Autor Tema: Minimizar la distancia

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21 Octubre, 2008, 03:10 pm
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super_eman

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Hola Estimabilísimos foristas, me dirijo a ustedes para solicitar la observación, corrección y sugerencias en la resolución del siguiente problema:
Dados dos puntos A y B situados en el primer cuadrante del plano cartesiano  ( no sobre los ejes), calcular cuál es el camino más corto de A a B, pasando por un punto del eje de abscisas.
a) Realizar un esquema gráfico que represente la situación del problema.
b) Utilizar el graficador Geogebra para explorar con el deslizador cual debe ser el punto sobre el eje de abscisas para que la longitud del camino sea mínima.
c) Encuentre la función a optimizar y destaque el dominio de la misma dentro del contexto del problema.
d) Realizar el estudio de dicha función y graficarla. (Hallar puntos extremos, concavidad, etc.)
e) Comprobar con la resolución analítica lo antes explorado.



Saludos

PD: No pude colgar mi archivo de geogebra.

(te coloqué el archivo, el_manco)

21 Octubre, 2008, 05:43 pm
Respuesta #1

Don Equis

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Supón que \( A=(x_0;y_0) \). Grafica el punto \( A' = (x_0;-y_0) \) (Corregido), grafica \( \overline{A'B} \) y si \( X = (x_1;0) \) es el punto de intersección entre el eje de abscisas y el trayecto, grafica \( \overline{A'X} \) y \( \overline{XB} \). (Haz esto último con líneas punteadas.)
I believe a leaf of grass is no less than the journey-work of the stars.

 \( e^{i\pi}+1=0 \)

21 Octubre, 2008, 06:39 pm
Respuesta #2

super_eman

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Hola Don equis, entendí lo de simetría. Recuerdo un problema similar que una vez hice de dos poblados que necesitaban sacar agua de un río y que había que minimizar la cantidad de cañerías.
Ahora estoy tratando de encontrar la función.
Gracias

21 Octubre, 2008, 06:48 pm
Respuesta #3

Don Equis

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Uy, sí, lo escribí al revés :P Ya corrigo.
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 \( e^{i\pi}+1=0 \)

21 Octubre, 2008, 07:04 pm
Respuesta #4

Luis Fuentes

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Hola

 No es lo que te preguntan, pero aporto una solución geométrica para hallar el camino mínimo:

Spoiler
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Saludos.

21 Octubre, 2008, 08:00 pm
Respuesta #5

super_eman

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Hola ya halle la función, si \( A= (x_0;y_0) \), \( C= (x;0) \) y \( B= (x_1;y_1) \) entonces la función de distancia es \( D(x)=\sqrt[ ]{(x-x_0)^2+{y_0}^2}+ \sqrt[ ]{(x-x_1)^2+{y_1}^2} \).
Donde para hallar la distancia mínima hay que derivar e igualar a cero.
¿esta bien?
Saludos.

21 Octubre, 2008, 08:09 pm
Respuesta #6

Don Equis

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Eso está perfecto. El problema es minimizar esa expresión :p

Si se puede utilizar la solución y demuestras que la primera derivada tiene solución única en el intervalo, metes la solución en la función derivada y te dará 0. Pero esto si se permite tal cosa.
I believe a leaf of grass is no less than the journey-work of the stars.

 \( e^{i\pi}+1=0 \)

22 Octubre, 2008, 11:25 am
Respuesta #7

Luis Fuentes

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Hola

 Bueno y si no se hacen las cuentas directamente: derivar, igualar a cero, resolver...

Saludos.