( X\approx{} Y \) como \( G \) espacio entonces \( L^{2}(X)\approx{}L^{2}(Y) \) como representaciones. MI problema es, demostrar con un contraejemplo que el recíproco no es cierto.

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

 Alcara un poco la notación.

 ¿A qué estás llamando \( G \)-espacio? y ¿\( L^2(X) \)?.

Saludos.

[Jorge klan]

Disculpa manco, tienes razón

Me refiero a \( G \)- espacio, en el sentido que, un grupo \( G \) actúa sobre un conjunto. Por ejemplo, el grupo simétrico \( S_{n} \) actúa en un conjunto de \( n \) letras, por permutación de ellas. En cuanto a \( L^{2}(X) \) es la representación natural de un grupo dada por la acción del grupo en el conjunto, o de otra forma

\( L^{2}(X)=\{f:X\longrightarrow{}\mathbb{C}\;|f\mbox{ es función}\} \)

eso. Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Tienes que perdonarme porque probablemente estoy muy espeso. Y es que sigo sin tener \( 100 \) por \( 100 \) clara tu notación.

 Entiendo que si tenemos un conjunto cualquiera \( X \), un grupo \( G \) y una acción:

\( G\times X\longrightarrow{}X \)

 eso nos induce una representación natural de \( G \):

\(  \phi:G\longrightarrow{}Per(X) \)

\( \phi(g)=f_g \) con \( f_g(x)=gx \) siendo \( Per(X) \) le conjunto de aplicaciones biyectivas de \( X \).

 Pero en todo esto todavía no tengo claro exactamente a que llamas \( L^2(X). \)

Saludos.

P.D. Tengo algo oxidada la teoría de representación. 

[Jorge klan]

Hola amigo:

\( L^{2}(X) \) también conocido como \( F(X) \) es el espacio de funciones de \( X\longrightarrow{}\mathbb{C} \), que en este caso \( X \) denota el conjunto donde actúa \( G \), y que además está provisto de un producto interno. Pero vemos que coincidimos en algo, ya que la representación \( \phi \) que pones ahí es exactamente la representación natural de la que hablo, pero solo con un detalle de diferencia, en que \( f_{g}(x)=g^{-1}x \).

Gracias de todas maneras, agradezco tu paciencia

Saludos